届上海市静安区高三上学期期末数学试题解析版.docx
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届上海市静安区高三上学期期末数学试题解析版
2020届上海市静安区高三上学期期末数学试题
一、单选题
1.“三个实数成等差数列”是“”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据充要条件及等差数列的定义判断即可.
【详解】
若“a,b,c成等差数列”,则“2b=a+c”,即“a,b,c成等差数列”是“2b=a+c”的充分条件;
若“2b=a+c”,则“a,b,c成等差数列”,即“a,b,c成等差数列”是“2b=a+c”的必要条件,
综上可得:
“a,b,c成等差数列”是“2b=a+c”的充要条件,
故选:
C.
【点睛】
本题考查的知识是充要条件的判断,正确理解并熟练掌握充要条件的定义,是解答的关键.
2.设,若复数是纯虚数,则点一定满足()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0且虚部不为0列式求解.
【详解】
由是纯虚数,
∴,得x≠0,y.
故选:
B.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.
3.若展开,则展开式中的系数等于()
A.在中所有任取两个不同的数的乘积之和B.在中所有任取三个不同的数的乘积之和C.在中所有任取四个不同的数的乘积之和D.以上结论都不对
【答案】A
【解析】直接利用二项式展开式的应用求出结果.
【详解】
展开(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)(a+5),
则展开式中a3的系数可以看成三个因式取a,
其余的两个因式是从的5个数中任意取两个不同的数进行乘积,再作和.
故选:
A.
【点睛】
本题考查的知识要点:
二项式定理的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.
4.某人驾驶一艘小游艇位于湖面处,测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东方向,且塔顶的仰角为,此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达处,此时测得塔底位于北偏西方向,则该塔的高度约为()
A.265米B.279米C.292米D.306米
【答案】C
【解析】根据题意画出图形,结合图形,利用三角形的边角关系,即可求出该塔的高度.
【详解】
如图所示,
△ABC中,AB=1000,∠ACB=21°+39°=60°,∠ABC=90°﹣39°=51°;
由正弦定理得,,
所以AC;
Rt△ACD中,∠CAD=18°,
所以CD=AC•tan18°tan18°0.3249≈292(米);
所以该塔的高度约为292米.
故选:
C.
【点睛】
本题考查了三角形的边角关系的应用问题,也考查了计算能力,是基础题.
二、填空题
5.计算_____.
【答案】1
【解析】利用极限的定义及运算法则直接得出.
【详解】
因为,所以1.
故答案为:
1.
【点睛】
本题考查了极限的定义及极限的运算法则,属于基础题.
6.在单位圆中,的圆心角所对的弧长为_____.
【答案】
【解析】由弧长公式即可算出结果.
【详解】
由弧长公式l=|α|r1,
故答案为:
.
【点睛】
本题主要考查了弧长公式,是基础题.
7.若直线和直线的倾斜角分别为和则与的夹角为_____.
【答案】
【解析】直接利用角的运算的应用求出结果.
【详解】
直线l1和l2的倾斜角分别为32°和152°,
所以直线l1和l2的夹角为180°﹣(152°﹣32°)=60°.
故答案为:
60°.
【点睛】
本题考查的知识要点:
直线的倾斜角及夹角的定义,主要考查学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.
8.若直线的一个法向量为,则若直线的斜率_____.
【答案】
【解析】根据题意,分析可得直线l的方向向量为(1,k),进而分析可得•2+k=0,解可得k的值,即可得答案.
【详解】
根据题意,设直线l的斜率为k,则其方向向量为(1,k),
若直线l的一个法向量为(2,1),则有•2+k=0,解可得k=﹣2;
故答案为:
﹣2.
【点睛】
本题考查直线的斜率以及直线的法向量,注意直线方向向量的定义,属于基础题.
9.设某种细胞每隔一小时就会分裂一次,每隔细胞分裂为两个细胞,则小时后,个此种细胞将分裂为_____个.
【答案】
【解析】根据题意,分析可得7小时后,这种细胞总共分裂了7次,由等比数列的通项分析可得答案.
【详解】
根据题意,7小时后,这种细胞总共分裂了7次,
则经过7小时,1个此种细胞将分裂为个27个;
故答案为:
128
【点睛】
本题考查等比数列的应用,注意分析分裂的次数,属于基础题.
10.设是等腰直角三角形,斜边,现将(及其内部)绕斜边所在的直线旋转一周形成一个旋转体,则该旋转体的体积为_____.
【答案】
【解析】由题意知旋转体为两个同底等高的圆锥组合体,由此求出组合体的体积.
【详解】
等腰直角三角形的直角边为,斜边的高为1;
旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体,其圆锥的底面半径为1,高为1;
所以几何体的体积为V=2π×12.
故答案为:
.
【点睛】
本题考查了旋转体的结构特征与体积的计算问题,是基础题.
11.如图,在平行四边形中,,,则的值为_____.
【答案】
【解析】根据ABCD是平行四边形可得出,然后代入AB=2,AD=1即可求出的值.
【详解】
∵AB=2,AD=1,
∴
=1﹣4
=﹣3.
故答案为:
﹣3.
【点睛】
本题考查了向量加法的平行四边形法则,相等向量和相反向量的定义,向量数量积的运算,考查了计算能力,属于基础题.
12.三倍角的正切公式为_____.
【答案】.
【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果.
【详解】
tan3α=tan(α+2α).
故答案为:
.
【点睛】
本题考查的知识要点:
三角函数关系式的恒等变换,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.
13.设集合共有6个元素,用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为________.
【答案】2880
【解析】利用已知条件判断矩阵的个数与元素的顺序有关,直接利用排列求解即可.
【详解】
因为集合A共有6个元素,用这全部的6个元素组成的不同矩阵,矩阵中的元素的位置变换,矩阵也不相同,6个元素的全排列有种,
而组成的矩阵又有四种类型,
所以矩阵的个数为2880.
故答案为:
2880.
【点睛】
本题考查排列的应用,判断矩阵中的元素变化,矩阵不相同是解题的关键.
14.现将函数的反函数定义为正反割函数,记为:
.则________.(请保留两位小数)
【答案】1.82
【解析】直接利用反三角函数计算三角函数的值.
【详解】
∵y=secx,x∈(0,π),
∴当y=﹣4时,cosx,x=π﹣arccos,
由查表得arccos1.318
∴x=π﹣1.318≈1.82.
故答案为:
1.82.
【点睛】
本题考查反三角函数的运用,属基础题.
15.设双曲线的两个焦点为,点在双曲线上,若,则点到坐标原点的距离的最小值为________.
【答案】
【解析】利用已知条件PF1⊥PF2,点P到坐标原点O的距离为c,转化求解c的最小值即可.
【详解】
双曲线的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,
则点P到坐标原点O的距离为c,
所以c,当且仅当a时,取得最小值:
.
故答案为:
.
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力,是中档题.
16.设我们可以证明对数的运算性质如下:
.我们将式称为证明的“关键步骤”.则证明(其中)的“关键步骤”为________.
【答案】()r=Mr
【解析】利用指数式与对数式的互化即可算出结果.
【详解】
设logaMr=b,∴ab=Mr,
∴rlogaM=b,
∴logaM,
∴()r=()r=ab=Mr,
故答案为:
()r=Mr.
【点睛】
本题主要考查了对数式与指数式的互化,是基础题.
三、解答题
17.如图,在正六棱锥中,已知底边为2,侧棱与底面所成角为.
(1)求该六棱锥的体积;
(2)求证:
【答案】
(1)12;
(2)证明见解析.
【解析】
(1)连结AD,过P作PO⊥底面ABCD,交AD于点O,则PA=2AO=4,由此能求出该六棱锥的体积.
(2)连结CE,交AD于点O,连结PG,推导出AD⊥CE,PG⊥CE,从而CE⊥平面PAD,由此能证明PA⊥CE.
【详解】
∵在正六棱锥P﹣ABCDEF中,底边长为2,侧棱与底面所成角为60°.
连结AD,过P作PO⊥底面ABCD,交AD于点O,
则AO=DO=2,∠PAO=60°,∴PA=2AO=4,
PO2,
SABCDEF=6×()=6,
∴该六棱锥的体积V12.
(2)连结CE,交AD于点O,连结PG,
∵DE=CD,AE=AD,∴AD⊥CE,O是CE中点,
∵PA=PC,∴PG⊥CE,
∵PG∩AD=G,∴CE⊥平面PAD,
∵PA⊂平面PAD,∴PA⊥CE.
【点睛】
本题考查六棱锥的体积的求法,考查线线垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
18.请解答以下问题,要求解决两个问题的方法不同.
(1)如图1,要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形,如何截取?
并求出这个最大矩形的面积.
(2)如图2,要在一个长半轴为2米,短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形,如何截取?
并求出这个最大矩形的面积.
【答案】
(1),面积最大为1
(2),,面积最大值为2
【解析】
(1)通过设出∠BOC=α,进而用α表示出OB,BC;最后表示出S利用三角函数即可求解;
(2)通过设出点C的坐标(m,n),进而表示出OB=m,BC=n,S=2mn;再利用点C为椭圆上的点,即满足其方程利用基本不等式求解即可;
【详解】
(1)设∠BOC=α,();
∴OB=cosα,BC=sinα;
∵S=2OB•BC,
∴S═2sinαcosα=sin2α;
∴当时,即OA时,矩形面积最大为1;
(2)依题意可得:
椭圆方程为:
;
设:
点C坐标为(m,n)即:
OB=m,BC=n;
∴S=2OB•BC=2mn;
∵点C为椭圆上的点;
∴;
∵;
∴mn≤1,当且仅当时取等号;
∴S≤2;即矩形面积最大为2;当OB,即时取等号;
【点睛】
本题考查了基本不等式的运用,考查了学生的发散性思维,属于中档题.
19.设是等差数列,公差为,前项和为.
(1)设,,求的最大值.
(2)设,,数列的前项和为,且对任意的,都有,求的取值范围.
【答案】
(1)2020
(2)
【解析】
(1)运用等差数列的通项公式可得公差d,再由等差数列的求和公式,结合配方法和二次函数的最值求法,可得最大值;
(2)由题意可得数列{bn}为首项为2,公比为2d的等比数列,讨论d=0,d>0,d<0,判断数列{bn}的单调性和求和公式,及范围,结合不等式恒成立问题解法,解不等式可得所求范围.
【详解】
(1)a1=40,a6=38,可得d,
可得Sn=40nn(n﹣1)(n)2,
由n为正整数,可得n=100或101时,Sn取得最大值2020;
(2)设,数列{bn}的前n项和为Tn,
可得an=1+(n﹣1)d,数列{bn}为首项为2,公比为2d的等比数列,
若d=0,可得bn=2;d>0,可得{bn}为递增数列,无最大值;
当d<0时,Tn,
对任意的n∈N,都有Tn≤20,可得20,且d<0,
解得d≤.
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,考