高考数学备考之百强校大题狂练系列通用版 范围与最值问题含答案.docx

高考数学备考之百强校大题狂练系列通用版 范围与最值问题含答案.docx

《高考数学备考之百强校大题狂练系列通用版 范围与最值问题含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学备考之百强校大题狂练系列通用版 范围与最值问题含答案.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学备考之百强校大题狂练系列通用版范围与最值问题含答案

2018届高考数学大题狂练

第五篇解析几何专题07范围与最值问题

一、解答题

1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，圆经过椭圆的两个焦点和两个顶点，点在椭圆上，且，.

（Ⅰ）求椭圆的方程和点的坐标；

（Ⅱ）过点的直线与圆相交于、两点，过点与垂直的直线与椭圆相交于另一点，求的面积的取值范围.

【答案】（Ⅰ）椭圆的方程为，点P的坐标为.（Ⅱ）.

详解：

（I）设，，

可知圆经过椭圆焦点和上下顶点，得，

由题意知，得，

由，得，

所以椭圆的方程为，

点P的坐标为.

由直线l1与l2垂直，可设l1的方程为，即

圆心到l1的距离，又圆的半径，

所以，

，

由即，得，

，

设，则，，

当且仅当即时，取“＝”，

所以△ABC的面积的取值范围是．

点睛：

（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

2．（本题满分15分）如图，椭圆的离心率为，点是椭圆内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与椭圆相交于点，与椭圆相交于点．当恰好为线段的中点时，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求的最小值．

【答案】（Ⅰ）.

（Ⅱ）.

设

由作差得，

又∵,即，

∴AB斜率．

由．

消得，．

则．

解得，于是椭圆的方程为：

．

（Ⅱ）设直线,由消得，

．

于是．

∵

．

同理可得．

∴，

当时取等号．

综上，的最小值为．

点睛：

本题的难点在求得之后，如何求该函数的最小值.这里可以利用导数，也可以换元，但是最好的方法是利用基本不等式，，所以解题时要注意观察式子的特点，灵活选择方法解答,提高解题效率.

3．已知椭圆，为右焦点，圆，为椭圆上一点，且位于第一象限，过点作与圆相切于点，使得点，在的两侧.

（Ⅰ）求椭圆的焦距及离心率；

（Ⅱ）求四边形面积的最大值.

【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）.

【解析】分析：

（Ⅰ）利用椭圆的几何性质求椭圆的焦距及离心率.（Ⅱ）设（，），先求出四边形面积的表达式，再利用基本不等式求它的最大值.

（Ⅰ）在椭圆：

中，，，

所以，

故椭圆的焦距为，离心率．

又，，故．

因此

．

由，得，即，

所以，

当且仅当，即，时等号成立.

点睛：

本题的关键在于求此的表达式和化简，由于四边形是不规则的图形，所以用割补法求其面积，其面积求出来之后，又要利用已知条件将其化简为，再利用基本不等式求其最小值.

4．椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若的倾斜角为时，是等边三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，求中边上中线长的取值范围.

【答案】

（1）;

（2）.

详解：

（1）由已知得：

，，

所以，，解得

椭圆的方程

（2）①当直线的斜率为0时，显然不成立．

②设直线，，

联立得

则

中边上的中线长为

令则

得

由，得，

，

，

中边上中线长的取值范围是.

点睛：

本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：

根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：

根据上述判断设方程或；③找关系：

根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：

解方程组，将解代入所设方程，即为所求.

5．（本小题满分12分）

已知（a>b>0）的离心率e=,过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点的距离为

（I）求椭圆的方程;

（Ⅱ）设F1,F2为椭圆的左、右焦点,过F2作直线交椭圆于P,Q两点,求△PQF1的内切圆半径r的最大值

【答案】（Ⅰ）+=1.

（Ⅱ）.

详解：

（Ⅰ）直线AB的方程为+=1,即bx-ay-ab=0.

原点到直线AB的距离为=,即3a2+3b2-4a2b2①

e==c2=a2②

又a2=b2+c2,③

由①②③可得a2=3,b2=1,c2=2.

故椭圆的方程为

+=1.

（Ⅱ）F1（-,0）,F2（,0）,设P（x1,y1）,Q（x2,y2）.

由于直线PQ的斜率不为0,故设其方程为x=ky+,

联立直线与椭圆的方程,得（k2+3）y2+2ky-1=0

故④

故△PQF1的内切圆半径r的最大值为

点睛：

该题考查的是有关圆锥曲线的有关问题，一是求椭圆方程时，中间用到的有直线方程的截距式，点到直线的距离公式，椭圆中的关系以及离心率，第二问利用三角形的周长、内切圆的半径以及三角形的周长之间的关系，将转化为关于的式子，之后借助于基本不等式来完成.

6．已知点，点是直线上的动点，过点作轴的垂线与线段的垂直平分线交于点.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）若直线：

与曲线交于两点，点是曲线上一点，且点的横坐标，若，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】分析：

（Ⅰ）由题意可知，，结合抛物线的定义可知轨迹的方程是.

详解：

（Ⅰ）由题意可知，，

所以点的轨迹方程是以点为焦点的抛物线，

其轨迹的方程是.

（Ⅱ）与联立得，

，

因为直线与曲线交于两点，

所以，解得，

设，则，

由，得，

设，，

则，，

因为，所以，

即，

即，

即，

所以实数的取值范围是.

点睛：

（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；

（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．