自考线性代数经管类公式汇总精髓版.docx

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自考线性代数经管类公式汇总精髓版

第一章行列式

一．行列式的定义和性质

1.余子式和代数余子式的定义

2．行列式按一行或一列展开的公式

1）

2）

测试点行列式的任意一行（列）与另一行（列）元素的代数余子式的乘积之和为零.

3．行列式的性质

1）

2）用数乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的倍.推论

3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数.推论

4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.

5）行列式可以按任一行（列）拆开.

6）行列式的某一行（列）的倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.

例设行列式=1，=2，则=（　3　）

二．行列式的计算

1．二阶行列式和三角形行列式的计算.

2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算.

3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.

4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型.

5.范德蒙行列式的计算公式

例（性质4）

例（各行元素之和为常数的行列式的计算技巧）

例（行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算）

例中，项的系数

第二章矩阵

一、矩阵的概念

1.要弄清矩阵与行列式的区别

2.两个矩阵相等的概念

3.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）

二、矩阵的运算

1．矩阵的加、减、乘有意义的充分必要条件

2．矩阵运算的性质

比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律；）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点.

如果，可能例如都不为零，但.

3．转置对称阵和反对称阵

1）转置的性质

2）若，则称为对称（反对称）阵

例为任意阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（　B　）

A．B．

C．D．

解析故为对称阵.

故为反对称阵.

故为对称阵.同理也为对称阵.

4.方阵的行列式的性质

5.逆矩阵

1）方阵可逆（也称非异，满秩）的充分必要条件是.

当可逆时，.其中方阵的伴随阵的定义。

特别当时，

重要公式

；；与的关系

2）重要结论：

若n阶方阵满足，则都可逆，且.

3）逆矩阵的性质：

;当时，；;.

4）消去律：

设方阵可逆，且，则必有.（若不知可逆，仅知结论不一定成立。

）

例设为2阶可逆矩阵，且已知，则=

解由,所以故

例（求逆矩阵的方法）设求.

解方法1

方法2

例（若则都可逆,且）

已知则_____________。

解由得，即，

即，故

例设是n阶方阵，且，证明可逆？

.

证因为,即,所以

故可逆,且.

例设阶方阵满足，其中为正整数，证明可逆，且

分析只要检查即可

证因为

.

故

6．分块矩阵

矩阵运算时，分块的原则：

保证运算能顺利进行（包括分块矩阵和子块的运算）如

；

分快矩阵的运算规则；特别是分快矩阵的转置

准对角阵的逆矩阵：

如果都是可逆阵，则

三、矩阵的初等变换和初等矩阵

1．初等变换的定义和性质

称矩阵的下列三种变换为初等行变换：

（1）两行互换；

（2）某一行乘一个非零的数；

（3）某一行的倍加到另一行上。

类似地可定义初等列变换，初等行变换，初等列变换统称为初等变换.

方阵经初等变换后的行列式是否变化？

（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况）

初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能将矩阵化为标准形，其中为矩阵的秩.

如果矩阵经过有限次的初等变换变成则称矩阵与等价.等价矩阵有相等的秩，从而有相等的等价标准形.

2.初等矩阵的定义和性质

1）初等矩阵的定义;初等阵都可逆，且其逆也是同类型的初等阵.

2）初等变换和矩阵乘法之间的关系

3）对任意阶矩阵，总存在一系列阶初等阵和一系列阶初等阵使得

4）矩阵阶与等价的充分必要条件是存在一系列阶初等阵和一系列阶初等阵使得

例（初等矩阵的定义和性质）下列矩阵中，是初等矩阵的为（　C　）

A．B．C．D．

解析是由单位矩阵经第三行加第一行得到的，故是初等矩阵。

四、矩阵的阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法

1矩阵的阶子式的概念

2矩阵秩的概念定义矩阵的秩为0，对于非零矩阵，如果有一个阶子式不等于而所有的阶子式（如果有的话）都等于则称矩阵的秩为.显然阶可逆矩阵的秩等于，故可逆阵又称是满秩的.阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数.

3.等价矩阵有相等的秩（初等变换不改变矩阵的秩）;从而矩阵左乘（右乘）可逆阵其秩不变.反之两个同形矩阵只要秩相等，则二者必等价.

4.求矩阵秩的方法

例设为m×n矩阵，是n阶可逆矩阵，矩阵的秩为，则矩阵的秩为_______.

测试点用可逆矩阵左（右）乘任意矩阵,则的秩不变.

五、矩阵方程的标准形及解的公式

第三章向量空间

一、维向量线性运算的定义和性质;

例向量由向量组线性表示;组合系数的求法

设向量则由线性表出的表示式为_____.

解考虑

该线性方程组的增广矩阵

所以

二、维向量组的线性相关性

1．向量组的线性相关性的定义和充分必要条件：

1）定义:

设是一组维向量.如果存在个不全为零的数，使得

则称向量组线性相关，否则，即如果，必有

，则称向量组线性无关.

2）个维向量线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合.即线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.

2.关于线性相关的几个定理

1）如果向量组线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.

2）线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关.（部分相关,则整体相关;或整体无关,则部分无关）

3）若向量组线性无关,则接长向量组

必线性无关.

3．判断向量组线性相关性的方法

1）一个向量线性相关；

2）含有零向量的向量组必线性相关；

3）向量个数＝向量维数时，n维向量组线性相关

.

4）向量个数>向量维数时,向量组必线性相关；

5）部分相关，则整体必相关；（整体无关，则部分必无关）.

6）若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；

7）向量组线性无关向量组的秩＝所含向量的个数，向量组线性相关向量组的秩<所含向量的个数;

8）向量组线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组

有（没有）非零解.

例设向量，下列命题中正确的是（　B　）

A．若线性相关，则必有线性相关

B．若线性无关，则必有线性无关

C．若线性相关，则必有线性无关

D．若线性无关，则必有线性相关

三、向量组的极大无关组及向量组的秩

1．极大无关组的定义：

设是向量组的一个部分组.如果

（1）线性无关；

（2）任给，都有线性相关，则称是向量组的一个极大无关组.

2．向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩；求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法

例设是一个4维向量组，若已知可以表为的线性组合，且表示法惟一，则向量组的秩为___3___.

四、子空间的定义，基、维数、向量在一组基下的坐标

1.维向量空间的定义：

维实向量的全体构成的集合称为维向量空间，记为.

2.子空间的定义：

设是的一个非空子集，且满足对加法运算和数乘运算封闭，则称是的一个子空间,简称为向量空间.

3.生成子空间的定义：

设则由它们的所有线性组合构成的一个子空间，称它为由生成的子空间.

例设

，说明哪个是子空间，那个不是.

解析在中，任取为任意数，都有

所以是子空间.

类似地，可以证明也是子空间.

但对，取都属于而

这表明对加法运算不封闭，故不是子空间.

4.向量空间的基和维数的定义

向量空间的一个向量组线性无关，且中每个向量都能由它线性表示，则称它为向量空间的一个基.零空间没有基，定义它为0维，否则，称向量空间的基所含向量个数为该空间的维数.

设称为在这组基下的坐标.

例向量空间为实数}的维数为____2_____.

容易看出是的一个基。

例（向量在一组基下的坐标）证明向量组是的一组基，则向量在这组基下的坐标是_______.

解因为

故线性无关，所以它是的一组基.

考虑该线性方程组的增广矩阵为：

得所以在这组基下的坐标是（即）

例求由向量组生成的子空间的一个基，并说明该生成子空间的维数.

解析显然是的一个极大无关组，故是由向量组生成的子空间的一个基，所以该子空间的维数等于

第四章线性方程组

一、线性方程组的三种表示方法

1.

2.，其中.

3．其中

二、齐次线性方程组

1．齐次方程组有非零解的条件

1）齐次方程组有非零解的充分必要条件是未知数的个数（即矩阵的列数）.

2）其次方程组只有零解的充要条件是系数矩阵的秩

3）n个未知数n个方程的齐次方程组有非零解的充分必要条件是.

4）设是阶矩阵.若，则齐次方程组必有非零解.（这是齐次方程组有非零解的充分条件但不必要）

2.齐次方程组解的结构

1）齐次方程组解的性质

设都是的解，则也是的解（C1，C2为任意常数）

2）齐次方程组的基础解系的概念

设是齐次方程组的一组解.如果它满足：

（1）线性无关；

（2）的任何一个解都可以表示为的线性组合，则称为该齐次方程组的基础解系.

如果齐次方程组有非零解（即），则它有基础解系.

重要结论:

齐次方程组的基础解系含个线性无关的解；齐次方程组的任意个线性无关的解都构成该齐次方程组的基础解系；

3）齐次方程组的基础解系的求法

例3元齐次方程组的基础解系所含解向量的个数为1.

解因为齐次方程组的系数矩阵为的秩为,未知数的个数为,所以其基础解系含个解.

例设m×n矩阵的秩，是齐次线性方程组的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为（　D　）

A．B．

C．D．

解显然A,B,C选项中的三个向量都是线性相关的,而齐次方程组的基础解系应由线性无关的向量组组成.

3.齐次方程组的通解公式

如果是基础解系，则它的通解为，其中为任意数.

三．非齐次方程组

1．非齐次方程组解的性质

1）设都是的解，则是它的导出组的解.

2）设都是的解，则当时，也是的解.

3）设是的一个解，是它的导出组的解,则是的解.

2．关于非齐次方程组解的讨论

定理个未知数，个方程的线性方程组中，（系数矩阵是阶矩阵）是增广矩阵.则

1）当且仅当（未知数的个数）时，方程组有惟一解；

2）当且仅当（未知数的个数）时，方程组有无穷多解；

3）当且仅当时，方程组无解.

从以上定理可见

1）线性方程组有解的充分必要条件是.

2）当线性方程组，方程的个数＝未知数的个数时，该方程组有惟一解的充分必要条件是系数行列式（方阵）.

3）如果非齐次线性方程组有解,则它有惟一解的充分必要条件是其导出组只有零解.

3.非齐次方程组的通解的结构

其中是方程的一个特解，为系数矩阵的秩，为它的导出组（与它对应的）齐次方程组的基础解系.

例设3元非齐次线性方程组的两个解为，且系数矩阵的秩，则对于任意常数方程组的通解可表为（　C　）

解因为都是非齐次方程组的解，故

是它的导出组的解，又因为为3元方程组，，故它的基础解