中考数学专题汇编全集 新定义代数与几何综合应用10道.docx

中考数学专题汇编全集 新定义代数与几何综合应用10道.docx

《中考数学专题汇编全集 新定义代数与几何综合应用10道.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学专题汇编全集 新定义代数与几何综合应用10道.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

中考数学专题汇编全集新定义代数与几何综合应用10道

“新定义”代数与几何综合应用

类型一新定义函数的综合题

1.对于关于x的一次函数y=kx+b（k≠0），我们称函数y[m]=，为它的m分函数（其中m为常数）．

例如，y=3x+2的4分函数为：

当x≤4时，y[4]=3x+2；当x＞4时，y[4]=-3x-2．

（1）如果y=-x+1的2分函数为y[2]，

①当x=4时，y[2]=；②当y[2]=3时，x=．

（2）如果y=x+1的-1分函数为y[-1]，求双曲线y=与y[-1]的图象的交点坐标；

（3）设y=-x+2的m分函数为y[m]，如果抛物线y=x2与y[m]的图象有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围．

解：

（1）y=-x+1的2分函数为：

当x≤2时，y[2]=-x+1；当x＞2时，y[2]=x-1．

当x=4时，y[2]=4-1=3，

当y[2]=3时，

如果x≤2，则有，-x+1=3，

∴x=-2，

如果x＞2，则有，x-1=3，

∴x=4;

（2）当y=x+1的-1分函数为y[-1]，

∴当x≤-1时，y[-1]=x+1①，

当x＞-1时，y[-1]=-x-1②，

∵双曲线y=③，

联立①③解得，（舍）,，

∴双曲线y=与y[-1]的交点坐标为（-2，-1），

联立②③时，方程无解，

∴双曲线y=与y[-1]的图象的交点坐标（-2，-1）；

（3）∵y=-x+2的m分函数为y[m]，

∴x≤m时，y[m]=-x+2①，

当x＞m时，y[m]=x-2②，

∵抛物线y=x2③与y[m]的图象有且只有一个公共点，

联立①③，则有x2=-x+2，

∴x=-2，或x=1，

∵只有一个公共点，

∴-2≤m＜1,

联立②③，则有x2=x-2，

∴此方程无解;

综上，m的取值范围为-2≤m＜1.

2.在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：

若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．

例如：

点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（-1，3）的“可控变点”为点（-1，-3）．

（1）点（-5，-2）的“可控变点”坐标为；

（2）若点P在函数y=-x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′是7，求“可控变点”Q的横坐标；

（3）若点P在函数y=-x2+16（-5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是-16≤y′≤16，求实数a的值．

解：

（1）∵-5＜0，∴y′=-y=2，即点（-5，-2）的“可控变点”坐标为（-5，2）；

（2）如解图①，

第2题解图①

由题意，得y=-x2+16的图象上的点P的“可控变点”必在函数

y′=的图象上，

∵“可控变点”Q的纵坐标y′是7，

∴当x>0,即-x2+16=7时，解得x=3，

当x<0,即x2-16=7时，解得x=-.

综上，“可控变点”Q的横坐标为3或-;

（3）由题意，得y=-x2+16的图象上的点P的“可控变点”必在函数y′=的图象上，如解图②，

第2题解图②

当x=-5时，x2-16=9，

∵y′=x2-16＞-16（x＜0），

∴y′=-16在y′=-x2+16（x≥0）上，

∴-16=-x2+16，

∴x=，

∴实数a的值为.

3.平面直角坐标系xOy中，点，与，，如果满足，，其中，则称点A与点B互为反等点．

已知：

点C（3，4）

（1）下列各点中，点与点C互为反等点；

D（3，4）E（3，4）F（3，4）

（2）已知点G（5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P，Q互为反等点，求点P的横坐标的取值范围；

（3）在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为r，若⊙O与

（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取值范围．

第3题图

解：

（1）F（3，4）；

【解法提示】∵3+（-3）=0，4-4=0

∴点（-3，4）与点（3，4）互为相反等点．

（2）由于点C与点F互为反等点．

又∵点P，Q是线段CG上的反等点，

∴点P的横坐标xP的取值范围为：

-3≤xP≤3，且xp≠0．

（3）①当⊙O与CG相离时，此时r<4，⊙O与线段CG没有交点；

②当⊙O与CG相切时，如解图①，此时r=4，⊙O与线段CG只有一个交点；

③当⊙O与CG相交于点C时，如解图②，此时r==5．⊙O与线段CG有交点；

图①图②

第3题解图

当r＞5，时，⊙O与线段CG有一个交点或者没有交点，

所以没有互为反等点．

综上当4＜r≤5时，⊙O与线段CG有两个交点，这两个交点互为反等点的两个交点．

4.在平面直角坐标系中，过轴上一点作平行于轴的直线交某函数图象于点，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线交轴于点（在线段上，不与点重合），则称为点，,的“平横纵直角”.图①为点，,的“平横纵直角”的示意图.

如图②，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象与轴交于点，与轴分别交于点（，0），（12，0）.若过点F作平行于轴的直线交抛物线于点.

（1）点的横坐标为；

（2）已知一直角为点的“平横纵直角”，若在线段上存在不同的两点、，使相应的点、都与点重合，试求的取值范围；

（3）设抛物线的顶点为点，连接与交于点,当时，求的取值范围．

第4题图

解：

（1）9；

（2）∵，

∴点K在x轴的上方．

如解图①，过N作NW⊥OC于点W，设，，

则NW＝OF＝m，WM＝．

由△MOK∽△NWM，得，

∴．

∴．

当时，，

化为．

当Δ=0，即，

解得，

线段OC上有且只有一点M，使相应的点K与点F重合．

∴线段OC上存在不同的两点M1、M2，使相应的点K1、K2都与点F重合时，且的取值范围为．

图①图②

第4题解图

（3）设抛物线的表达式为：

（a≠0），

又∵抛物线过点F（0，），

∴,．

∴抛物线的表达式化为：

．

如解图②，过点Q做QG⊥x轴与FN交于点R

∵FN∥x轴

∴∠QRH=90°

∵，，.

又∵，

∴

当时，可求出，

当时，可求出．

的取值范围为．

5.以点P为端点竖直向下的一条射线PN，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线PN1，PN2，我们规定：

为点P的“摇摆角”，射线PN摇摆扫过的区域叫作点的“摇摆区域”（含PN1，PN2）.

在平面直角坐标系xOy中，点.

（1）当点P的摇摆角为时，请判断、、、属于点P的摇摆区域内的点是______________________（填写字母即可）；

（2）如果过点，点两点连线的线段完全在点P的摇摆区域内，那么点P的摇摆角至少为_________°；

（3）⊙W的圆心坐标为，半径为，如果⊙上的所有点都在点的摇摆角为时的摇摆区域内，求的取值范围．

第5题图

解：

（1）根据“摇摆角”作出图形，如解图①所示，

第5题解图①

将O、A、B、C四点在平面直角坐标系中标出后，

可以发现，B、C在点P的摇摆区域内，

故属于点P的摇摆区域内的点是B、C

（2）如解图②所示，当射线PN1过点D时，

图②图③

第5题解图

由对称性可知，此时点E不在点P的摇摆区域内，

当射线PN2过点E时，设点P在x轴的投影点为Q，

由对称性可知，此时点D在点P的摇摆区域内，

易知：

此时PQ=QE，

∴∠EPQ=45°，

∴如果过点D（1，0），点E（5，0）的线段完全在点P的摇摆区域内，那么点P的摇摆角至少为90°

（3）∵⊙W上的所有点都在点P的摇摆角为60°时的摇摆区域内，此时⊙W与射线PN1相切，

设直线PN1与x轴交于点M，⊙W与射线PN1相切于点N，Q为P点竖直向下的一条射线PN与x轴的交点，

由定义可知：

∠PMW=60°，

∵NW=1，PQ=3，

∴sin∠PMW=，tan∠PMW=，

∴MW=，MQ=，

∴OM=2-，

∴OW=OM+MW=2-+=2-，

∴此时W的坐标为：

（2-，0）

由对称性可知：

当⊙W与射线PN2相切时，

此时W的坐标为：

（2+，0）

∴a的范围为：

2-≤a≤2+.

类型二新定义函数与圆的综合题

6.对于平面上的两点A，B，给出如下定义：

以点A或点B为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B的“确定圆”的示意图．

（1）已知点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，3），则点A，B的“确定圆”的面积为；

（2）已知点A的坐标为（0，0），若直线y=x+b上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9π，求点B的坐标；

（3）已知点A在以P（m，0）为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线y=-x+上，若要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m的取值范围．

第6题图

解：

（1）25π；【解法提示】由勾股定理，得AB=5，

点A，B的“确定圆”的面积为52π=25π.          

（2）∵直线y=x+b上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9π，

∴⊙A的半径AB=3且直线y=x+b与⊙A相切于点B且直线y=x+b分别与x轴相交于点C,D，如解图①，

∴AB⊥CD，∠DCA=45°．

第6题解图①

①当b＞0时，则点B在第二象限，

过点B作BE⊥x轴于点E，

∵在Rt△BEA中，∠BAE=45°，AB=3，

∴BE＝AE＝，

∴B，

②当b＜0时，则点B'在第四象限．

同理可得B′.

综上所述，点B的坐标为或.

（3）如解图②，

第6题解图②

直线y=-x+当y=0时，x=3，即C（3，0）．

∵tan∠BCP=,

∴∠BCP=30°，

∴PC=2PB．

由题意可知，点P到直线y=-x+的距离最小是PB=4，

∴PC=8．

∵3-8=-5，∴P1（-5，0），

∵3+8=11，∴P2（11，0），

当p≤-5或p≥11时，PD的距离大于或等于4时，点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π．

综上所述，当点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π时，m的范围是m≤-5或m≥11．

7.P是半径为1的⊙C外一点，若射线PC交⊙C于点A，B两点，则给出如下定义：

若0＜PAPB≤3，则点P为⊙C的“特征点”．

（1）当⊙O的半径为1时．

在点P1（,0）、P2（0,2）、P3（4，0）中，⊙O的“特征点”是；

点P在直线y=x+b上，若点P为⊙O的“特征点”．求b的取值范围；

（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上的所有点都不是⊙C的“特征点”，直接写出点C的横坐标的取值范围．

第7题图

解：

（1）①P1（,0）、P2（0,2）

②如解图，在y=x+b上，若存在⊙O的“特征点”点P，点O到直线y=x+b的距离m≤2.

直线y=x+b1交y轴于点E，过O作OH⊥直线y1=x+b1于H.

∵OH=2，在Rt△DOE中，可知OE=2.

可得b1=2.同理可得b2=-2.

∴b的取值范围是:

≤b≤.

第7题解图

（2）x>或.

8.在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为，点N的坐标为，且，,我们规定：

如果存在点P，使△MNP是以线段MN为直角边的等腰直角三角形，那么称点P为点M、N的“和谐点”.

（1）已知点A的坐标为，

①若点B的坐标为，在直线AB的上方，存在点A，B的“和谐点”C，直接写出点C的坐标；

②点C在直线x=5上，且点C为点A，B的“和谐点”，求直线AC的表达式.

（2）⊙O的半径为，点D为点E、F的“和谐点”，若使得△DEF与⊙O有交点，画出示意图并直接写出半径的取值范围.

第8题图

解：

（1）①；

②由解图①可知，B

∵A（1,3）