洁具流水时间设计 2.docx
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洁具流水时间设计2
洁具流水时间设计
摘要
本文是关于节能方面的一个设计，从建模的基础上设计出了两个方案，并且得到了最优解。
在模型
中，假设上一个使用者离开和下一个使用者开始使用洁具时间间隔充分大，可以保证洁具不受下一个使用者的影响。
如果只从节约能源的角度来考虑的话，可以求解出最优解T=6秒，是最佳的选择。
如果还考虑清洁度和洁具的寿命的话，T=22秒，最佳的选择。
在模型
中，假设上一使用者离开和下一使用者开始使用洁具的时间间隔比较小，洁具冲水时间受到影响。
如果从节约能源的角度来设计最优化模型，此时T=6秒。
如果还从清洁度和洁具的寿命角度来设计最优化模型，此时T=11秒。
上面的两个模型都是从不同的角度来分析，并最终为商家设计出节能的洁具。
厂家可以从上述不同的两个模型中选择合适的方案来设计自己的产品。
关键词：
洁具流水时间线性分析最优时间Matlab
一、问题重述
我国是个淡水资源相当贫乏的国家，人均可利用淡水量不到世界平均数的四分之一。
特别是近几年来，由于环境污染导致降水量减少，不少省市出现大面积的干旱。
许多城市为了节能，纷纷采取提高水价、电价的方式来抑制能源消费。
而另一方面，据有关资料报道，我国目前生产的各类洁具消耗的能源（主要是指用水量）比其它发达国家的同类产品要高出60%以上。
某洁具生产厂家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时间内流水量
为常数v，为达到节能的目的，现有以下两个控制放水时间的设计方案供采用。
方案一：
使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。
若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，在使用者离开后再放水一次，持续时间为10秒。
方案二：
使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。
若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，到2T时刻再开始第二次放水，持续时间也为T。
但若使用时间超过2T-5秒，则到4T时刻再开始第三次放水，持续时间也是T……在设计时，为了使洁具的寿命尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过2次。
该厂家随机调查了100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间（单位：
秒）见下表：
时间/秒
12
13
14
15
16
17
18
人次
1
5
12
60
13
6
3
（1）请你根据以上数据，比较这两种设计方案从节约能源的角度来看，哪一种更好？
并为该厂家提供设计参数T（秒）的最优值，使这种洁具在相应设计方案下能达到最大限度节约水、电的目的；
（2）从既能保持清洁又能节约能源出发，你是否能提出更好的设计方案，请通过建立数学模型与前面的方案进行比较。
二、模型假设
1、厂家随机100人次得出的男性使用洁具时间可以反映出现现实情况；
2、一般电子控制水龙头的开关采用继电器，计时系统的耗电可以忽略，只考虑继电器的耗电，因此耗电量与冲水次数和流水时间有关；
3、洁具的寿命与冲水次数和冲水时间有关；
4、用水量与用水时间成正比；
5、使用者每次使用时间属于正态分布；
6、前一使用者与后一使用者使用洁具是相互独立。
三、符号说明
符号
符号说明
洁具中设计的放水时间参数（单位秒）
使用者使用的时间
每个人使用后冲水的时间
放水过程单位时间内流出的水量
所有使用者使用的冲水时间的累加
每位使用者平均使用的冲水时间
每个使用者使用洁具时，平均冲水的次数
四、问题分析
对于本类问题，可以看到这是一个节能的分析问题。
在这个问题中，可以使用线性规划的方案，来对模型进行设计。
（1）通过对数据的分析，从中找出在使用解决最高的比例时，找出他们的共性，并根据这个共性来设计出能达到最大限度节约水、电的洁具。
（2）在模型一的设计中，我们已经看出了其中的优越性，在模型二的设计中，我们可以从使用者之间的时间间隔来考虑，设计新的模型。
五、模型的建立与求解
5.1模型
的建立
设上一个使用者离开和下一个使用者开始使用洁具时间间隔充分大，可以保证洁具不受下一个使用者的影响。
则方案一时间的计算如下：
当使用时间不超过T-5秒时，放水一次，时间为T秒。
否则放水时间为T+10秒。
数学表达式如下：
（1）
其中f代表冲水时间。
则用水量为f×v
方案二时间的计算如下：
当使用时间不超过T-5秒时，放水一次，时间为T秒。
否则，到2T时刻再开始第二次放水，总的放水时间为2T。
依次类推，使用时间超过n×T-5时，到第2n×T的时刻再开始第n+1次放水，时间为（n+1）×T。
数学表达式如下：
（2）
f代表冲水时间。
则用水量为f×v从而，我们可以得到如下规划：
（3）
首先用Matlab软件中的hist函数对所给的数据进行绘图，从图可以看出使用者每次使用时间属于正态分布。
然后用normplot画出其概率图。
以下使用者使用时间的直方图及正态分布概率图，见图1、图2所示。
图1
由normpfit函数算出其均值为15.0900,方差为1.0259。
用ttset函数经检验其均值结果如下：
H=0，P=1，Ci=14.8864-15.2936。
H=0，P=1代表不拒绝零假设。
Ci=14.8864-15.2936，说明期望在14.8864-15.2936之间概率为95%，15.09完全在其中。
我们用normrnd函数产生服从正态分布的随机数，可以对1000人进行统计他们总的使用时间和冲水次数。
由于不知道上一个使用者和下一个使用者上厕所的时间间隔，我们对三种情况进行了不同的讨论。
图2
图31000人冲水时间的累加
图41000人冲水次数的累加
下面是在不同T的情况下的所有人用的时间，而且可以得出在不同T的情况下所有人使用洁具的次数。
我们比较两种方案，得出方案一更好些。
由图3与图4可知：
在T=22秒以前，方案一冲水时间要明显小于方案二的冲水时间。
在T=22秒以后，方案一冲水时间与方案二的冲水时间一样的。
在T=11秒以前，方案一冲水次数要明显小于方案二的冲水次数。
在T=11秒以后，方案一冲水次数和方案二的冲水次数无区别。
综上所述，从节约能源的角度和洁具寿命的角度上来看，方案一比方案二好。
如果只从节约能源的角度来考虑的话，T=6秒，是最佳的选择。
如果还考虑清洁度和洁具的寿命的话，T=22秒，最佳的选择。
5.2模型
的建立
设上一使用者离开和下一使用者开始使用洁具的时间间隔比较小，洁具冲水时间受到影响。
由于洁具可以根据用户要求，设定不同的程序。
为了节约用水，一般洁具具有重新计时功能。
考虑到时间间隔，我们对方案一和方案二的时间计算公式进行修正。
设G为时间间隔，则方案一时间计算公式如下：
（4）
方案二时间计算公式如下：
（5）
图5
时间间隔小于10秒，方案一，方案二，冲水时间和冲水次数的比较从图5可知：
在T≤9或T＞20秒，方案一的冲水时间和冲水次数小于方案二的。
在9＜T≤20秒，方案二的冲水时间和冲水次数小于方案一的。
对于方案一，T=6秒，R=9536秒，r=9.536秒，平均每人用9.536×v水量，C=1.596；T=22秒，R=19975秒，r=19.975秒，平均每人用19.975×v水量，C=1。
对于方案二，T=11秒，R=11601秒，r=11.601秒，平均每人用1.601×v水量，C=1.309。
如果从节约能源的角度来选；方案一是最佳的，且选T=6秒。
如果还从清洁度和洁具的寿命角度来选；方案二是最佳，且选T=11秒。
我们还考虑了时间间隔是20秒以内，30秒以内，40秒以内的随机数。
我们发现具有以上同样的规律。
而在50秒以内，60以内，70秒，……，600秒以内的随机数，我们发现方案一在各方面都好于方案二。
T的选择可作类似分析见图6。
时间间隔为30秒以内的随机数，如图7所示。
时间间隔为40秒以内的随机数，如图8所示。
时间间隔是50秒，60秒，70秒，……，600秒，如图9所示。
综上所述，如果洁具用在人比较少的地方，比如家庭则选方案一，设定T=6秒；如果洁具用在人比较多的地方，比如公共厕所则选方案二，设定T=11秒，时间间隔为20秒以内的随机数。
图6
图7
图8
图9
5.3问题的进一步分析
根据我们在网上查到的资料，一般人的一次排尿量在200cc～400cc左右，一般的洁具都会在器具的下方有一个存水弯，以我们调查的TOTO洁具为例，它下面的存水弯大概有300cc的大小，其他的产品有所不同，为了洁具的清洁，必须使存水弯的尿液浓度在一定的水平以下，防止在存水弯出留有大量的污垢和尿液，否则将会使存水弯堵塞或是尿液大量存放污染室内空气。
人体尿液和清洁用水汇合成混合后的污水，流入存水弯，再从出水口流出，我们建立如下模型解决这个问题。
求出在清洁流水为一定值下，要使存水弯的尿液浓度达到我们
希望的值所需时间。
现在假设：
尿液与水流迅速混合；参与模型的变量是连续变化的，并且充分光滑；洁具管道中的盛水体积是一定的；洁具的洁净度与尿液在洁具中的浓度有关；对于洁净度，由于相同的洁具体积是一样的，而卫生间的空间大小是不一样的额，所以洁净度我们只考虑管道和洁具里的尿液浓度，而不考虑空气中的氨气浓度。
并做如下符号假设：
：
t时刻流入洁具的流数；
：
t时刻流入洁具的液浓度；
：
t时刻流入洁具的水流；
：
t时刻流入洁具的混合液体的浓度；
p（t）：
t时刻洁具中尿液的浓度；
V（t）：
t时刻洁具里液体的总体积；
x：
单位时间内水流与尿液流量之比；
：
人走后冲水时间；
表1相关数据处理
0.9093
0.9257
0.9392
0.9502
0.9592
0.9666
0.9727
6.456
6.5456
6.6178
6.6761
6.67234
6.7618
6.793
T
18.456
19.5456
20.6178
21.6761
22.7234
23.7618
24.793
类似于池水含盐问题，我们得到模型：
（6）
若v（池水体积）取常数，则rI（t）与r0（t）相同，流出的脏水与应与洁具中的尿液浓度一样，
与p（t）相同。
再设定流出的脏水流速为常数，于是
=
=0，于是有
（7）
令
，不难理解给出了排尽洁具中液体所需要的时间或可以说是液体保留的时间，于是有洁具尿液浓度的模型：
（8）
设
为常数，即每个使用时刻，设定尿液的浓度是一样的，如果设在初始时刻t=0,则有
，那么模型（8）就可以确定解出：
（9）
1、由模型
可以看出，当流入浓度Ｋ给定时，洁具中尿液浓度的变化速率只依赖于洁具液体的保留时间
，并于τ的大小成反比。
2、设
=p（t）/K为污染水平。
3、若使用者使用的时间间隔比较长，可以认为ps=0，对于干净的洁具，则t时刻的污染水平
，取不同的β值意味者污染状况的恶化程度。
水体达到污染水平
所要的时间为
，其中
。
4、若K=0，即没有污染物流入，这时洁具中的混合液体会以很快的速度的到净化，这时：
（10）
就给出了要把污染减少到初始污染水平的百分比α=p（t）/ps所要的时间，取不同的α，也就是把污染水平降到目前水平的比例，即可求出时间，设人体排除的尿液ρ与水流混合后为原来尿液浓度的
，x为单位时间里水流与尿液流量之比，则
。
则我们认为水流全部冲洗完后，只要洁具中的尿液浓度为人体尿液浓度的5％，则认为冲洗的效果是清洁的。
由上面的模型可以知道，第一次冲水后：
p（t）=β×K=β×p/（x+1），此时
，第二次冲水时在人走后：
K=0，初始时刻p（t）/
=5%。
（11）
则冲水的总时间为：
（12）
计算结果如表1所示。
（当x=4，
=5时）
冲水时间的期望为：
（13）
人走后，冲水的期望值为：
（14）
六、模型的评价
本文用两个模型，对感应式洁具目前主要采用的两种出流方案进行了分析比较，用Matlab求出了各方案出流时间设计参数
的最优值，并在此基础上，对感应式洁具的出流时间进行了优化设计，给出了一套既节水又卫生的流水方案。
对冲水时间进行合理求解，冲水时间从人开始应用洁具起延迟2秒钟，再冲水，可以起到节约用水的目的。
七、参考文献
[1]刘来福，曾文艺，数学模型与数学建模[M]，北京：
北京师范大学出版社，2002
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[3]周义仓，赫孝良，数学建模实验[M]，西安：
西安交通大学出版社，2007
[4]冯杰，黄力伟，王勤，伊成义，数学建模原理与案例[M]，北京：
科学出版社，2007
[5]张韵华，奚梅成，陈长松，数值计算方法和算法[M]，北京：
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