数学初二上第一章 勾股定理.docx
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数学初二上第一章勾股定理
在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗?
它的意思是说:
如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位,那么它的斜边的长一定是5个长度单位,而且3、4、5这三个数有这样的关系:
32+42=52.
(1)请你动动脑筋,能否验证这个事实呢?
该如何考虑呢?
(2)请你观察下列图形,直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7,BC=4,请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72?
一、选择题:
1.下列说法正确的是( )
A.若a、b、c是△ABC的三边,则a2+b2=c2
B.若a、b、c是Rt△ABC的三边,则a2+b2=c2
C.若a、b、c是Rt△ABC的三边,
,则a2+b2=c2
D.若a、b、c是Rt△ABC的三边,
,则a2+b2=c2
2.△ABC的三条边长分别是
、
、
,则下列各式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
3.一个直角三角形中,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是()
A.斜边长为25B.三角形周长为25
C.斜边长为5D.三角形面积为20
二、填空题:
4.在
中,
,
(1)如果a=3,b=4,则c= ;
(2)如果a=6,b=8,则c= ;
(3)如果a=5,b=12,则c= ;
(4)如果a=15,b=20,则c= .
5.如图,三个正方形中的两个的面积S1=25,S2=144,则另一个的面积S3为________.
三、解答题:
6.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形,这个图形被称为弦图.观察图形,验证:
c2=a2+b2.
7.下面是数学课堂的一个学习片段,阅读后,请回答下面的问题:
学习勾股定理有关内容后,张老师请同学们交流讨论这样一个问题:
“已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4,请你求出第三边.”
同学们经片刻的思考与交流后,李明同学举手说:
“第三边长是5”;王华同学说:
“第三边长是
.”还有一些同学也提出了不同的看法……
(1)假如你也在课堂上,你的意见如何?
为什么?
(2)通过上面数学问题的讨论,你有什么感受?
(用一句话表示)
一.填空题
(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏,现在要在相对角的顶点间加固一条木板,则木板的长应取米.
(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼,其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行,另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行,它们离开港口一个半小时后相距海里.
(3)如图1:
隔湖有两点A、B,为了测得A、B两点间的距离,从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C,若测得CA=50m,CB=40m,那么A、B两点间的距离是_________.
图1
二、解答题:
1.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12cm和10cm,求这个三角形的面积.
2.在△ABC中,∠C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm
(1)求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.
(2)求斜边被分成的两部分AD和BD的长.
3.如图2:
要修建一个育苗棚,棚高h=1.8m,棚宽a=2.4m,棚的长为12m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜?
4.如图3,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.
一、选择题:
1、以下面每组中的三条线段为边的三角形中,是直角三角形的是()
A5cm,12cm,13cmB5cm,8cm,11cm
C5cm,13cm,11cmD8cm,13cm,11cm
2、⊿ABC中,如果三边满足关系
=
+
,则⊿ABC的直角是()
A∠CB∠A
C∠BD不能确定
3、由下列线段组成的三角形中,不是直角三角形的是()
Aa=7,b=25,c=24
Ba=2.5,b=2,c=1.5
Ca=
,b=1,c=
Da=15,b=20,c=25
4、三角形的三边长a、b、c满足
,则此三角形是()
A直角三角形B锐角三角形
C钝角三角形D等腰三角形
二、填空题:
5、若一个三角形的三边长分别是m+1,m+2,m+3,则当m=,它是直角三角形。
6、在⊿ABC中,若
,则最大边上的高为。
7、一个三角形的三边之比为
,且周长为60cm,则它的面积是
。
8、三角形的两边长为5和4,要使它成为直角三角形,则第三边的平方为。
9、小白兔每跳一次为1米,先沿直线跳12次后左拐,再沿直线向前跳5次后左拐,最后沿直线向前跳13次正好回到原来的地方,则小白兔第一次左拐的角度是。
三、解答题:
10、小明画了一个如图所示的四边形,其中AB=4,BC=12,CD=13,DA=3,∠A=
,你能求出四边形ABCD的面积吗?
11、已知在⊿ABC中,AB=AC=5,BC=6,求⊿ABC的面积。
12、在⊿ABC中,AB=17cm,BC=16cm,,BC边上的中线AD=15cm,问⊿ABC是什么形状的三角形?
并说明你的理由。
一、选择题
1.小红要求△ABC最长边上的高,测得AB=8cm,AC=6cm,BC=10cm,则可知最长边上的高是()
A.48cmB.4.8cm
C.0.48cmD.5cm
2.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是()
A.b2=c2-a2B.a∶b∶c=3∶4∶5
C.∠C=∠A-∠B
D.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
3.在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是()
A.5,6,7B.1,4,9
C.5,12,13D.5,11,12
4.若一个三角形的三边长的平方分别为:
32,42,x2则此三角形是直角三角形的x2的值是()
A.42B.52
C.7D.52或7
5.如果△ABC的三边分别为m2-1,2m,m2+1(m>1)那么()
A.△ABC是直角三角形,且斜边长为m2+1
B.△ABC是直角三角形,且斜边长2为m
C.△ABC是直角三角形,但斜边长需由m的大小确定
D.△ABC不是直角三角形
二、解答题:
1.作一个三角形,使三边长分别为3cm,4cm,5cm,哪条边所对的角是直角?
为什么?
2.设三角形的三边分别等于下列各组数:
①7,8,10②7,24,25③12,35,37④13,11,10
(1)请判断哪组数所代表的三角形是直角三角形,为什么?
(2)把你判断是Rt△的哪组数作出它所表示的三角形,并用量角器来进行验证.
3.一个零件的形状如图1所示,工人师傅按规定做得AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,假如这是一块钢板,你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗?
4.如图,一块砖宽AN=5cm,,长ND=10cm,,CD上的点B距地面的高BD=8cm,.地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食,要爬行的最短路线是多少?
一、填空题(每小题2分,共22分)
1.在△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,要使∠B=90O,则AC的长应为。
2.如图所示,以直角三角形的一直角边和
斜边为边长所作正方形A、C的面积分别为9和25,则以另一直角边为边长的正方形B的
面积为。
3.等腰三角形的腰长为10,底边长为12,则这个等腰三角形的面积为。
4.若一直角三角形的斜边为2cm,且两直角边比为3:
4,则两直角边分别为。
5.一直角三角形的一条直角边长为12cm,斜边长为13cm,则此三角形的面积为。
6.一帆船由于风向先向正西航行80千米,然后向正南航行150千米,这时它离出发点有千米。
7.在△ABC中,∠C=90O,a=2b,c2=125,则a=。
8.请你任意写出二组勾股数。
9.一个长为5米的梯子的顶端正好架在高为3米的墙头顶上,则梯子底端到墙根的距离为米。
10.已知两条线段长为15cm和8cm,当第三条线段取整数时,这三条线段能组成一个直角三角形。
11.如图,一菜农要修建一个育苗棚,棚宽BE=2m,棚高AE=1.5m,长BC=18m。
AE所在的
墙面与地面垂直,现要在棚顶覆盖一种农用塑料薄膜,请你为他计算一下,共需多少这种塑
料薄膜。
二、选择题(每小题3分,共21分,每小题均给出代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的)
12.下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是()
A.a=3b=4c=5B.a=6b=8c=10
C.a=5b=12c=13D.a=13b=16c=18
13.在Rt△ABC中,∠C=90O,AB=10,AC=8,那么BC的长是()
A.4B.5C.6D.8
14.在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是()
A.32B.42C.42或32D.33或37
15.在△ABC中,AB2=2BC2,AC=BC,那么∠A:
∠B:
∠C为()
A.1:
2:
3B.2:
1:
3C.1:
1:
2D.1:
2:
1
16.直角三角形的周长为12cm,斜边长为5cm,则其面积为()
A.12cm2B.6cm2C.8cm2D.10cm2
17.把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,则其斜边扩大到原来的()
A.2倍B.4倍C.8倍D.3倍
18.如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于()
A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm
三、解答题(共57分)
19.(6分)如图,在四边形ABCD中,∠BAD=
∠DBC=90O,若AD=4cm,AB=3cm,BC=12cm,
求CD的长。
20.(6分)如图,一个长为10米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直高度为8米,梯子的顶端下滑2米后,底端也水平滑动2米吗?
试说明理由。
21.(6分)如图:
这个图形被称为“弦图”,
它是由四个全等的直角三角形拼成的,你能
用这个拼图验证勾股定理吗?
22.(6分)如图,△ABC中,D是BC上的一点,若AB=10,BD=6,AD=8,AC=17,求△ABC的面积。
23.(6分)如图,有一只蚂蚁从一个圆柱体的A点沿着侧面绕圆柱至少一圈爬到B点,已知圆柱的底面半径为1.5cm,高为12cm,则蚂蚁所走过的最短路径是多少?
(
取3)
24.(6分)甲、乙两只轮船同时从港口出发,甲以16海里/时的速度向北偏东75O的方向航行;乙以12海里/时的速度向南偏东15O的方向航行,计算它们出发1.5小时后两船的距离。
25.(6分)成书于公元一世纪的我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题,就是“引葭赴岸”问题,题目是:
“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适马岸齐,问水深,葭长各几何?
”
题意是:
有一正方形池塘,边长为一丈,有棵芦
苇长在它的正中央,高出水面部分有一尺长,把芦苇拉向岸边,恰好碰到岸沿,问水深和芦苇长各是多少?
26.(7分)如图,有一个长、宽、高分别为
50cm、40cm、30cm的木箱,你能否把一根长
为70cm的木棒放进去?
请说明你的理由。
27.(8分)分别以直角三角形的三边为直径作
半圆,则这三个半圆面积之间有什么样的关系,
请加以说明。
1.1.1参考答案:
一、选择题:
1.D2.B3.C二、填空题:
4.5;10;13;255.169三、解答题:
6.中空正方形的面积为
,也可表示为
,∴
=
,整理得
.7.
(1)分两种情况:
当4为直角边长时,第三边长为5;当4为斜边长时,第三边长为
.
(2)略
1.1.2参考答案
一、填空题:
1.
(1)2.5
(2)30(3)30米
二、解答题:
1.如图:
等边△ABC中BC=12cm,AB=AC=10cm
作AD⊥BC,垂足为D,则D为BC中点,BD=CD=6cm
在Rt△ABD中,AD2=AB2-BD2=102-62=64
∴AD=8cm
∴S△ABD=
BC·AD=
×12×8=48(cm2)
2.解:
(1)∵△ABC中,∠C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm
∴AB2=AC2+BC2=2.12+2.82=12.25
∴AB=3.5cm
∵S△ABC=
AC·BC=
AB·CD
∴AC·BC=AB·CD
∴CD=
=
=1.68(cm)
(2)在Rt△ACD中,由勾股定理得:
AD2+CD2=AC2
∴AD2=AC2-CD2=2.12-1.682
=(2.1+1.68)(2.1-1.68)
=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21
=22×9×0.21×0.21
∴AD=2×3×0.21=1.26(cm)
∴BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24(cm)
3.解:
在直角三角形中,由勾股定理可得:
直角三角形的斜边长为3m,所以矩形塑料薄膜的面积是:
3×12=36(m2)
4.解:
根据题意得:
Rt△ADE≌Rt△AEF
∴∠AFE=90°,AF=10cm,EF=DE
设CE=xcm,则DE=EF=CD-CE=8-x
在Rt△ABF中由勾股定理得:
AB2+BF2=AF2,即82+BF2=102,
∴BF=6cm
∴CF=BC-BF=10-6=4(cm)
在Rt△ECF中由勾股定理可得:
EF2=CE2+CF2,即(8-x)2=x2+42
∴64-16x+x2=x2+16
∴x=3(cm),即CE=3cm
1.2参考答案:
一、选择题:
1、A2、B3、C4、A
二、填空题:
5、26、2.47、1208、9或419、
三、解答题:
10、3611、1212、等腰直角三角形
1.3参考答案
一、选择题:
1:
B2:
D3:
C
4:
D(注意有两种情况(ⅰ)32+42=52,(ⅱ)32+7=42)5:
A
二、解答题:
1.:
5cm所对的角是直角,因为在直角三角形中直角所对边最长.
2.:
(1)②③∵72+242=252,122+352=372
(2)略
3.:
∵42+32=52,52+122=132,即AB2+BC2=AC2,故∠B=90°,同理,∠ACD=90°
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=
×3×4+
×5×12=6+30=36.
4、17cm
单元测试参考答案:
一、填空题
1.13cm。
2.16。
3.48。
4.1.6和1.2。
5.30。
6.170。
7.10。
8.5、12、13,6。
8.10。
9.4。
10.17。
11.45m2
二、选择题
12.D;13.C;14.C;15.C;16.B;17.A;18.B。
三、角答题
19.CD=13cm
20.底端下滑2米,理由如下:
Rt△ABC中,BC2=AB2-AC2=102-82=62
即BC=6(米),在Rt△DCE中,CE=AC-AE=6(米)DE=10米
∴DC2=DE2-CE2=102-62=82即DC=8米所以BD=8-6=2(米)
21.设图中大、小两个正方形的面积分别为S1和S2,则
S2=(b-a)2=a2+b2-2abS1=S2+4×
ab=a2+b2
又S1=c2,故a2+b2=c2
22.∵62+82=102=100
∵BD2+AD2=AB2,∵△ABD是直角三角形,且∠ADC=90O,
∴在Rt△ADC中,DC2=AC2-AD2=172-82=225=152
∴DC=15,BC=BD+DC=21,∴S△ABC=
BC·AD=
×8×21=84
23.圆柱的侧面展开图为长方形,
AB2=AC2+BC2
=(2×1.5×3)2+122=225
即AB=15(cm)
24.S=30(海里)
25.略解:
设水深为x尺,因CD=1尺,故AB=AD=(x+1)尺,又BC=5尺,
由勾股定理得(x+1)2=x2+52∴x=12,∴水深为12尺,芦苇长为13尺。
26.长方体内最长对角线AC1的长的平方为502+402+302=5000,而702=4900
故木棒能放进去。
27.设直角三角形两直角边为a、b,斜边为c,对应半圆面积分别为S1、S2、S3,则a2+b2=c2,且S1=
(
)2,S2=
(
)2,S3=
(
)2
即a2=
,b2=
,c2=
故
+
=
,即S1+S2=S3