高三数学一轮复习教案第5讲 函数的图像.docx

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高三数学一轮复习教案第5讲函数的图像

学年第一学期高三年级数学学科

集体备课教案

课题

函数的图像（共课）

修改与创新

课标要求

．掌握基本初等函数的图象的画法及性质。

如正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等；

．掌握各种图象变换规则，如：

平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；

．识图与作图：

对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。

甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题；

．通过实例，了解幂函数的概念；结合函数的图像，了解它们的变化情况。

函数图像是高考必考内容，需认真复习。

命题走向

函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位。

其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。

知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地。

从历年高考形势来看：

（）与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力，会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题；

（）函数综合问题多以知识交汇题为主，甚至以抽象函数为原型来考察；

（）与幂函数有关的问题主要以为主，利用它们的图象及性质解决实际问题；

预测年高考函数图象：

（）题型为到个填空选择题；（）题目多从由解析式得函数图象、数形结合解决问题等方面出题；

函数综合问题：

（）题型为个大题；（）题目多以知识交汇题目为主，重在考察函数的工具作用；

幂函数：

单独出题的可能性很小，但一些具体问题甚至是一些大题的小过程要应用其性质来解决。

教学准备

多媒体

教学过程

要点精讲:

．作图方法：

以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。

作函数图象的步骤：

①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。

运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。

而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点。

．三种图象变换：

平移变换、对称变换和伸缩变换等等；

①平移变换：

Ⅰ、水平平移：

函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；

）（）（）；）（）（）；

Ⅱ、竖直平移：

函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到；

）（）（）；）（）（）。

②对称变换：

Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；

（）（）

Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；

（）（）

Ⅲ、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；

（）（）

Ⅳ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。

（）（）

Ⅴ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到；

（）（）。

③翻折变换：

Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；

Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到

④伸缩变换：

Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；

（）（）

Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到。

（）（）（）

．识图：

分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。

典例解析:

．一次函数（）的图象过点（）和（），则下列各点在函数（）的图象上的是（　　）

．（）　　　　　　　．（－）

．（）．（）

解析：

选　一次函数（）的图象过点（），（），则（）＝＋，代入验证满足条件．

．函数＝的图象大致是（　　）

解析：

选　函数＝为奇函数，图象关于原点对称．

．（教材习题改编）在同一平面直角坐标系中，函数（）＝与（）＝的图象可能是下列四个图象中的（　　）

解析：

选　因>且≠，再对分类讨论．

．（教材习题改编）为了得到函数＝－的图象，只需把函数＝的图象上所有的点向平移个单位长度．

答案：

右　

．若关于的方程＝－只有一个解，则实数的取值范围是．

解析：

由题意＝＋

令＝＋＝图象如图所示，故要使＝＋只有一解则>.

答案：

（，＋∞）

　　.作图一般有两种方法：

直接作图法、图象变换法．其中图象变换法，包括平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律．

　对于左、右平移变换，可熟记口诀：

左加右减．但要注意加、减指的是自变量，否则不成立．

．一个函数的图象关于原点（轴）对称与两个函数的图象关于原点（轴）对称不同，前者是自身对称，且为奇（偶）函数，后者是两个不同的函数对称．

作函数的图象

典题导入

　分别画出下列函数的图象：

（）＝；

（）＝＋；

（）＝－－.

　（）＝图象如图.

（）将＝的图象向左平移个单位．图象如图.

（）＝图象如图.

由题悟法

画函数图象的一般方法

（）直接法：

当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．

（）图象变换法：

若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

以题试法

．作出下列函数的图象：

（）＝－；

（）＝.

解：

（）＝

即＝

其图象如图所示（实线部分）．

（）＝＝＋，先作出＝的图象，再将其向右平移个单位，并向上平移个单位即可得到＝的图象，如图.

识图与辨图

典题导入

　（·湖北高考）已知定义在区间上的函数＝（）的图象如图所示，则＝－（－）的图象为（　　）

　法一：

由＝（）的图象知

（）＝

当∈时，－∈，

所以（－）＝

故＝－（－）＝

法二：

当＝时，－（－）＝－（）＝－；当＝时，－（－）＝－（）＝－.观察各选项，可知应选.

由题悟法

“看图说话”常用的方法

（）定性分析法：

通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征分析解决问题．

（）定量计算法：

通过定量的计算来分析解决问题．

（）函数模型法：

由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．

以题试法

.（）如图，函数（）的图象是曲线，其中点，，的坐标分别为（），（），（），则的值等于．

（）（·东城模拟）已知函数对任意的∈有（）＋（－）＝，且当>时，（）＝（＋），则函数（）的图象大致为（　　）

解析：

（）∵由图象知（）＝，

∴＝.∴＝（）＝.

（）∵对∀∈有（）＋（－）＝，∴（）是奇函数．（）＝，＝（）的图象关于原点对称，当<时，（）＝－（－）＝－（－＋）＝－（－），由图象知符合上述条件的图象为.

答案：

（）　（）

函数图象的应用

典题导入

　（·新课标全国卷）已知函数＝（）的周期为，当∈时（）＝，那么函数＝（）的图象与函数＝的图象的交点共有（　　）

．个　　　　　　　　　．个

．个．个

　根据（）的性质及（）在上的解析式可作图如下：

可验证当＝时，＝＝；<<时，<；

>时>.

结合图象知＝（）与＝的图象交点共有个．

若本例中（）变为（）＝，其他条件不变，试确定交点个数．

解：

根据（）的性质及（）在上的解析式可作图如下：

由图象知共个交点．

由题悟法

．利用函数的图象研究函数的性质

对于已知或易画出在给定区间上图象的函数，其性质（单调性、奇偶性、周期性、最值（值域）、零点）常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．

．利用函数的图象研究方程根的个数

当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程（）＝的根就是函数（）图象与轴的交点的横坐标，方程（）＝（）的根就是函数（）与（）图象的交点的横坐标．

以题试法

．（·天津河西模拟）设方程＝（－）的两个根为，，则（　　）

．<．＝

．>．<<

解析：

选

　函数＝与函数＝（－）的图象如图所示，

由图示可设<－<<，则<<<，

可得

－＝（－）＋（－）＝，

∵－<，∴<<.

平移变换是初中就学过的，学生较易掌握、利用。

但对称变换、翻折变换，学生以前虽有接触，但还不系统、牢固，这一内容需精讲精练。

本题引导学生，怎样联系图像分析、解决。

培养学生运用图像的意识和能力。

通过此例，让学生比较、把握翻折变换与偶函数的自对称变换的区别。

引导学生分析，由＝（）的图象，通过哪些变换可以得到＝－（－）的图象。

这是利用图像解决问题的典型例子，让学生认真体会。

板书设计

函数的图像

图象变换：

（）平移变换：

Ⅰ、水平平移：

Ⅱ、竖直平移：

（）对称变换：

Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；

（）（）

Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；

（）（）

Ⅲ、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；

（）（）

Ⅳ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。

（）（）

（）翻折变换：

（）伸缩变换：

教学反思

利用图像分析、解决问题是数形结合的典型例子。

但有些学生，对函数图像不够重视，

利用图像分析问题的能力不够强。

教学中，需通过一定量的例题带领学生分析，提高学生用图的意识和能力。