初中数学中考导练讲义第10讲一次函数.docx

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初中数学中考导练讲义第10讲一次函数

第10讲一次函数

【章节知识清单】

知识点一：

一次函数的概念及其图象、性质

关键点拨与对应举例

1.一次函数的相关概念

（1）概念：

一般来说，形如y＝kx＋b（k≠0）的函数叫做一次函数．特别地，当b＝0时，称为正比例函数．

（2）图象形状：

一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.

例：

当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,

2.一次函数的性质

k，b

符号

K＞0，

b＞0

K＞0，

b＜0

K＞0，b=0

k<0，

b>0

k<0，

b<0

k<0，

b＝0

（1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.

（2）比较两个一次函数函数值的大小：

性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.

例：

已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小（填“增大”或“减小”）．

大致

图象

经过象限

一、二、三

一、三、四

一、三

一、二、四

二、三、四

二、四

图象性质

y随x的增大而增大

y随x的增大而减小

3.一次函数与坐标轴交点坐标

（1）交点坐标：

求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴的交点是，与y轴的交点是（0，b）；

（2）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象恒过点（0，0）．

例：

一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.

知识点二：

确定一次函数的表达式

4.确定一次函数表达式的条件

（1）常用方法：

待定系数法，其一般步骤为：

①设：

设函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）；

②代：

将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；

③解：

求出k与b的值，得到函数表达式．

（2）常见类型：

①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；

③平移转化型：

如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.

（1）确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.

（2）只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题.如:

已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.

5.一次函数图象的平移

规律：

①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.

②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.

例：

将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．

知识点三：

一次函数与方程（组）、不等式的关系

6.一次函数与方程

一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.

例：

（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.

（2）一次函数y=-3x+12中，当x＞4时，y的值为负数．

7.一次函数与方程组

二元一次方程组的解两个一次函数y=k1x+b和y=k2x+b图象的交点坐标.

8.一次函数与不等式

（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集

（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集

知识点四：

一次函数的实际应用

9.一般步骤

（1）设出实际问题中的变量；

（2）建立一次函数关系式；

（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；

（4）确定自变量的取值范围；

（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；

（6）做答.

一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：

确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.

10.常见题型

（1）求一次函数的解析式.

（2）利用一次函数的性质解决方案问题.

【章节典例解析】

【例题1】小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s（m）与时间t（min）的大致图象是（　　）

A．B．C．D．

【分析】根据题意判断出S随t的变化趋势，然后再结合选项可得答案．

【解答】解：

小明从家到学校，先匀速步行到车站，因此S随时间t的增长而增长，

等了几分钟后坐上了公交车，因此时间在增加，S不增长，

坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，因此S又随时间t的增长而增长，

故选：

C．

【点评】此题主要考查了函数图象，关键是正确理解题意，根据题意判断出两个变量的变化情况．

【例题2】（2017山东聊城）端午节前夕，在东昌湖举行第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程y（m）与时间x（min）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（　　）

A．乙队比甲队提前0.25min到达终点

B．当乙队划行110m时，此时落后甲队15m

C．0.5min后，乙队比甲队每分钟快40m

D．自1.5min开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需要提高到255m/min

【考点】E6：

函数的图象．

【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，根据图象上特殊点的意义即可求出答案．

【解答】解：

A、由横坐标看出乙队比甲队提前0.25min到达终点，故A不符合题意；

B、乙AB段的解析式为y=240x﹣40，当y=110时，x=；甲的解析式为y=200x，当x=时，y=125，当乙队划行110m时，此时落后甲队15m，故B不符合题意；

C、乙AB段的解析式为y=240x﹣40乙的速度是240m/min；甲的解析式为y=200x，甲的速度是200m/min，0.5min后，乙队比甲队每分钟快40m，故C不符合题意；

D、甲的解析式为y=200x，当x=1.5时，y=300，甲乙同时到达÷（2.25﹣1.5）=266m/min，故D符合题意；

故选：

D．

【例题3】（2017湖北随州）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为　（，）　．

【考点】PA：

轴对称﹣最短路线问题；D5：

坐标与图形性质．

【分析】作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，由作图得到ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，求得△NON′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到N′M⊥ON，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：

作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，

则此时，PM+PN最小，

∵OA垂直平分NN′，

∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，

∴△NON′是等边三角形，

∵点M是ON的中点，

∴N′M⊥ON，

∵点N（3，0），

∴ON=3，

∵点M是ON的中点，

∴OM=1.5，

∴PM=，

∴P（，）．

故答案为：

（，）．

【例题4】（2017湖北随州）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论：

①甲车出发2h时，两车相遇；②乙车出发1.5h时，两车相距170km；③乙车出发2h时，两车相遇；④甲车到达C地时，两车相距40km．其中正确的是　②③④　（填写所有正确结论的序号）．

【考点】FH：

一次函数的应用．

【分析】①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，即可得出结论①错误；②根据速度=路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度，再根据时间=路程÷速度和可求出乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论②正确；③根据时间=路程÷速度和可求出乙车出发2h时，两车相遇，结论③正确；④结合函数图象可知当甲到C地时，乙车离开C地0.5小时，根据路程=速度×时间，即可得出结论④正确．综上即可得出结论．

【解答】解：

①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，

∵C地位于A、B两地之间，

∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误；

②甲车的速度为240÷4=60（km/h），

乙车的速度为200÷（3.5﹣1）=80（km/h），

∵÷（60+80）=1.5（h），

∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论②正确；

③∵÷（60+80）=2（h），

∴乙车出发2h时，两车相遇，结论③正确；

④∵80×（4﹣3.5）=40（km），

∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论④正确．

综上所述，正确的结论有：

②③④．

故答案为：

②③④．

【例题5】（2017黑龙江佳木斯）为了推动“龙江经济带”建设，我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展．2017年春，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，青椒1.5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿x公顷，总利润为y万元．

（1）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式．

（2）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方案？

（3）在

（2）的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的在冬季同时建造A、B两种类型的温室大棚，开辟新的经济增长点，经测算，投资A种类型的大棚5万元/个，B种类型的大棚8万元/个，请直接写出有哪几种建造方案？

【考点】FH：

一次函数的应用；CE：

一元一次不等式组的应用．

【分析】

（1）根据总利润=三种蔬菜的利润之和，计算即可；

（2）由题意，列出不等式组即可解决问题；

（3）由题意，列出二元一次不等式，求出整数解即可；

【解答】解：

（1）由题意y=x+1.5×2x+2=﹣2x+200．

（2）由题意﹣2x+200≥180，

解得x≤10，

∵x≥8，

∴8≤x≤10．

∵x为整数，

∴x=8，9，10．

∴有3种种植方案，

方案一：

种植西红柿8公顷、马铃薯76公顷、青椒16公顷．

方案二：

种植西红柿9公顷、马铃薯73公顷、青椒18公顷．

方案三：

种植西红柿10公顷、马铃薯70公顷、青椒20公顷．

（3）∵y=﹣2x+200，

﹣2＜0，

∴x=8时，利润最大，最大利润为184万元．

设投资A种类型的大棚a个，B种类型的大棚b个，

由题意5a+8b≤×184，

∴5a+8b≤23，

∴a=1，b=1或2，

a=2，b=1，

a=3，b=1，

∴可以投资A种类型的大棚1个，B种类型的大棚1个，

或投资A种类型的大棚1个，B种类型的大棚2个，

或投资A种类型的大棚2个，B种类型的大棚1个，

或投资A种类型的大棚3个，B种类型的大棚1个．

【章节典例习题】

1.（2017•宁德）如图，直线ι是一次函数y=kx+b的图象，若点A（3，m）在直线ι上，则m的值是（　　）

A．﹣5B．C．D．7

2.（2017哈尔滨）周日，小涛从