北京东城166中学初三下月考.docx
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北京东城166中学初三下月考
2016-2017年北京市第166中学初三3月月考测试
数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．神舟十一号飞船是我国于年月日时分在酒泉卫星发射中心发射的载人飞船，这是我国持续时间最长的一次载人飞行任务，总飞行时间长达天，即分钟，将用科学记数表示应为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】科学记数法，写成的形式，其中，为整数，故正确．
2．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由中心对称图形和轴对称图形的定义可知，图为轴对称图形，绕中心旋转后均能与原图形生合，是中心对称图形．
3．如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果，那么的度数为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由平行移动性质和三角形外角可得，
∴，
∴，
∴．
4．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由图可知到原点的距离大于到原点的距离，
∴．
5．一个多边形的内角和是它的外角和的倍，这个多边形是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】多边形的外角和为，内角和公式为：
，
由题意可列：
，
，
，
∴是边形，故选．
6．象棋在中国有着三行多年的历史，由于用具简单趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏，如图，是一局象棋残局，已知表示柜子“马”和“车”的点的坐标分别为，，则表示棋子“炮”的点的坐标为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由马、车的坐标为，可知帅为原点．
∴炮的坐标为．
7．某市乘出租车需付车费（元）与行车里程（千米）之间函数关系的图象如图所示，那么该市乘出租车超过千米后，每千米的费用是（）
A．元
B．元
C．元
D．
【答案】B
【解析】由图象可知超过千米后的费用为：
元．
8．已知，关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【解析】由题意知，
解得，故选．
9．如图，把放在直角坐标系内，其中，，点的坐标分别为、．将沿轴向右平稳，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题知，，，
∴在中，，
∴点坐标为，
当点落到时，的坐标为，
将代入，得，
，
∴平稳后点坐标为，
如图，扫过的面积为平行四边形的面积，
∴扫过的面积为：
．
10．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛，路线图如图1所示，点为矩形边的中点，在矩形的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员从点出发，沿着的路线匀速行进，到达点．设运动员的运动时间为，到监测点的距离为，现有与的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（）
A．监测点B．监测点C．监测点D．监测点
【答案】C
【解析】由题意和图象可知：
由监测点监测时，函数值随的增大先减小再增大；
由监测点监测时，函数值随的增大而增大；
由监测点监测时，函数值随的增大先减小再增大，然后再减小；
由监测点监测时，函数值随的增大而减小．
因故选．
二、填空题（本题共18分，每题3分）
11．在函数中，自变量的取值范围是__________．
【答案】
【解析】分式有意义的条件是分母不为，
∴，解得．
12．分解因式：
__________．
【答案】
【解析】
．
13．已知，，且，则=__________．
【答案】
【解析】∵算术平方根，绝对值具有非负性，被开方数为非负性，
∵，
∴，
又，
∴异号，
∴，
又∵，
∴，
∴．
14．《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，王文素著，完成于明嘉靖三年（年），全书本卷，近万字，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》中记载的用导学解高次方程的方法堪与牛顿媲美，且早于牛顿年．
《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：
“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共几何？
”
译文：
一个矩形田地的面积等于平方步，且它的宽比长少步，问长与宽的和是多少步？
如果设矩形田地的长为步，可列方程为__________．
【答案】．
【解析】设矩形田地的长为步，则宽为步．
∴．
15．已知如图，是⊙的直径，弦于，，，，则⊙的直径为__________．
【答案】
【解析】由垂径定理得：
设圆的半径为，
∴，，
∴，．
∴在中，
，
∴，
∴，
∴直径为．
16．阅读下面材料：
数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：
作一角等于已知角．
已知：
．
求作：
，使得．
小明解答如图所示：
老师说：
“小明作法正确．”
请回答：
（）小明的作图依据是__________；
（）他所画的痕迹弧是以点__________为圆心，__________为半径的弧．
【答案】（）三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等．
（），．
【解析】（）三边对应的相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等．
（），．
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．计算：
．
【答案】．
【解析】原式
．
18．已知，求代数式的值．
【答案】3
【解析】原式
．
∵，
∴，
∴原式．
19．解不等式，并把它的解集表示在数轴上，再写出它的最小整数解．
【答案】
【解析】，
，
，
，
，
∴不等式的解集为：
．
20．如图，在中，，是边上的中线，于点．
求证：
．
【答案】答案见解析．
【解析】∵在中，，是上的中线，
∴，，，
又，
∴，
∴，
又，
∴．
21．列方程或方程组解应用题
某校为了增强学生对中华优秀传统文化的理解，决定购买一批相关的书籍．据了解，经典著作的单价比传说故事的单价多元，用元购买经典著作与用元购买传说故事的本数相同，求经典著作的单价是多少元？
【答案】答案见解析．
【解析】设经典菱的单价为元，则传说故事的单价为元．
，
解得．
经检验时原分式方程的解，且符合题意．
答：
经典著作的单价为元．
22．直线和双曲线交于点，．
（）求，，的值；
（）在轴上有一点，使的值最小，求出点的坐标．
【答案】（），，（）
【解析】（）将，分别代入得．
，，
，，
∴，，
将代入得：
，
，
∴，，．
（）作关于轴的对称点，
连接，交轴于点，即为所求，
设所在直线的解析式为，
将，代入得，
，解得，
∴．
当时，，
．
∴点坐标为．
23．如图，平行四边形，点是边的一点，将边延长至点，使，连接，．
（）求证：
四边形是平行四边形；
（）若，，，求的长．
【答案】（）答案见解析（）
【解析】（）在平行四边形中，，
∴，，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（）过点作于点，
∵四边形和四边形是平行四边形，
∴，，
∴在中，，
∴设，，
∴
，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，
．
∴的长为．
24．阅读下列材料：
数学课程的内容分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个领域，其中“综合与实践”领域通过探讨一此具有挑战性的研究问题，给我们创造了可以动手操作、探究学习、认知数学间的联系、发展应用数学知识解决问题的意识和能力的机会．
“综合与实践”领域在人教版七~九年级册数学教材中共安排了约课时的内容，主要有“数学制作与设计”“数学探究与实验”“数学调查与测量”“数学建模”等活动类型，所占比例大约为，，，．这些活动以“课题学习”“数学活动”和“拓广探索类习题”等形式分散于各章之中，“教学活动”几乎每章后都有个，共个，其中七年级个，八年级个；“课题学习”共个，其中只有八年级下册安排了“选择方案”和“体质健康数据中的数据分析”个内容，其他册书中都各有个；七年级~九年级下册书中“拓广探索类习题”数量分别是．
根据以上材料回答下列问题：
（）人教版七~九年级数学教材中，“数学调查与测量”类活动约占__________课时；
（）选择统计表或统计图，将人教版七~九年级数学教材中“课题学习”“数学活动”和“拓广探索类习题”的数量表示出来．
【答案】（）．（）答案见解析
【解析】（）“数学调查与测量”类活动行为：
（课时）
（）
课题学习
数学活动
拓展探究类习题
七年级
八年级
九年级
25．如图，在中，，是的平分线，点在上，⊙经过，两点，交于点．
（）求证：
是⊙的切线；
（）若，，求的长．
【答案】（）证明解析．（）
【解析】（）连接，
∵，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，且是⊙的半径，
∴是⊙的切线．
（）在中，，，
∴，
∴，
由勾股定理得，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
26．【阅读学习】刘老师提出这样一个问题：
已知为锐角，且，求的值．
小娟是这样解决的：
如图1，在⊙中，是直径，点在⊙上，，所以，．
易得，设，则，则．作于，
求出__________（用含的式子表示），可求得__________．
【问题解决】
已知，如图2，点为圆上的三点，且，，求的值．
【答案】（），．（）
【解析】（），．
（）如图，连接，并延长交⊙于，连接，，作于．
在⊙中，，
∵，，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
．
27．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．
（）求证：
抛物线与轴有两个交点；
（）若抛物线与轴的交点分别为，．且，求此抛物线的表达式及顶点坐标；
（）已知轴上两点，，若抛物线与线段有交点，请写出的取值范围．
【答案】（）证明见解析．（），．（）．
【解析】（）令，则一方二次方程为，
，
∴
．
∵，
∴，
∴，
∴原方程有两个不同的实数根，
∴抛物线与轴有两个交点．
（）由题意得抛物线的对称轴为：
，
∵，
∴，，
将代入原抛物线，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
顶点．
（）如图，经过分析得抛物线过点后与始终有交点．
将代入，
，
又∴的取值范围为．
28．如图1，在四边形中，，，，连接对角线．
（）将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
①依题意补全图1；
②试判断与的数量关系，并证明你的结论；
（）在（）的条件下，直接写出线段、和之间的数量关系；
（）如图2，是对角线上一点，且满足，连接和，探究线段、和之间的数量关系，并证明．
【答案】（）①答案见解析；②．（）．（）．
【解析】（）①如图
②连接，
∵，，
∴就等边三角形，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
在和中，
∴≌，
∴．
（）．
（）如图，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
将线段绕点顺时针旋转得到，
连接，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∵，，
∴，
在中，
，
∴．
29．对于⊙及一个矩形给出如下定义：
如果⊙上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶
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