整理高等数学 微分方程.docx

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整理高等数学微分方程

第十二章微分方程

§1微分方程的基本概念

1、由方程x2-xy+y2=C所确定的函数是方程（）的解。

A.（x-2y）y'=2-xyB.（x-2y）y'=2x-yC.（x-2）dx=（2-xy）dyD.（x-2y）dx=（2x-y）dy

2、曲线族y=Cx+C2（C为任意常数）所满足的微分方程（）

4.微分方程y'=写成以y为自变量，x为函数的形式为（）

A.B.C.x'=2x-yD.y'=2x-y

§2可分离变量的微分方程

1.方程P（x,y）dx+Q（x,y）dy=0是（）

A.可分离变量的微分方程B.一阶微分方程的对称形式，C.不是微分方程D.不能变成

2、方程xy'-ylny=0的通解为（）

Ay=exB.y=CexC.y=ecxD.y=ex+C

3、方程满足初始条件：

y'=e2x-y,y|x=0=0的特解为（）

A.ey=e2x+1B.C.y=lne2x+1-ln2D.ey=e2x+C

4、已知y=y（x）在任一点x处的增量，且当∆x→0时，α是∆x高阶无穷小，y（0）=π,则y

（1）=（）

A.2πB.πC.D.

5、求特解cosxsinydy=cosysinxdx，y|x=0=

解：

分离变量为tanydy=tanxdx，即-ln（cosy）=-ln（cosx）-lnC，cosy=ccosx代入初始条件：

y|x=0=得：

特解为：

cosy=cosx

6、求微分方程满足y（0）=π的特解。

解：

由得：

，积分得：

代入初始条件：

y（0）=π，得C=-2

7、求微分方程满足y（0）=0的特解

解:

分离变量得

两边积分，得，将y（0）=0代入得C=0

特解：

§3齐次方程

1.（x2+y2）dx-xydy=0，其通解为（）A.y2=x2（2ln|x|+C）B.y=x（2ln|x|+C）C.y2=2x2ln|x|+CD.y=2xln|x|+C

2.,y|x=1=2，则特解为（）

A.y2=2x2（lnx+C）B.y2=2x2（lnx+2）C.y=2xlnx+CD.y=2xlnx+2

3.的通解为（）

A.x=2y+CB.C.D.以上都不对

4、求y'x2+xy=y2满足y|x=1=1的特解。

解：

，则解得：

5、求微分方程（x2+2xy-y2）dx-（y2+2xy-x2）dy=0满足初始条件y|x=1=1的特解

解：

，可得

解得：

lnx+lnC=ln（u+1）-ln（1+u2），即x（1+u2）=C（1+u）,代入初始条件y|x=1=1得特解x2+y2=x+y

7、求曲线，使其上任一点到原点的距离等于该点的切线在x轴上的截距

解：

设曲线上任一点P（x,y），曲线：

y=y（x），则由题意知：

Y-y=y'（X-x）

又，得

整理得：

，解得：

，得通解

§4一阶线性微分方程

1、微分方程（y2+1）dx=y（y-2x）dy的通解是（）

A.B.；C.

D.

2、微分方程xy'+2y=xlnx满足y

（1）=的解为（）

A.，B.，C.，.

3、y'+y=y2（cosx-sinx）的通解为（）

A.y=Cex-sinxB.=Cex-sinxC.Cyex-ysinx=CD.y=ex-sinx+C

4、求通解

解：

，令得，

，，即，

5、求通解xdy-ydx=y2eydy

解：

整理得，

9、已知连续函数f（x）满足方程，求f（x）

解：

原方程两边对x求导数f'（x）=3f（x）+2e2x

f'（x）-3f（x）=2e2x解得：

f（x）=Ce3x-2e2x又f（0）=1，所以C=3，f（x）=3e3x-2e2x

2、数ϕ（x）具有二阶连续导数，且ϕ（0）=ϕ'（0）=0，并已知yϕ（x）dx+（sinx-ϕ'（x））dy=0是一个全微分方程，则ϕ（x）=（）A.B.C.x2exD.

3、别下列方程的类型并求其通解

（1）（a2-2xy-y2）dx-（x+y）2dy=0

解：

是全微分方程，

通解为:

（2）（1+e2θ）dρ+2ρe2θdθ=0

解：

是全微分方程d（ρ+ρe2θ）=0，通解为ρ+ρe2θ=C

4、f（x）可导，f（0）=1，对任意简单闭曲线L,，求

解：

对任意闭曲线L有，知，由此得f'（x）-2x=f（x）

解得：

f（x）=Cex-2x-2,再代入初始条件可得C=3。

于是f（x）=3ex-2x-2，

§6可降阶的高阶微分方程

1、yy"+y'2=0满足初始条件y|x=0=1，y'|x=0=的特解为（）

A.y2=x+CB.C.D.y2=C1x+C2

2、方程xy"=y'lny'的通解为（）

A.B.，C.D.以上都不对

3、

（1）求y"=y'+x的通解

解：

令y'=p得p'-p=xp=-x-1+C1ex

（2）求xy"+y'=0的通解

解：

令y'=p，则xp'+p=0，得y=C1lnx+C2

§7高阶线性微分方程

1、证明：

是方程y"-3y'+2y=e5x的通解

2、已知二阶线性非齐次方程y"+p（x）y'+q（x）y=f（x）的特解为y1=x,y2=ex,y3=e2x,试求

方程满足初始条件y（0）=1,y'（0）=3的特解。

解：

由线性微分方程解的理论，非齐次微分方程y"+p（x）y'+q（x）y=f（x）任两解之差是对应齐次方程y"+p（x）y'+q（x）y=0的解。

得齐次方程的两个解：

ex-x,e2x-x，且线性无关。

于是齐次方程的通解Y=C1（ex-x）+C2（e2x-x）.

非齐次方程的通解是y=x+C1（ex-x）+C2（e2x-x）.由y（0）=1，y'（0）=3代入得：

C1=-1,C2=2，所以特解为y=2e2x-ex

§8常系数齐次线性微分方程

1、设y=ex（C1sinx+C2cosx）（C1,C2为任意常数）为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为（）

A.y"+2y'+y=0B.y"-2y'+2y=0C.y"-2y'=0D.y"+y=0

2、设y1=excos2x,y2=exsin2x都是方程y"+py'+qy=0的解，则（）

A.p=2,q=5,B.p=-2,q=5C.p=-3,q=2D.p=2,q=2

3、设常系数线性齐次方程特征方程根r1,2=-1,r3,4=±i，则此方程通解为（）

A.y=（C1+C2x）e-x+C3cosx+C4sinxB.y=C1e-x+C2cosx+C3sinx

C.y=C1e-x+C2cosx+C3xsinxD.C1e-x+（C2+x）cosx+C3sinx

4、求下列微分方程的通解

（1）y"-4y'+13y=0。

解：

r2-4r+13=0⇒r1,2=2±3i，y=e2x（C1cos3x+C2sin3x）

（2）y"+25y=0解：

r2+25=0⇒r=±5i，y=C1cos5x+C2sin5x

（3）。

解：

r2+2r+1=0⇒r1,2=-1，y=（C1+C2t）e-t

（4）y（4）-2y'"+5y"=0。

解：

r4-2r3+5r2=0⇒r1,2=0,r3,4=1±2i，y=C1+C2x+ex（C3cos2x+C4sin2x）

5、求下列初值问题的特解y"+（λ1+λ2）y'+λ1λ2y=0（λ1≠λ2且为实数）满足y（0）=0,y'（0）=1

解：

r2+（λ1+λ2）r+λ1λ2=0⇒r1=λ1r2=λ2，通解为由y（0）=0,y'（0）=1，得

§9常系数非齐次线性微分方程

1、方程y"+16y=sin（4x+a）（a为常数）的特解形式为y*=（）

A.Acos4x+Bsin4x；B.x（Acos4x+Bsin4x）；C.Acos4x-Bsin4x;D.x2（Acos4x-Bsin4x）

2、设函数y1,y2,y3都是线性非齐次方程y"+p（x）y'+q（x）=f（x）的特解，则函数

y=（1-C1-C2）y1+C1y2+C2y3（）（C1,C2为任意常数）

A.是所给方程通解B.不是方程的解C.是所给方程的特解

D.可能是方程的通解，但一定不是其特解。

3、方程y"-2y'=xe2x的特解具有形式（）

A.y*=Axe2x;B.y*=（Ax+B）e2x;C.y*=x（Ax+B）e2x;D.y*=x2（Ax+B）e2x

4.求解微分方程y"+2y'+2y=e-xsinx

解：

对应的齐次方程：

y"+2y'+2y=0，特征方程r2+2r+2=0⇒r1,2=-1≠i，齐次方程通解为：

Y=e-x（C1cosx+C2sinx）

由于λ±ωi=-1±i是特征方程的根，设y*=xe-x（Acosx+Bsinx）代入原方程得：

A=,B=0，即y*=xe-xcosx

原方程通解为y=Y+y*=e-x（C1cosx+C2sinx）xe-xcosx

5.求解初值问题y"+9y=cosx,

解：

由y"+9y=0得：

r1,2=±3i，所以齐次方程通解是：

Y=C1cos3x+C2sin3x

由于λ±ωi=i不是特征方程的根，设y*=Acosx+Bsinx代入原方程得：

A=,B=0，即Y=cosx

通解为y=C1cos3x+C2sin3x+cosx，由初始条件得特解

6.求特解：

y"-y=4xex，y|x=0=0,y'|x=0=1

解：

r2-1=0⇒r1,2=±1，所以y"-y=0的通解为Y=C1ex+C2e-x

因λ=1是特征方程的单根，设y*=xex（Ax+B）是原方程的一个特解，代入原方程得：

A=1,B=-1即y*=ex（x2-x），原方程的通解为：

y=C1ex+C2e-x+ex（x2-x）

代入初始条件得：

C1=1,C2=-1，所求特解为：

y=ex（x2-x+1）-e-x

7.求y"-4y=e2x的通解

解：

r2-4=0⇒r1,2=±2，所以y"-4y=0的通解为Y=C1e2x+C2e-2x

因λ=2是特征方程的单根，设y*=Axe2x是原方程的一个特解，代入原方程得：

A=1/4,即y*=1/4xe2x，原方程的通解为：

y=C1e2x+C2e-2x+1/4xex

10、设，其中f（x）有连续的二阶导数，并且满足：

，试求函数f（x）

解：

由,则

，即得r2-r=0⇒r1=0，r2=1

所以齐次方程的通解为Y=C1+C2ex

因λ=1是单根，设y*=Axex是原方程的一个特解，

代入原方程得：

A=1,即y*=xe2x，所以：

f（x）=C1+C2ex+xex

将代入得C1=2,C2=2,故f（x）=

第十二章自测题

一、选择题（3⨯6=18分）

1.方程（x+1）（y2+1）dx+y2x2dy=0是（）

A.线性非齐次方程;B.可分离变量方程；C.线性齐次方程；D.伯努利方程

2.微分方程xdy-ydx=y2eydy的通解为（）

A.y=x（C-ex）；B.y=x（C+ex）；C.x=y（C+ey）；D.x=y（C-ey）

3.由x2-xy+y2=C确定的隐函数满足的微分方程是（）

A.（x-2y）y'=2x-yB.（x-2y）y'=2x，C.-2yy'=2x-yD.xy'=2x-y

4.微分方程y"-2y'=xe2x

A.y*=（Ax+B）e2x;B.y*=Axe2x，;C.y