浙江师范大学《初等数论》考试卷(A1卷).docx
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1、d(1000)=
。
φ(1000)=
74
。
(101)= 。
2、ax+bY=c有解的充要条件是 。
3、20022002被3除后余数为
。
4、[X]=3,[Y]=4,[Z]=2,则[X—2Y+3Z]可能的值为 。
5、φ
(1)+φ(P)+…φ(Pn)= 。
6、高斯互反律是 。
7、两个素数的和为31,则这两个素数是 。
8、带余除法定理是 。
浙江师范大学《初等数论》考试卷(A1卷)
考试类别
(20017——2018学年第一学期)
使用学生数学专业**本科
考试时间120分钟表 出卷时间*年*月*日
说明:
考生应有将全部答案写在答题纸上,否则作无效处理。
一、填空(30分)
答案
1、16.2340,1
2、(a,b)|c
3、1
4、3,4,5,6,7,8,9,10,11
5、pn
p-1q-1
()=(-1)2
q
2(
p
q
)
6、
p
,p,q为奇素数
7、2,29
8、a,b是两个整数,b>0,则存在两个惟一的整数q,r使得
a=bq+r,0£r
二、解同余方程组(12分)
ìxº-2(mod12)
ïxº6(mod10)
í
ïxº1(mod15)
î
答案
解:
因为(12,10)|6-(-2),(10,15)|6-1,(12,15)|1-(-2)
所以同余式组有解
xº-2(mod4)
xº-2(mod3)xº6(mod2)
xº6(mod5)
ìïï
xº1(mod3)
xº1(mod5)
ïíïï
原方程等价于方程
ì
ï
í
即
ï
î
xº-2(mod4)
xº-2(mod3)xº1(mod5)
由孙子定理得
xº46(mod60)
ïî
三、 A、叙述威尔逊定理。
B.证明若(m-1)!
+1º0(modm),则m为素数(10分)
答案
A.(威尔逊定理)整数
是素数,则
证:
若m不是素数,则m=ab,1áa,bám,则a|(m-1)!
a|(m-1)!
+1,则有a|1
不可能,所以m是素数。
x4+7x+4≡0(mod27)
(10分)
答案
四.解方程
解:
由x4+7x+4≡0(mod3)得xº1(mod3)得x=1+3t代入
x=4+9t1
x4+7x+4≡0(mod9)有11tº-1(mod3)有t=1+3t1代入x=1+3t得代入x4+7x+4≡0(mod27)有-t1º-2(mod3)t1=2+3t2代入有x=22+27t2,
即xº22(mod27)
设2P+1为素数,试证(p!
)2+(-1)pº0(mod2p+1)(10分)
答案
证:
因n=2P+1为素数,由威尔逊定理(n-1)!
+1º0(modn)即有
(n-1)!
+1º(n-1)(n-2)L3×2×1º1×(n-1)×2×(n-2)Lp(n-p)+1(modn)
º(p!
)2(-1)p+1º0(mod2p+1)即证
z=3z1,
六、设P=4n+3是素数,证明当q=2p+1也是素数时,梅森数MP=2P-1不是素数。
(10
分)
答案
(2)
证:
因q=8n+7,由性质2是q=8n+7的平方剩余,
q|24n+3-1
所以梅森数MP=2P-1不是素数。
q
七、证x3+3y3=9z3
无正整数解。
(8分)
º1(modq)
即
答案
证:
假设x3+3y3=9z3有解,设(x,y,z)是一组正整数解,则有x是3的倍
数,设x=3x,又得到y为3的倍数,设y=3y1,又有
1
有解(x1,y1,z1)且z>z1
这样可以一直进行下去,z>z1>z2>z3>z4>…
但是自然数无穷递降是不可能的,于是产生了矛盾
x3+3y3=9z3则
1
1
1
八、设n是大于2的整数,证明j(n)为偶数(10分)
答案
证:
因为(-1,n)=1,由欧拉定理有
(-1)j(n)º1(modn),因为n大于2,只有j(n)为偶数。
浙江师范大学《初等数论》考试卷(B1卷)
考试类别
(2004——2005学年第一学期)
使用学生数学专业**本科
考试时间120分钟表 出卷时间*年*月*日
说明:
考生应有将全部答案写在答题纸上,否则作无效处理。
一、填空(30分)
1、d(37)= 。
σ(37)=
2、φ
(1)+φ(P)+…φ(Pn)=
。
。
3、不能表示成5X+3Y(X、Y非负)的最大整数为 。
4、7在2004!
中的最高幂指数是 。
5、(1501,300)= 。
7、P为素数,(p-1)!
+1º0(modp)
8、1,5
9、5
6、axºb(modm)有解的充要条件是
。
7、威尔逊定理是 。
8、写出6的一个绝对值最小的简化系 。
818482L4388´616462L4636
9、 50 50 被7除后的余数为 。
答案:
1、2,38
2、pn
3、7
4、331
5、1
6、(a,m)|b
二、解同余方程组(12分)
ìxº2(mod5)
ïxº3(mod8)
í
ïxº1(mod7)
î
答案:
解:
因为5,7,8两两互素,所以可以利用孙子定理.
M1=56,M2=35,M3=40,m=280.
解同余式
56M,º1(mod5) 35M,º1(mod8)
1
2
40M,º1(mod7)
3
得到
M 1,M 3,M 3
1
=
2=
3=
.
于是所求的解为
xº56´1´2+35´3´3+40´3´1(mod140)
º267(mod280)
所以xº267(mod280).
三、证明当n是奇数时,有3(2n+1).(10分)
答案:
证明:
因为2º-1(mod3),所以
2n+1º(-1)n+1(mod3).
于是,当n是奇数时,我们可以令n=2k+1.
从而有2n+1º(-1)2k+1+1º0(mod3),
3(2n+1)
即 .
四、如果整系数的二次三项式p(x)=x2+bx+c当x=0,1
p(x)=0没有整数根(8分)
时的值都是奇数,证明
答案:
证:
由条件可得c为奇数,b为偶数
如果p(x)=0有根q,若q为偶数,则有q2+bq+c为奇数,而p(q)=0为偶数,不可能,若q为奇数,则有q2+bq+c为奇数,而p(q)=0为偶数,也不
可能,所以
p(x)=0没有整数根
五、解方程45xº21(mod132).(10分)
答案:
解因为(45,132)=3¦21,所以同余式有
我们再解不定方程
3个解.
将同余式化简为等价的同余方程
15x-44y=7, 得到一解(21,7).
因此同余式的3个解为
xº21(mod132),
15xº7(mod44).
xº21+132(mod132)º65(mod132)3 ,
xº21+2´132(mod132)º109(mod132)
3
六、证明:
用算术基本定理证明3是无理数。
(10分)
答案:
证:
假设 3是有理数,则存在二个正整数p,q,使得 3=q,由对数定义可
得有3q2=p2,则同一个数左边含奇数个因子,右边含偶数个因子,与算术基本定理矛盾。
∴ 3为无理数。
p
七、证明:
对任何正整数n,若n不能被4整除,则有
5|1n+2n+3n+4n
(10分)
答案:
证:
则题意知n=4q+r,r=1,2,3。
因为(i,5)=1,i=1,2,3,4所以有i4º1(mod5)
当r=1时有1+2+3+4º0(mod5)
当r=2时有12+22+32+42º0(mod5)
当r=3时有13+23+33+43º0(mod5)
从而证明了结论。
八、解不定方程4x+5y=10(10分)
答案:
解:
因为(4,5)=1,所以方程有解,
由观察得有特解x=0,y=2
所以方程的解为
浙江师范大学《初等数论》考试卷(C1卷)
考试类别
(2004——2005学年第一学期)
使用学生数学专业**本科
考试时间120分钟表 出卷时间*年*月*日
说明:
考生应有将全部答案写在答题纸上,否则作无效处理。
七、 填空(30分)
1、d(31)= 。
σ(3600)= 。
2、四位数3AA1被9整除,则A= 。
3、17X+2Y=3通解为 。
4、费尔马大定理是 。
5、写出12的一个简化系,要求每项都是5的倍数 。
6、{-2.4}=
。
7、0.4&28571&化为分数是 。
8、15!
的标准分解是 。
9、1000到2003的所有整数中13的倍数有
个。
答案
12493
1、2,
2、7
xn+yn=zn(n³3)无正整数解
3、x=1+2t,y=-2-17t,tÎZ
4、
(欧拉定理)若
证明:
设
则
是模
的一组互素剩余系.
由§2.2定理知
互素剩余系.
是模
即
又
5、5,25,35,55
6、0.6
3
7、7
8、211×36×53×72×11×13
9、78
八、解同余方程组(12分)
ìxº3(mod4)
ïxº2(mod5)
í
ïxº6(mod7)
î
答案
证:
因为4,5,7两两互素,所以可以利用孙子定理求解.
M1=35,M2=28,M3=20,m=140.
解同余式
35M,º1(mod4) 28M,º1(mod5)
1
2
20M,º1(mod7)
3
得到
M
1
=-
1,M 2,M
2=
3=