特殊的平行四边形菱形含答案.docx
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特殊的平行四边形菱形含答案
题型:
解答题
难度:
中等
详细信息
已知:
如图,在△ABC中,D、E分别就是边AB、AC的中点,连接DE.AF∥BC,且AF=
BC,连接DF.
（1）求证:
四边形AFDE就是平行四边形;
（2）如果AB=AC,∠BAC=60°,求证:
AD⊥EF.
（1）通过证明边DE平行且等于对边AF,即可证明四边形AFDE就是平行四边形;
（2）由题意得△ABC就是等边三角形,故有AC=BC,又点E就是AC的中点,可得出DE=AE,四边形AFDE就是菱形,再根据菱形的对角线互相垂直平分得证.
证明:
（1）∵D、E分别就是边AB、AC的中点,
∴DE就是△ABC的中位线,
即得 DE∥BC,
. …（2分）
∵AF∥BC,
∴DE∥AF,DE=AF. …（2分）
∴四边形AFDE就是平行四边形. …（1分）
（2）∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC就是等边三角形,即得:
AC=BC. …（1分）
于就是,由点E就是AC的中点,得
. …（1分）
又∵四边形AFDE就是平行四边形,
∴四边形AFDE就是菱形. …（1分）
∴AD⊥EF. …（1分）
题型:
解答题
难度:
压轴
详细信息
已知,如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=12cm,点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动,点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动,设点P、Q分别从点A、C同时出发,运动时间为t（秒）（0＜t＜6）,回答下列问题:
（1）直接写出线段AP、AQ的长（含t的代数式表示）:
AP=______,AQ=______;
（2）设△APQ的面积为S,写出S与t的函数关系式;
（3）如图②,连接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,那么就是否存在某一时间t,使四边形PQP′C为菱形？
若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.
（1）根据∠A=60°,AB=12cm,得出AC的长,进而得出AP=2t,AQ=6-t.
（2）过点P作PH⊥AC于H.由AP=2t,AH=t,得出PH=
t,从而求得S与t的函数关系式;
（3）过点P作PM⊥AC于M,根据菱形的性质得PQ=PC,则可得出PN=QM=CM,求得t即可.
【解析】
（1）∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=12cm,
∴AC=6,
∴由题意知:
AP=2t,AQ=6-t,
（2）如图①过点P作PH⊥AC于H.
∵∠C=90°,∠A=60°,AB=12cm,
∴∠B=30°,
∴∠HPA=30°,
∵AP=2t,AH=t,
∴PH=
t,
∴S=
×AQ×PH=
×
t×（6-t）=-
t2+3
t;
（3）当t=4时,四边形PQP′C就是菱形,
证明:
如图②过点P作PM⊥AC于M,
∵CQ=t,由
（2）可知,AM=
AP=tcm,
∴QC=AM,当PC=PQ时,即CM=MQ=AQ=
AC=2时,
∴四边形PQP′C就是菱形,
即当t=4时,四边形PQP′C就是菱形.
题型:
填空题
难度:
中等
详细信息
一个平行四边形的一边长就是9,两条对角线的长分别就是12与6
则此平行四边形的面积为 .
题型:
填空题
难度:
困难
详细信息
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,且AB=AD,连接BD,过A点作BD的垂线交BC于E,如果CE=3cm,CD=4cm,那么BD= cm.
连接DE,因为AB=AD,AE⊥BD,AD∥BC,可证四边形ABED为菱形,从而得到BE、BC的长,继而根据勾股定理求出BD的长.
【解析】
连接DE.
在直角三角形CDE中,根据勾股定理,得DE=5.
∵AB=AD,AE⊥BD,
∴AE垂直平分BD,∠BAE=∠DAE.
∴DE=BE=5.
∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB
.∴∠BAE=∠AEB
∴AB=BE=5
∴BC=BE+EC=8,
在直角三角形BCD中,根据勾股定理,得BD=4
.
故答案为:
4
.
题型:
解答题
难度:
压轴
详细信息
如图,△ABC中,点D、E分别就是边BC、AC的中点,过点A作AF∥BC交线段DE的延长线相交于F点,取AF的中点G,如果BC=2AB.
求证:
（1）四边形ABDF就是菱形;
（2）AC=2DG.
（1）首先根据三角形的中位线定理,得DE∥AB,结合AF∥BC,根据两组对边分别平行的四边形就是平行四边形,可以判断该四边形就是平行四边形,再根据一组邻边相等的平行四边形就是菱形即可证明;
（2）根据菱形的性质可以进一步得到△FGD≌△FEA,则GD=AE,即可证明结论.
证明:
（1）∵点D、E分别就是边BC、AC的中点,
∴DE就是△ABC的中位线（三角形中位线的定义）,
∴DE∥AB,DE=
AB（三角形中位线性质）.（1分）
∵AF∥BC,
∴四边形ABDF就是平行四边形（平行四边形定义）.（1分）
∵BC=2AB,BC=2BD,
∴AB=BD.（1分）
∴四边形ABDF就是菱形.（1分）
（2）∵四边形ABDF就是菱形,
∴AF=AB=DF（菱形的四条边都相等）.
∵DE=
AB,
∴EF=
AF.（1分）
∵G就是AF的中点.
∴GF=
AF,
∴GF=EF.（1分）
∴△FGD≌△FEA,（1分）
∴GD=AE,
∵AC=2EC=2AE,
∴AC=2DG.（1分）
题型:
解答题
难度:
困难
详细信息
已知:
如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F.
（1）求证:
四边形AFCE就是菱形;
（2）若AB=5,BC=12,EF=6,求菱形AFCE的面积.
（1）根据ABCD为矩形,根据矩形的对边平行得到AE与CF平行,由两直线平行得到一对内错角相等,又EF垂直平分AC,根据垂直平分线的定义得到AO=CO,且AC与EF垂直,再加上一对对顶角相等,利用“ASA”得到三角形AOE与三角形COF全等,根据全等三角形的对应边相等得到AE=FC,由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到AFCE为平行四边形,又根据对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证;
（2）由矩形的性质得到∠B为直角,在直角三角形ABC中,由AB与BC的长,利用勾股定理求出AC的长,又已知EF的长,而AC与EF为菱形AFCE的两条对角线,根据对角线乘积的一半即可求出菱形的面积.
【解析】
（1）∵四边形ABCD就是矩形,
∴AE∥FC,
∴∠EAO=∠FCO,
∵EF垂直平分AC,
∴AO=CO,FE⊥AC,
又∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF,
∴EO=FO,
∴四边形AFCE为平行四边形,
又∵FE⊥AC,
∴平行四边形AFCE为菱形;
（2）在Rt△ABC中,由AB=5,BC=12,
根据勾股定理得:
AC=
=
=13,又EF=6,
∴菱形AFCE的面积S=
AC•EF=
×13×6=39.
题型:
选择题
难度:
简单
详细信息
下列命题中,真命题就是（）
A.对角线相等且互相垂直的四边形就是菱形
B.有一条对角线平分对角的四边形就是菱形
C.菱形就是对角线互相垂直平分的四边形
D.菱形的对角线相等
型:
选择题
难度:
压轴
详细信息
等腰梯形的两底中点的连线与两腰中点的连线,它们的关系就是（）
A.相等
B.互相垂直但不一定互相平分
C.互相平分但不一定互相垂直
D.互相垂直平分
可先画出示意图,根据等腰梯形的腰长相等可得出答案.
【解析】
根据AD=BC,GH∥AB∥DC可得EF⊥GH,
结合中位线定理可得EF、GH互相平分.
故选D.
题型:
解答题
难度:
困难
详细信息
如图,▱ABCD中,AB=9,对角线AC与BD相交于点O,AC=12,BD=
（1）求证:
▱ABCD就是菱形;
（2）求这个平行四边形的面积.
（1）由四边形ABCD为平行四边形,根据平行四边形的对角线互相平分,即可求得AO与BO的长,然后根据勾股定理的逆定理,即可求得△AOB为直角三角形,则可得AC⊥BD,根据对角线互相垂直的平行四边形就是菱形,即可证得▱ABCD就是菱形;
（2）由菱形的面积等于两条对角线的积的一半,即可求得菱形的面积.
（1）证明:
∵四边形ABCD为平行四边形,AC=12,BD=6
∴AO=
AC=6,BO=
BD=3
∵在△AOB中,AB=9,
∵62+（3
）2=92,
即AO2+BO2=AB2,
∴△AOB为直角三角形,
∴∠AOB=90°,
即AC⊥BD,
∴▱ABCD就是菱形;
（2）由
（1）可知:
▱ABCD就是菱形,即S菱形ABCD=
AC×BD=36
.
题型:
填空题
难度:
压轴
详细信息
如图,在矩形ABCD中,E、F、G、H分别就是四条边的中点,HF=2,EG=4,则四边形EFGH的面积为 .
由四边形ABCD就是矩形与E、F、G、H分别就是四条边的中点,根据SAS,易证得△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF,则可得EH=EF=FG=GH,根据由四条边都相等的四边形就是菱形,即可证得四边形EFGH就是菱形,又由菱形的面积等于其对角线积的一半,即可求得四边形EFGH的面积.
【解析】
∵四边形ABCD就是矩形,
∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∵E、F、G、H分别就是四条边的中点,
∴AE=DG=BE=CG,AH=DH=BF=CF,
∴△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF（SAS）,
∴EH=EF=FG=GH,
∴四边形EFGH就是菱形,
∵HF=2,EG=4,
∴四边形EFGH的面积为:
HF•EG=
×2×4=4.
故答案为:
4.
题型:
填空题
难度:
中等
详细信息
下列命题:
①矩形的对角线互相平分且相等;②对角线相等的四边形就是矩形;③菱形的每一条对角线平分一组对角;④一条对角线平分一组对角的平行四边形就是菱形.其中正确的命题为 （注:
把您认为正确的命题序号都填上）
根据正方形、平行四边形、菱形与矩形的判定,对选项一一分析,选择正确答案.
【解析】
①矩形的对角线互相平分且相等;故正确;
②对角线相等的四边形就是矩形,不能正确判定,故错误;
③菱形的每一条对角线平分一组对角,这就是菱形的一条重要性质,故正确;
④一条对角线平分一组对角的平行四边形就是菱形,故正确.
故答案为:
①③④.
题型:
解答题
难度:
困难
详细信息
如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于O点,点P就是线段AD上一动点（不与点D重合）,PO的延长线交BC于Q点.
（1）求证:
四边形PBQD为平行四边形.
（2）若AB=3cm,AD=4cm,P从点A出发.以1cm/秒的速度向点D匀速运动.设点P运动时间为t秒,问四边形PBQD能够成为菱形不？
如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.
（1）依据矩形的性质与平行线的性质,通过全等三角形的判定定理判定△POD≌△QOB,所以OP=OQ,则四边形PBQD的对角线互相平分,故四边形PBQD为平行四边形.
（2）点P从点A出发运动t秒时,AP=tcm,PD=（4-t）cm.当四边形PBQD就是菱形时,PB=PD=（4-t）cm.在直角△ABP中,根据勾股定理得到AP2+AB2=PB2,即t2+32=（4-t）2,由此可以求得t的值.
（1）证明:
如图,∵四边形ABCD就是矩形,
∴AD∥BC,OD=OB,
∴∠PDO=∠QOB,
在△POD与△QOB中,
∴△POD≌△QOB（ASA）,
∴OP=OQ,
∴四边形PBQD为平行四边形;
（2）点P从点A出发运动t秒时,AP=tcm,PD=（4-t）cm.
当四边形PBQD就是菱形时,PB=PD=（4-t）cm.
∵四边形ABCD就是矩形,
∴∠BAP=90°,
∴在直角△ABP中,AB=3cm,AP2+AB2=PB2,即t2+32=（4-t）2,
解得:
t=
∴点P运动时间为
秒时,四边形PBQD能够成为菱形.
题型:
解答题
难度:
中等
详细信息
已知,如图,正方形ABCD的边长为6,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上,AH=2,连接CF.
（1）当DG=2时,求证:
菱形EFGH为正方形;
（2）求证:
∠AEH=∠CGF;
（3）设DG=x,用含x的代数式表示△FCG的面积.
（1）由于四边形ABCD为正方形,四边形HEFG为菱形,那么∠D=∠A=90°,HG=HE,而AH=DG=2,易证△AHE≌△DGH,从而有∠DHG=∠HEA,等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°,易证四边形HEFG为正方形;
（2）过F作FM⊥CD,垂足为M,连接GE,由AB与CD平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,再由GE为菱形的对角线,利用菱形的性质得到一对内错角相等,利用等式的性质即可得证;
（3）欲求△FCG的面积,由已知得CG的长易求,只需求出GC边的高,通过证明△AHE≌△MFG可得.
（1）证明:
在△HDG与△AEH中,
∵四边形ABCD就是正方形,
∴∠D=∠A=90°,
∵四边形EFGH就是菱形,
∴HG=HE,
在Rt△HDG与△AEH中,
∴Rt△HDG≌△AEH（HL）,
∴∠DHG=∠AEH,
∴∠DHG+∠AHE=90°
∴∠GHE=90°,
∴菱形EFGH为正方形,
∴∠EHG=90°;
（2）证明:
过F作FM⊥CD,垂足为M,连接GE,
∵CD∥AB,
∴∠AEG=∠MGE,
∵GF∥HE,
∴∠HEG=∠FGE,
∴∠AEH=∠FGM;
（3）由
（2）得到∠AEH=∠FGM,
在Rt△AHE与Rt△GFM中,
∴Rt△AHE≌Rt△GFM（AAS）,
∴MF=2,
∵DG=x,
∴CG=6-x,
∴S△FCG=
CG•FM=6-x.
题型:
解答题
难度:
中等
详细信息
如图,已知O为矩形ABCD对角线的交点,过点D作DE∥AC,过点C作CE∥BD,且DE、CE相交于E点.
（1）请您判断四边形OCED的形状,并说明理由;
（2）若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.
（1）首先由CE∥BD,DE∥AC,可证得四边形CODE就是平行四边形,又由四边形ABCD就是矩形,根据矩形的性质,易得OC=OD,即可判定四边形CODE就是菱形,
（2）由矩形的性质可知四边形OCED的面积为矩形ABCD面积的一半,问题得解.
【解析】
（1）四边形OCED的形状就是菱形,
理由如下:
∵CE∥BD,DE∥AC,
∴四边形CODE就是平行四边形,
∵四边形ABCD就是矩形,
∴AC=BD,OA=OC,OB=OD,
∴OD=OC,
∴四边形CODE就是菱形;
（2）∵AB=6,BC=8,
∴矩形ABCD的面积=6×8=48,
∵S△ODC=
S矩形ABCD=12,
∴四边形OCED的面积=2S△ODC=24.
题型:
解答题
难度:
困难
详细信息
如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠AND=60°,点E就是AD边的中点,点M就是AB边上一动点（不与点A重合）,延长ME交射线CD于点N,连接MD、AN.
（1）求证:
四边形AMDN就是平行四边形;
（2）填空:
①当AM的值为______时,四边形AMDN就是矩形;
②当AM的值为______时,四边形AMDN就是菱形.
（1）利用菱形的性质与已知条件可证得△NDE≌△MAE,即可利用四边形AMDN的对角线互相平分证得四边形AMDN就是平行四边形;
（2）①有
（1）可知四边形AMDN就是平行四边形,利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA=90°,所以AM=
AD=2时即可;
②当平行四边形AMND的邻边AM=DM时,四边形为菱形,利用已知条件再证明三角形AMD就是等边三角形即可.
（1）证明:
∵四边新ABCD就是菱形,
∴AB∥CD,
∴∠DNE=∠AME,
∵点E就是AD边的中点,
∴AE=DE,
在△NDE与△MAE中,
∴△NDE≌△MAE（AAS）,
∴NE=ME,
∴四边形AMDN就是平行四边形;
（2）【解析】
①当AM的值为2时,四边形AMDN就是矩形.
理由如下:
∵AM=2=
AD,
∴∠ADM=30°
∵∠DAM=60°,
∴∠AMD=90°,
∴平行四边形AMDN就是矩形;
②当AM的值为4时,四边形AMDN就是菱形.
理由如下:
∵AM=4,
∴AM=AD=4,
∴△AMD就是等边三角形,
∴AM=DM,
∴平行四边形AMDN就是菱形.
故答案为;
（1）2,
（2）4.
题型:
解答题
难度:
困难
详细信息
（1）如图甲,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D作DP∥OC,且
DP=OC,连接CP,判断四边形CODP的形状并说明理由.
（2）如果题目中的矩形变为图乙菱形结论应变为什么,说明理由.
（1）根据一组对边平行且相等的四边形就是平行四边形可得四边形CODP就是平行四边形,再根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD,然后根据邻边相等的平行四边形就是菱形解答;
（2）根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD,再根据垂线的定义求出∠BOC=90°,然后根据有一个角就是直角的平行四边形就是矩形解答.
【解析】
（1）就是菱形.
理由如下:
∵DP∥OC,DP=OC,
∴四边形CODP就是平行四边形,
∵矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,
∴OC=OD,
∴平行四边形CODP就是菱形,
故四边形CODP就是菱形;
（2）就是矩形.
理由如下:
∵菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,
∴AC⊥BD,
∴∠BOC=90°,
∴平行四边形CODP就是矩形,
故,四边形CODP就是矩形.
题型:
解答题
难度:
中等
详细信息
小宇将两张长为8宽为2的矩形条交叉如图①,发现重叠部分可能就是一个菱形.
（1）请您帮助小宇证明四边形ABCD就是菱形.
（2）小宇又发现:
如图②时,菱形ABCD的周长最小,等于______;
如图③时菱形ABCD的周长最大,求此时菱形ABCD的周长.
（1）首先可判断重叠部分为平行四边形,且两条纸条宽度相同;再由平行四边形的面积可得邻边相等,则重叠部分为菱形;
（2）根据垂线段最短,当两纸条垂直放置时,菱形的周长最小,边长等于纸条的宽度;
（3）当菱形的一条对角线为矩形的对角线时,周长最大,作出图形,设边长为x,表示出BE=8-x,再利用勾股定理列式计算求出x,然后根据菱形的四条边都相等列式进行计算即可得解.
（1）证明:
如图①,过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,
∵两条纸条宽度相同（对边平行）,
∴AB∥CD,AD∥BC,AE=AF,
∴四边形ABCD就是平行四边形,
∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF,
又∵AE=AF,
∴BC=CD,
∴四边形ABCD就是菱形;
【解析】
（2）如图②,当两纸条互相垂直时,菱形的周长最小,此时菱形的边长等于纸条的宽,为2,
所以,菱形的周长=4×2=8.
故答案就是:
8;
（3）如图③,菱形的一条对角线与矩形的对角线重合时,周长最大,
设AB=BC=x,则BE=8-x,
在Rt△BCE中,BC2=BE2+CE2,
即x2=（8-x）2+22,
解得x=
所以,菱形的周长=4×
=17.
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