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运筹学至章习题参考答案
运筹学1至6章习题参考答案
第1章线性规划
1、1工厂每月生产A、B、C三种产品,单件产品得原材料消耗量、设备台时得消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示.
表1－23
产品
资源
A
B
C
资源限量
材料（kg）
1、5
1、2
4
2500
设备（台时）
3
1、6
1、2
1400
利润（元/件）
10
14
12
根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别就是150、260与120,最高月需求就是250、310与130、试建立该问题得数学模型,使每月利润最大.
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C得产量,则数学模型为
1、2建筑公司需要用5m长得塑钢材料制作A、B两种型号得窗架.两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示:
表1－24窗架所需材料规格及数量
型号A
型号B
每套窗架需要材料
长度（m）
数量（根）
长度（m）
数量（根）
A1:
2
2
B1:
2、5
2
A2:
1、5
3
B2:
2
3
需要量（套）
300
400
问怎样下料使得
（1）用料最少;
（2）余料最少.
【解】第一步:
求下料方案,见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
需要量
B1
2、5
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
800
B2
2
0
1
0
0
2
1
1
0
0
0
1200
A1
2
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
600
A2
1、5
0
0
0
1
0
0
2
0
2
3
900
余料（m）
0
0、5
0、5
1
1
1
0
1
0
0、5
第二步:
建立线性规划数学模型
设xj（j=1,2,…,10）为第j种方案使用原材料得根数,则
（1）用料最少数学模型为
（2）余料最少数学模型为
1、3某企业需要制定1～6月份产品A得生产与销售计划。
已知产品A每月底交货,市场需求没有限制,由于仓库容量有限,仓库最多库存产品A1000件,1月初仓库库存200件。
1～6月份产品A得单件成本与售价如表1－25所示。
表1－25
月份
123456
产品成本（元/件）
销售价格（元/件）
300330320360360300
350340350420410340
（1）1～6月份产品A各生产与销售多少总利润最大,建立数学模型;
（2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时,模型如何变化。
【解】设xj、yj（j＝1,2,…,6）分别为1～6月份得生产量与销售量,则数学模型为
（1）
（2）目标函数不变,前6个约束右端常数800改为1000,第7～11个约束右端常数200改为0,第12个约束“≤200”改为“＝－200”。
1、4某投资人现有下列四种投资机会,三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资:
方案一:
在三年内投资人应在每年年初投资,一年结算一次,年收益率就是20％,下一年可继续将本息投入获利;
方案二:
在三年内投资人应在第一年年初投资,两年结算一次,收益率就是50％,下一年可继续将本息投入获利,这种投资最多不超过2万元;
方案三:
在三年内投资人应在第二年年初投资,两年结算一次,收益率就是60％,这种投资最多不超过1、5万元;
方案四:
在三年内投资人应在第三年年初投资,一年结算一次,年收益率就是30％,这种投资最多不超过1万元.
投资人应采用怎样得投资决策使三年得总收益最大,建立数学模型、
【解】就是设xij为第i年投入第j项目得资金数,变量表如下
项目一
项目二
项目三
项目四
第1年
第2年
第3年
x11
x21
x31
x12
x23
x34
数学模型为
最优解X=（30000,0,66000,0,109200,0）;Z＝84720
1、5炼油厂计划生产三种成品油,不同得成品油由半成品油混合而成,例如高级汽油可以由中石脑油、重整汽油与裂化汽油混合,辛烷值不低于94,每桶利润5元,见表1－26。
表1－26
成品油
高级汽油
一般汽油
航空煤油
一般煤油
半成品油
中石脑油
重整汽油
裂化汽油
中石脑油
重整汽油
裂化汽油
轻油、裂化油、重油、残油
轻油、裂化油、重油、残油按10:
4:
3:
1调合而成
辛烷值
≥94
≥84
蒸汽压:
公斤／平方厘米
≤1
利润（元/桶）
5
4、2
3
1、5
半成品油得辛烷值、气压、及每天可供应数量见表1－27。
表1－27
半成品油
1中石脑油
2重整汽油
3裂化汽油
4轻油
5裂化油
6重油
7残油
辛烷值
80
115
105
蒸汽压:
公斤／平方厘米
1、0
1、5
0、6
0、05
每天供应数量（桶）
2000
1000
1500
1200
1000
1000
800
问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大,建立数学模型。
解设xij为第i（i＝1,2,3,4）种成品油配第j（j=1,2,…,7）种半成品油得数量（桶）。
总利润:
高级汽油与一般汽油得辛烷值约束
航空煤油蒸气压约束
一般煤油比例约束
即
半成品油供应量约束
整理后得到
1、6图解下列线性规划并指出解得形式:
（1）
【解】最优解X＝（3,2）;最优值Z=19
（2）
【解】有多重解。
最优解X
（1）＝（0,5/4）;X
（2）＝（3,1/2）最优值Z=5
（3）
【解】最优解X＝（4,1）;最优值Z=－10,有唯一最优解
（4）
【解】最优解X＝（2,3）;最优值Z=26,有唯一最优解
（5）
【解】无界解。
（6）
【解】无可行解。
1、7将下列线性规划化为标准形式
（1）
【解】
（1）令为松驰变量,则标准形式为
（2）
【解】
（2）将绝对值化为两个不等式,则标准形式为
（3）
【解】方法1:
方法2:
令
则标准型为
（4）
【解】令,线性规划模型变为
标准型为
1、8设线性规划
取基分别指出对应得基变量与非基变量,求出基本解,并说明就是不就是可行基.
【解】B1:
x1、x3为基变量,x2、x4为非基变量,基本解为X=（15,0,10,0）T,B1就是可行基。
B2:
x2、x4就是基变量,x1、x3为非基变量,基本解X=（0,20,0,100）T,B2就是可行基。
1、9分别用图解法与单纯形法求解下列线性规划,指出单纯形法迭代得每一步得基可行解对应于图形上得那一个极点.
（1）
【解】图解法
单纯形法:
C（j）
1
3
0
0
b
Ratio
C（i）
Basis
X1
X2
X3
X4
0
X3
-2
[1]
1
0
2
2
0
X4
2
3
0
1
12
4
C（j）-Z（j）
1
3
0
0
0
3
X2
-2
1
1
0
2
M
0
X4
[8]
0
-3
1
6
0、75
C（j）-Z（j）
7
0
-3
0
6
3
X2
0
1
0、25
0、25
7/2
1
X1
1
0
-0、375
0、125
3/4
C（j）-Z（j）
0
0
-0、375
-0、875
45/4
对应得顶点:
基可行解
可行域得顶点
X
（1）=（0,0,2,12）、
X
（2）=（0,2,0,6,）、
X（3）=（、
（0,0）
（0,2）
最优解
（2）
【解】图解法
单纯形法:
C（j）
-3
-5
0
0
0
b
Ratio
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X5
X3
0
1
2
1
0
0
6
3
X4
0
1
[4]
0
1
0
10
2、5
X5
0
1
1
0
0
1
4
4
C（j）-Z（j）
-3
-5
0
0
0
0
X3
0
[0、5]
0
1
-0、5
0
1
2
X2
-5
0、25
1
0
0、25
0
2、5
10
X5
0
0、75
0
0
-0、25
1
1、5
2
C（j）-Z（j）
-1、75
0
0
1、25
0
-12、5
X1
-3
1
0
2
-1
0
2
M
X2
-5
0
1
-0、5
0、5
0
2
4
X5
0
0
0
-1、5
[0、5]
1
0
0
C（j）-Z（j）
0
0
3、5
-0、5
0
-16
X1
-3
1
0
-1
0
2
2
X2
-5
0
1
1
0
-1
2
X4
0
0
0
-3
1
2
0
C（j）-Z（j）
0
0
2
0
1
-16
对应得顶点:
基可行解
可行域得顶点
X
（1）=（0,0,6,10,4）、
X
（2）=（0,2、5,1,0,1、5,）、
X（3）=（2,2,0,0,0）
X（4）=（2,2,0,0,0）
（0,0）
（0,2、5）
（2,2）
（2,2）
最优解:
X=（2,2,0,0,0）;最优值Z＝－16
该题就是退化基本可行解,5个基本可行解对应4个极点。
1、10用单纯形法求解下列线性规划
（1）
【解】单纯形表:
C（j）
3
4
1
0
0
R、H、S、
Ratio
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X5
X4
0
2
[3]
1
1
0
4
4/3
X5
0
1
2
2
0
1
3
3/2
C（j）-Z（j）
3
4
1
0
0
0
X2
4
[2/3]
1
1/3
1/3
0
4/3
2
X5
0
-1/3
0
4/3
-2/3
1
1/3
M
C（j）-Z（j）
1/3
0
-1/3
-4/3
0
－16/3
X1
3
1
3/2
1/2
1/2
0
2
X5
0
0
1/2
3/2
-1/2
1
1
C（j）-Z（j）
0
-1/2
-1/2
-3/2
0
-6
最优解:
X=（2,0,0,0,1）;最优值Z＝6
（2）
【解】单纯形表:
C（j）
2
1
-3
5
0
0
0
R、H、S、
Ratio
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X5
0
1
5
3
-7
1
0
0
30
M
X6
0
3
-1
[1]
1
0
1
0
10
10
X7
0
2
-6
-1
[4]
0
0
1
20
5
C（j）-Z（j）
2
1
-3
5
0
0
0
X5
0
9/2
-11/2
5/4
0
1
0
7/4
65
M
X6
0
5/2
[1/2]
5/4
0
0
1
-1/4
5
10
X4
5
1/2
-3/2
-1/4
1
0
0
1/4
5
M
C（j）-Z（j）
-1/2
17/2
-7/4
0
0
0
-5/4
X5
0
32
0
15
0
1
11
-1
120
M
X2
1
5
1
5/2
0
0
2
-1/2
10
10
X4
5
8
0
7/2
1
0
3
-1/2
20
M
C（j）-Z（j）
-43
0
-23
0
0
-17
3
因为λ7＝3>0并且ai7<0（i=1,2,3）,故原问题具有无界解,即无最优解。
（3）
【解】
C（j）
3
2
-0、125
0
0
0
R、H、S、
Ratio
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X4
0
-1
2
3
1
0
0
4
M
X5
0
[4]
0
-2
0
1
0
12
3
X6
0
3
8
4
0
0
1
10
10/3
C（j）-Z（j）
3
2
-1/8
0
0
0
0
X4
0
0
2
5/2
1
1/4
0
7
3、5
X1
3
1
0
-1/2
0
1/4
0
3
M
X6
0
0
[8]
11/2
0
-3/4
1
1
1/8
C（j）-Z（j）
0
2
11/8
0
-3/4
0
9
X4
0
0
0
9/8
1
7/16
-1/4
27/4
6
X1
3
1
0
-1/2
0
1/4
0
3
M
X2
2
0
1
[11/16]
0
-3/32
1/8
1/8
0、181818
C（j）-Z（j）
0
0
0
0
-9/16
-1/4
37/4
X3进基、X2出基,得到另一个基本最优解。
C（j）
3
2
-0、125
0
0
0
R、H、S、
Ratio
Basis
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X4
0
0
-18/11
0
1
13/22
-5/11
72/11
6
X1
3
1
8/11
0
0
2/11
1/11
34/11
M
X3
-0、125
0
16/11
1
0
-3/22
2/11
2/11
0、1818
C（j）-Z（j）
0
0
0
0
-9/16
-1/4
37/4
原问题具有多重解。
基本最优解,最优解得通解可表示为即
（4）
【解】单纯形表:
C（j）
3
2
1
0
0
R、H、S、
Ratio
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X5
X4
0
5
4
6
1
0
25
5
X5
0
[8]
6
3
0
1
24
3
C（j）-Z（j）
3
2
1
0
0
0
X4
0
0
1/4
33/8
1
-5/8
10
X1
3
1
3/4
3/8
0
1/8
3
C（j）-Z（j）
0
-1/4
-1/8
0
-3/8
9
最优解:
X=（3,0,0,10,0）;最优值Z＝9
1、11分别用大M法与两阶段法求解下列线性规划:
（1）
【解】大M法。
数学模型为
C（j）
10
-5
1
0
-M
R、H、S、
Ratio
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X5
X5
-M
5
3
1
0
1
10
2
X4
0
-5
1
-10
1
0
15
M
C（j）-Z（j）
10
-5
1
0
0
0
*BigM
5
3
1
0
0
0
X1
10
1
3/5
1/5
0
1/5
2
X4
0
0
4
-9
1
1
25
C（j）-Z（j）
0
-11
-1
0
-2
20
*BigM
0
0
0
0
-1
0
最优解X＝（2,0,0）;Z=20
两阶段法。
第一阶段:
数学模型为
C（j）
0
0
0
0
1
R、H、S、
Ratio
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X5
X5
1
[5]
3
1
0
1
10
2
X4
0
-5
1
-10
1
0
15
M
C（j）-Z（j）
-5
-3
-1
0
0
X1
0
1
3/5
1/5
0
1/5
2
X4
0
0
4
-9
1
1
25
C（j）-Z（j）
0
0
0
0
1
第二阶段
C（j）
10
-5
1
0
R、H、S、
Ratio
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X1
10
1
3/5
1/5
0
2
2
X4
0
0
4
-9
1
25
M
C（j）-Z（j）
0
-11
-1
0
最优解X=（2,0,0）;Z=20
（2）
【解】大M法。
数学模型为
C（j）
5
-6
-7
0
0
M
M
R、H、S、
Ratio
Basis
C（i）
X1
X2
X3
S1
S2
A1
A3
A1
M
1
[5]
-3
-1
0
1
0
15
3
S2
0
5
-6
10
0
1
0
0
20
M
A3
M
1
1
1
0
0
0
1
5
5
C（j）-Z（j）
5
-6
-7
0
0
0
0
*BigM
-2
-6
2
1
0
0
0
X2
-6
1/5
1
-3/5
-1/5
0
1/5
0
3
M
S2
0
31/5
0
32/5
-6/5
1
6/5
0
38
95/16
A3
M
4/5
0
[8/5]
1/5
0
-1/5
1
2
5/4
C（j）-Z（j）
31/5
0
-53/5
-6/5
0
6/5
0
*BigM
-4/5
0
-8/5
-1/5
0
6/5
0
X2
-6
1/2
1
0
-1/8
0
1/8
3/8
15/4
S2
0
3
0
0
-2
1
2
-4
30
X3
-7
1/2
0
1
1/8
0
-1/8
5/8
5/4
C（j）-Z（j）
23/2
0
0
1/8
0
-1/8
53/8
*BigM
0
0
0
0
0
1
1
两阶段法。
第一阶段:
数学模型为
C（j）
0
0
0
0
0
1
1
R、H、S、
Ratio
Basis
C（i）
X1
X2
X3
S1
S2
A1
A3
A1
1
1
[5]
-3
-1
0
1
0
15
3
S2
0
5
-6
10
0
1
0
0
20
M
A3
1
1
1
1
0
0
0
1
5
5
C（j）-Z（j）
-2
-6
2
1
0
0
0
X2
0
1/5
1
-3/5
-1/5
0
1/5
0
3
M
S2
0
31/5
0
32/5
-6/5
1
6/5
0
38
95/16
A3
1
4/5
0
[8/5]
1/5
0
-1/5
1
2
5/4
C（j）-Z（j）
-4/5
0
-8/5
-1/5
0
6/5
0
X2
0
1/2
1
0
-1/8
0
1/8
3/8
15/4
S2
0
3
0
0
-2
1
2
-4
30
X3
0
1/2
0
1
1/8
0
-1/8
5/8
5/4
C（j）-Z（j）
0
0
0
0
0
1
1
第二阶段:
C（j）
5
-6
-7
0
0
R、H、S、
Ratio
Basis
C（i）
X1
X2
X3
S1
S2
X2
-6
1/2
1
0
-1/8
0
15/4
3
S2
0
3
0
0
-2
1
30
M
X3
-7
1/2
0
1
1/8
0
5/4
5
C（j）-Z（j）
23/2
0
0
1/8
0
最优解:
（3）
【解】大M法。
数学模型为
C（j）
10
15
0
0
0
-M
R、H、S、
Ratio
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X3
0
[5]
3
1
0
0
0
9
1、8
X4
0
-5
6
0
1
0
0
15
M
X6
-M
2
1
0
0
-1
1
5
2、5
C（j）-Z（j）
10
15
0
0
0
0
0
*BigM
2
1
0
0
-1
0
0
X1
10
1
3/5
1/5
0
0
0
9/5
X4
0
0
9
1
1
0
0
24
X6
-M
0
-1/5
-2/5
0
-1
1
7/5
C（j）-Z（j）
0
9
-2
0
0
0
18
*BigM
0
-1/5
-2/5
0
-1
0
0
因为X6>0,原问题无可行解。
两阶段法
第一阶段:
数学模型为
C（j）
0
0
0
0
0
1
R、H、S、
Ratio
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X3
0
[5]
3
1
0
0
0
9
1、8
X4
0
-5
6
0
1
0
0
15
M
X6
1
2
1
0
0
-1
1
5
2、5
C（j）-Z（j）
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