名师导学数学江苏理提高版大一轮复习练习76数列的综合应用含答案解析.docx

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名师导学数学江苏理提高版大一轮复习练习76数列的综合应用含答案解析

第40课　数列的综合应用

【自主学习】

（本课时对应学生用书第103~105页）

自主学习　回归教材

1.（必修5P38练习4改编）已知一个直角三角形的三边的长组成等差数列，其中最小边长为3，那么该直角三角形的斜边长为　　　　.

【答案】5

【解析】设另一直角边长为b，斜边长为c，则3+c=2b，又32+b2=c2，解得c=5.

2.（必修5P39习题8改编）已知x>0，y>0，x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，那么的最小值是　　　　.

【答案】4

【解析】因为a1+a2=x+y，b1b2=xy，

所以===+2≥2+2=4，当且仅当x=y时取“=”.

3.（必修5P48习题13改编）如图所示的三角形数阵，根据图中的规律，第n行（n≥2）第2个数是　　　　.

（第3题）

【答案】

【解析】设第n行的第2个数为an，不难得出规律，a3-a2=2，a4-a3=3，…，an-an-1=n-1，累加得an=.

4.（必修5P44例4改编）某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有　　　　个座位.

【答案】820

5.（必修5P55例5改编）某人为了购买商品房，从2001年起，每年1月1日到银行存入a元一年期定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款及利息均自动转为新一年定期存款，到2009年1月1日（当日不存只取）将所有的存款及利息全部取回（不计利息税），则可取人民币为　　　　　　元.

【答案】

【解析】由题知，到2009年1月1日可取回钱总数为a（1+p）8+a（1+p）7+…+a（1+p）=.

1.数列可以与函数、方程、不等式、三角函数、平面向量、解析几何等组成综合问题，灵活地运用等差、等比数列的知识分析问题、解决问题是关键.

2.解答有关数列的实际应用问题，通常可分为三步：

（1）根据题意建立数列模型；

（2）运用数列知识求解数列模型；

（3）检验结果是否符合题意，给出问题的答案.

【要点导学】

要点导学　各个击破

　子数列问题

例1　已知在等差数列{an}中，a2=5，前10项和S10=120，若从数列{an}中依次取出第2项、第4项、第8项、…、第2n项，按原顺序组成新数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn.

【解答】设{an}的公差为d，

则

所以an=3+（n-1）·2=2n+1，

bn==2·2n+1，

所以Tn=n+2（21+22+…+2n）=n+2·=2n+2+n-4.

变式　已知{an}为等差数列，公差d≠0，{an}中的部分项组成的数列，…，，…恰为等比数列，其中k1=1，k2=5，k3=17，求kn.

【解答】由题设知，…，即为a1，a5，a17，…成等比数列，

则（a1+4d）2=a1（a1+16d），

因为d≠0，所以a1=2d，

公比q===3，

所以=a1·qn-1=a1·3n-1.

又=a1+（kn-1）·d=a1+（kn-1）·，

所以a1+（kn-1）·=a1·3n-1.

因为a1≠0，所以kn=2×3n-1-1.

　数列与函数、不等式等综合问题

例2　设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f（n）（n∈N*）.

（1）求f

（1），f

（2）的值及f（n）的表达式.

（2）设Sn为数列{bn}的前n项的和，其中bn=2f（n），是否存在正整数n，t，使得<成立?

若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由.

【思维引导】

（1）直接把n=1，2代入即可求出f

（1），f

（2）的值；再把x=1，x=2代入综合求出f（n）的解析式.

（2）先利用bn=2f（n）求出数列{bn}的通项公式，进而求出Sn；把Sn代入<，化简得<，再分t=1以及t>1求出其对应的n即可说明结论.

【解答】

（1）f

（1）=3，f

（2）=6.

当x=1时，y取值为1，2，3，…，2n，共有2n个格点；

当x=2时，y取值为1，2，3，…，n，共有n个格点.

所以f（n）=n+2n=3n.

（2）因为bn=2f（n）=23n=8n，

所以Sn==（8n-1）.

将Sn代入<，化简得<.　①

若t=1，<，即<，显然n=1；

若t>1，①式化简为8n>，不可能成立.

综上，存在正整数n=1，t=1使得<成立.

【精要点评】本题综合考查了数列、不等式表示的平面区域、不等式恒成立问题等知识.在解题时，要时刻注意n的整数特征.

变式　已知数列{an}，{bn}满足a1=，an+bn=1，bn+1=.

（1）求b1，b2，b3，b4；

（2）求数列{bn}的通项公式；

（3）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，求当4aSn

【解答】

（1）由题设得bn+1===，

因为a1=，b1=，

所以b2=，b3=，b4=.

（2）因为bn+1-1=-1，

所以==-1+，

所以数列是以-4为首项、-1为公差的等差数列，

所以=-4-（n-1）=-n-3，

所以bn=1-=.

（3）an=1-bn=，

所以Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=++…+=-=，

所以4aSn-bn=-=.

当（a-1）n2+3（a-2）n-8<0恒成立即可满足题意，

设f（n）=（a-1）n2+3（a-2）n-8.

当a=1时，f（n）=-3n-8<0恒成立；

当a>1时，由二次函数的性质知不可能恒成立；

当a<1时，对称轴方程为-·=-<0.

因为f（n）在[1，+∞）上为单调减函数，

f

（1）=（a-1）+（3a-6）-8=4a-15<0，

所以a<，所以a<1时，4aSn

综上，实数a的取值范围为{a|a≤1}.

　数列的实际应用问题

例3　一位幼儿园老师给班上k（k≥3）个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为a0，就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的分给第一个小朋友；再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的分给第二个小朋友……以后她总是在分给一个小朋友后，就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的分给第n（n=1，2，3，…，k）个小朋友，分给第n个小朋友后（未加入2块糖果前）盒内剩下的糖果数为an.

（1）当k=3，a0=12时，分别求a1，a2，a3的值.

（2）请用an-1表示an，令bn=（n+1）an，求数列{bn}的通项公式.

（3）是否存在正整数k（k≥3）和非负整数a0，使得数列{an}（n≤k）成等差数列?

如果存在，请求出所有的k和a0；如果不存在，请说明理由.

【解答】

（1）当k=3，a0=12时，

a1=（a0+2）-（a0+2）=7，

a2=（a1+2）-（a1+2）=6，

a3=（a2+2）-（a2+2）=6.

（2）由题意知an=（an-1+2）-·（an-1+2）=（an-1+2），

即（n+1）an=n（an-1+2）=nan-1+2n.

因为bn=（n+1）an，所以bn-bn-1=2n，

所以bn-bn-1=2n，

bn-1-bn-2=2n-2，

…

b1-b0=2，

叠加得bn-b0=n=n（n+1）.

又b0=a0，所以bn=n（n+1）+a0.

（3）由bn=n（n+1）+a0，得an=n+.

若存在正整数k（k≥3）和非负整数a0，使得数列{an}（n≤k）成等差数列，

则a1+a3=2a2，

即1+a0+3+=2a0=0，

当a0=0时，an=n对任意正整数k（k≥3），有{an}（n≤k）成等差数列.

【精要点评】数列的应用题多侧重于数列知识的考查.在实际应用中，会出现一些与平常数列知识不一样的概念，如会有a0，n有上限等.

变式　某企业在第1年年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元；从第7年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.

（1）求第n年年初M的价值an的表达式；

（2）设An=，若An大于80万元，则M继续使用，否则需在第n年年初对M进行更新，求证：

需在第9年年初对M进行更新.

【解答】

（1）当n≤6时，数列{an}是首项为120、公差为-10的等差数列，所以an=120-10（n-1）=130-10n.

当n≥6时，数列{an}是以a6为首项、公比为为等比数列，又a6=70，

所以an=70·.

因此，第n年年初M的价值an的表达式为

an=

（2）设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得，当1≤n≤6时，Sn=120n-5n（n-1），

An=120-5（n-1）=125-5n；

当n≥7时，Sn=S6+（a7+a8+…+an）=570+70××4×=780-210×，

An=.

因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列.

又A8==82>80，

A9==76<80，

所以需在第9年年初对设备M进行更新.

1.已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a1，a3是方程x2-5x+4=0的两个根，则S6=　　　　.

【答案】63

2.已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，那么数据a1，a2，a3，a4，a5的方差为　　　　.

【答案】8

【解析】由等差数列的性质可得a1，a2，a3，a4，a5这五个数的等差中项为a3，设公差为d，由通项公式可得d=2，所以s2=（4d2+d2+0+d2+4d2）=2d2=8.

3.已知正项等比数列{an}满足：

a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得=4a1，则+的最小值为　　　　.

【答案】

【解析】设等比数列{an}的公比为q，由a7=a6+2a5，得q2-q-2=0，所以q=2（舍去-1）.由=4a1，平方得aman=16，即a12m-1·a12n-1=16，化简得m+n=6，+=（m+n）=≥，当且仅当n=4，m=2时取等号.

4.某厂去年的产值记为1，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总产值约为　　　　.（保留一位小数，取1.15≈1.6）

【答案】6.6

【解析】由条件得总产值为1.1+1.12+1.13+1.14+1.15=≈11×0.6=6.6.

5.（2016·苏北四市期中）已知数列{an}满足2an+1=an+an+2+k（n∈N*，k∈R），且a1=2，a3+a5=-4.

（1）若k=0，求数列{an}的前n项和Sn；

（2）若a4=-1，求数列{an}的通项公式.

【解答】

（1）当k=0时，2an+1=an+an+2，

即an+2-an+1=an+1-an，

所以数列{an}是等差数列.

设数列{an}的公差为d，

则解得

所以Sn=na1+d=2n+×=-n2+n.

（2）由题意知，2a4=a3+a5+k，

即-2=-4+k，所以k=2.

又a4=2a3-a2-2=3a2-2a1-6，

所以a2=3，由2an+1=an+an+2+2，

得（an+2-an+1）-（an+1-an）=-2，

所以数列{an+1-an}是以a2-a1=1为首项、-2为公差的等差数列，

所以an+1-an=-2n+3.

当n≥2时，an-an-1=-2（n-1）+3，

an-1-an-2=-2（n-2）+3，

an-2-an-3=-2（n-3）+3，

…

a3-a2=-2×2+3，

a2-a1=-2×1+3，

累加得an-a1=-2[1+2+…+（n-1）]+3（n-1）（n≥2），

所以an=