初一几何证明典型例题.docx
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初一几何证明典型例题
初一几何证明典型例题
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初一典型几何证明题
1、已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
解:
延长AD到E,使AD=DE
∵D是BC中点
∴BD=DC
在△ACD和△BDE中
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD≌△BDE
∴AC=BE=2
∵在△ABE中
AB-BE<AE<AB+BE
∵AB=4
即4-2<2AD<4+2
1<AD<3
∴AD=2
2、已知:
BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:
∠1=∠2
3、
4、证明:
连接BF和EF
∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF
∴△BCF≌△EDF(S.A.S)
∴BF=EF,∠CBF=∠DEF
连接BE
在△BEF中,BF=EF
∴∠EBF=∠BEF。
∵∠ABC=∠AED。
∴∠ABE=∠AEB。
∴AB=AE。
在△ABF和△AEF中
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴△ABF≌△AEF。
∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。
5、已知:
∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC
过C作CG∥EF交AD的延长线于点G
CG∥EF,可得,∠EFD=CGD
DE=DC
∠FDE=∠GDC(对顶角)
∴△EFD≌△CGD
EF=CG
∠CGD=∠EFD
又,EF∥AB
∴,∠EFD=∠1
∠1=∠2
∴∠CGD=∠2
∴△AGC为等腰三角形,
AC=CG
又EF=CG
∴EF=AC
6、
A
已知:
AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:
∠B=2∠C
证明:
延长AB取点E,使AE=AC,连接DE
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠CAD
∵AE=AC,AD=AD
∴△AED≌△ACD(SAS)
∴∠E=∠C
∵AC=AB+BD
∴AE=AB+BD
∵AE=AB+BE
∴BD=BE
∴∠BDE=∠E
∵∠ABC=∠E+∠BDE
∴∠ABC=2∠E
∴∠ABC=2∠C
7、已知:
AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE
证明:
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB=∠CEF=90°
∵EB=EF,CE=CE,
∴△CEB≌△CEF
∴∠B=∠CFE
∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°
∴∠D=∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠FAC
∵AC=AC
∴△ADC≌△AFC(SAS)
∴AD=AF
∴AE=AF+FE=AD+BE
6、如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。
求
证:
BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB,连接EF
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE(SAS)
∴∠A=∠BFE
∵AB//CD
∴∠A+∠D=180º
∵∠BFE+∠CFE=180º
∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE
CE平分∠BCD
CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE(AAS)
∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
7.P是∠BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证:
PC-PB在AC上取点E,
使AE=AB。
∵AE=AB
AP=AP
∠EAP=∠BAE,
∴△EAP≌△BAP
∴PE=PB。
PC<EC+PE
∴PC<(AC-AE)+PB
∴PC-PB<AC-AB。
8.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:
AC-AB=2BE
证明:
在AC上取一点D,使得角DBC=角C
∵∠ABC=3∠C
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C;
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;
∴AB=AD
∴AC–AB=AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平分线,
∴AE垂直BD
∵BE⊥AE
∴点E一定在直线BD上,
在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直BD
∴点E也是BD的中点
∴BD=2BE
∵BD=CD=AC-AB
∴AC-AB=2BE
9.如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:
AD⊥BC.
解:
延长AD至BC于点E,
∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形
∴∠DBC=∠DCB
又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
即∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等腰三角形
∴AB=AC
在△ABD和△ACD中
AB=AC
∠1=∠2
BD=DC
∴△ABD和△ACD是全等三角形(边角边)
∴∠BAD=∠CAD
∴AE是△ABC的中垂线
∴AE⊥BC
∴AD⊥BC
10.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.
求证:
∠OAB=∠OBA
证明:
∵OM平分∠POQ
∴∠POM=∠QOM
∵MA⊥OP,MB⊥OQ
∴∠MAO=∠MBO=90
∵OM=OM
∴△AOM≌△BOM(AAS)
∴OA=OB
∵ON=ON
∴△AON≌△BON(SAS)
∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB=180
∴∠ONA=∠ONB=90
∴OM⊥AB
11.如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:
AD+BC=AB.
证明:
在AB上取F,使AF=AD,连接EF
∵AE平分∠DAB
∴∠DAE=∠FAE
在⊿ADE和⊿AFE中
AD=AF
∠DAE=∠FAE
AE=AE
∴⊿ADE≌⊿AFE(SAS)
∴∠ADE=∠AFE
∵AB//CD
∴∠ADE+∠C=180º
∵∠AFE+∠BFE=180º
∴∠C=∠BFE
∵BE平分∠ABC
∠CBE=∠FBE
在⊿BFE和⊿BCE中
∠C=∠BFE
∠CBE=∠FBE
CE=CE
∴⊿BFE≌⊿BCE(AAS)
∴CB=BF
∴AB=AF+FB=AD+BC
12.如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:
MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请给予证明;若不成立请说明理由.
(1)证:
∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,
∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,
在Rt△DEC和Rt△BFA中,
∵AF=CE,AB=CD,
∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL)
∴DE=BF.
在△DEM和△BFM中
∠DEM=∠BFM
∠DME=∠BMF
DE=BF
∴△DEM≌△BFM(AAS)
∴MB=MD,ME=MF
(2)证:
∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,
∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,
在Rt△DEC和Rt△BFA中,
∵AF=CE,AB=CD,
∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL)
∴DE=BF.
在△DEM和△BFM中
∠DEM=∠BFM
∠DME=∠BMF
DE=BF
∴△DEM≌△BFM(AAS)
∴MB=MD,ME=MF
13如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
求证:
BD=2CE.
证:
∵∠CEB=∠CAB=90°
∠ADB=∠CDE
在△ABD中,∠ABD=180°-∠CAB-∠ADB
在△CED中,∠DCE=180°-∠CEB-∠CDE
∴∠ABD=∠DCE
在△ABD和△ACF中
∠DAB=∠CAF
AB=AC
∠ABD=∠DCF
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∵BD是∠ABC的平分线
∴∠FBE=∠CBE
在△FBE和△CBE中
∠FBE=∠CBE
BE=BE
∠BEF=∠BEC
∴△FBE≌△CBE(ASA)
∴CE=FECF=2CE
∴BD=2CE
14.如图:
DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。
求证:
△AED≌△BFC。
证明:
∵DF=CE,
∴DF-EF=CE-EF,
即DE=CF,
在△AED和△BFC中,
∵AD=BC,∠D=∠C,DE=CF
∴△AED≌△BFC(SAS)
15.如图:
AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。
求证:
AM是△ABC的中线。
证明:
∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线
16.AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。
求证:
BF=CF
证:
在△ABD与△ACD中
AB=AC
BD=DC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
BD=DC
∠BDF=∠FDC
DF=DF
∴△FBD≌△FCD(SAS)
∴BF=FC
17.如图:
AB=CD,AE=DF,CE=FB。
求证:
AF=DE。
证:
∵CF=CE+EF
EB=EF+FB
又∵CE=FB
∴CF=EB
在△CDF与△ABE中
AB=CD
AE=DF
BE=CF
∴△CDF≌△ABE(SSS)
∴∠DCB=∠ABF
在△ABF与△CDE中
AB=CD
∠ABF=∠DCE
BF=CE
∴△ABF≌△CDE(SAS)
∴AF=ED
18.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.
证明:
连接EF
∵AB∥CD
∴∠B=∠C
∵M是BC中点
∴BM=CM
在△BEM和△CFM中
BE=CF
∠B=∠C
∴△BEM≌△CFM(SAS)
∴CF=BE
BM=CM
19.已知:
如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证:
AE=AF。
证:
连接AC
∵
在△ADC和△ABC中
AD=AB
DC=BC
AC=AC
∴△ADC≌△ABC(SSS)
∴∠B=∠D
∵E、F分别是DC、BC的中点
又∵BC=DC
∴DE=BF
∵在△ADE和△ABF中
AD=AB
∠D=∠B
DE=BF
∴△ADE≌△ABF(SAS)
∴AE=AF
20.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
∠5=∠6.
证明:
∵在△ADC和△ABC中
∠BAC=∠DAC
∠BCA=∠DCA
AC=AC
∴△ADC≌△ABC(AAS)
∵AB=AD,BC=CD
在△DEC与△BEC中
CE=CE
∠BCA=∠DCA
∴△DEC≌△BEC(SAS)
∴∠DEC=∠BEC
BC=CD
21.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
求证:
DE=DF.
证明:
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠EAD=∠FAD
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠BFD=∠CFD=90°
∴∠AED与∠AFD=90°
在△AED与△AFD中
∠EAD=∠FAD
AD=AD
∠AED=∠AFD
∴△AED≌△AFD(AAS)
∴AE=AF
22.如图:
AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E、F,ME=MF。
求证:
MB=MC
证明:
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵ME⊥AB,MF⊥AC
∴∠BEM=∠CFM=90°
在△BME和△CMF中
∵∠B=∠C∠BEM=∠CFM=90°ME=MF
∴△BME≌△CMF(AAS)
∴MB=MC.
23.在△ABC中,
,
,直线
经过点
,且
于
,
于
.
(1)当直线
绕点
旋转到图1的位置时,求证:
①
≌
;②
;
(2)当直线
绕点
旋转到图2的位置时,
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.
(1)
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠CBE=90°,∠ACD+∠BCE=90°.
∴∠CAD=∠BCE.
∵AC=BC,
∴△ADC≌△CEB.
②∵△ADC≌△CEB,
∴CE=AD,CD=BE.
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠CBE.
又∵AC=BC,
∴△ACD≌△CBE.
∴CE=AD,CD=BE.
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE
24.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。
求证:
(1)EC=BF;
(2)EC⊥BF
(1)∵AE⊥AB,AF⊥AC,
∴∠BAE=∠CAF=90°,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,
即∠EAC=∠BAF,
在△ABF和△AEC中,
∵AE=AB,∠EAC=∠BAF,AF=AC,
∴△ABF≌△AEC(SAS),
∴EC=BF;
(2)如图,根据
(1),△ABF≌△AEC,
∴∠AEC=∠ABF,
∵AE⊥AB,
∴∠BAE=90°,
∴∠AEC+∠ADE=90°,
∵∠ADE=∠BDM(对顶角相等),
∴∠ABF+∠BDM=90°,
在△BDM中,∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°,
∴EC⊥BF.
25.如图:
BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。
求证:
(1)AM=AN;
(2)AM⊥AN。
证明:
(1)∵BE⊥AC,CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC,CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
(2)∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
26.已知:
如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,
.
求证:
.
证明:
∵DE⊥AC,BF⊥AC
∴∠CED=∠AFB=90º
又∵AB=CD,BF=DE
∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE(HL)
∴AF=CE
∠BAF=∠DCE
∴AB//CD