离散数学第1章习题解答.docx

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离散数学第1章习题解答

习题

1.下列句子中,哪些是命题?

哪些不是命题?

如果是命题,指出它的真值。

⑴中国有四大发明。

⑵计算机有空吗?

⑶不存在最大素数。

⑷21+3<5。

⑸老王是山东人或河北人。

⑹2与3都是偶数。

⑺小李在宿舍里。

⑻这朵玫瑰花多美丽呀!

⑼请勿随地吐痰!

⑽圆的面积等于半径的平方乘以。

⑾只有6是偶数,3才能是2的倍数。

⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。

⒀如果天下大雨,他就乘班车上班。

解:

⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题,其中⑴⑶⑽⑾是真命题,⑷⑹⑿是假命题,⑸⑺⒀的真值目前无法确定;⑵⑻⑼不是命题。

2.将下列复合命题分成若干原子命题。

⑴李辛与李末是兄弟。

⑵因为天气冷,所以我穿了羽绒服。

⑶天正在下雨或湿度很高。

⑷刘英与李进上山。

⑸王强与刘威都学过法语。

⑹如果你不看电影,那么我也不看电影。

⑺我既不看电视也不外出,我在睡觉。

⑻除非天下大雨,否则他不乘班车上班。

解:

⑴本命题为原子命题;

⑵ p:

天气冷;q:

我穿羽绒服;

⑶ p:

天在下雨;q:

湿度很高;

⑷ p:

刘英上山;q:

李进上山;

⑸ p:

王强学过法语;q:

刘威学过法语;

⑹ p:

你看电影;q:

我看电影;

⑺ p:

我看电视;q:

我外出;r:

我睡觉;

⑻ p:

天下大雨;q:

他乘班车上班。

3.将下列命题符号化。

⑴他一面吃饭,一面听音乐。

⑵3是素数或2是素数。

⑶若地球上没有树木,则人类不能生存。

⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。

⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。

⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。

⑺如果a和b是偶数,则a+b是偶数。

解:

⑴ p:

他吃饭;q:

他听音乐;原命题符号化为:

p∧q

⑵ p:

3是素数;q:

2是素数;原命题符号化为:

p∨q

⑶ p:

地球上有树木;q:

人类能生存;原命题符号化为:

p→q

⑷ p:

8是偶数;q:

8能被3整除;原命题符号化为:

p↔q

⑸ p:

停机;q:

语法错误;r:

程序错误;原命题符号化为:

q∨r→p

⑹ p:

四边形ABCD是平行四边形;q:

四边形ABCD的对边平行;原命题符号化为:

p↔q。

⑺ p:

a是偶数;q:

b是偶数;r:

a+b是偶数;原命题符号化为:

p∧q→r

4.将下列命题符号化,并指出各复合命题的真值。

⑴ 如果3+3=6,则雪是白的。

⑵如果3+3≠6,则雪是白的。

⑶如果3+3=6,则雪不是白的。

⑷如果3+3≠6,则雪不是白的。

是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。

⑹2+3=5的充要条件是

是无理数。

(假定是10进制)

⑺若两圆O1,O2的面积相等,则它们的半径相等,反之亦然。

⑻当王小红心情愉快时,她就唱歌,反之,当她唱歌时,一定心情愉快。

解:

设p:

3+3=6。

q:

雪是白的。

⑴ 原命题符号化为:

p→q;该命题是真命题。

⑵ 原命题符号化为:

p→q;该命题是真命题。

⑶ 原命题符号化为:

p→q;该命题是假命题。

⑷ 原命题符号化为:

p→q;该命题是真命题。

⑸ p:

是无理数;q:

加拿大位于亚洲;原命题符号化为:

p↔q;该命题是假命题。

⑹ p:

2+3=5;q:

是无理数;原命题符号化为:

p↔q;该命题是真命题。

⑺ p:

两圆O1,O2的面积相等;q:

两圆O1,O2的半径相等;原命题符号化为:

p↔q;该命题是真命题。

⑻ p:

王小红心情愉快;q:

王小红唱歌;原命题符号化为:

p↔q;该命题是真命题。

 

习题

1.判断下列公式哪些是合式公式,哪些不是合式公式。

⑴(p∧q→r)

⑵(p∧(q→r)

⑶((p→q)↔(r∨s))

⑷(p∧q→rs)

⑸((p→(q→r))→((q→p)↔q∨r))。

解:

⑴⑶⑸是合式公式;⑵⑷不是合式公式。

2.设p:

天下雪。

q:

我将进城。

r:

我有时间。

将下列命题符号化。

⑴天没有下雪,我也没有进城。

⑵如果我有时间,我将进城。

⑶如果天不下雪而我又有时间的话,我将进城。

解:

⑴p∧q

⑵r→q

⑶p∧r→q

3.设p、q、r所表示的命题与上题相同,试把下列公式译成自然语言。

⑴r∧q

⑵¬(r∨q)

⑶q↔(r∧¬p)

⑷(q→r)∧(r→q)

解:

⑴我有时间并且我将进城。

⑵我没有时间并且我也没有进城。

⑶我进城,当且仅当我有时间并且天不下雪。

⑷如果我有时间,那么我将进城,反之亦然。

4.试把原子命题表示为p、q、r等,将下列命题符号化。

⑴或者你没有给我写信,或者它在途中丢失了。

⑵如果张三和李四都不去,他就去。

⑶我们不能既划船又跑步。

⑷如果你来了,那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。

解:

⑴p:

你给我写信;q:

信在途中丢失;原命题符号化为:

(p∧q)∨(p∧q)。

⑵ p:

张三去;q:

李四去;r:

他去;原命题符号化为:

p∧q→r。

⑶ p:

我们划船;q:

我们跑步;原命题符号化为:

(p∧q)。

⑷ p:

你来了;q:

他唱歌;r:

你伴奏;原命题符号化为:

p→(q↔r)。

5.用符号形式写出下列命题。

⑴假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。

⑵我今天进城,除非下雨。

⑶仅当你走,我将留下。

解:

⑴ p:

上午下雨;q:

我去看电影;r:

我在家读书;s:

我在家看报;原命题符号化为:

(p→q)∧(p→r∨s)。

⑵ p:

我今天进城;q:

天下雨;原命题符号化为:

q→p。

⑶ p:

你走;q:

我留下;原命题符号化为:

q→p。

 

习题

1.设A、B、C是任意命题公式,证明:

⑴AA

⑵若AB,则BA

⑶若AB,BC,则AC

证明:

⑴由双条件的定义可知A↔A是一个永真式,由等价式的定义可知AA成立。

⑵因为AB,由等价的定义可知A↔B是一个永真式,再由双条件的定义可知B↔A也是一个永真式,所以,BA成立。

⑶对A、B、C的任一赋值,因为AB,则A↔B是永真式,即A与B具有相同的真值,又因为BC,则B↔C是永真式,即B与C也具有相同的真值,所以A与C也具有相同的真值;即AC成立。

2.设A、B、C是任意命题公式,

⑴若A∨CB∨C,AB一定成立吗?

⑵若A∧CB∧C,AB一定成立吗?

⑶若¬A¬B,AB一定成立吗?

解:

⑴不一定有AB。

若A为真,B为假,C为真,则A∨CB∨C成立,但AB不成立。

⑵不一定有AB。

若A为真,B为假,C为假,则A∧CB∧C成立,但AB不成立。

⑶一定有AB。

3.构造下列命题公式的真值表,并求成真赋值和成假赋值。

⑴q∧(p→q)→p

⑵p→(q∨r)

⑶(p∨q)↔(q∨p)

⑷(p∧q)∨(r∧q)→r

⑸((¬p→(p∧¬q))→r)∨(q∧¬r)

解:

⑴ q∧(p→q)→p的真值表如表所示。

p

q

p→q

q∧(p→q)

q∧(p→q)→p

0

0

1

0

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0

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0

0

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1

1

使得公式q∧(p→q)→p成真的赋值是:

00,10,11,使得公式q∧(p→q)→p成假的赋值是:

01。

⑵ p→(q∨r)的真值表如表所示。

p

q

r

q∨r

p→(q∨r)

0

0

0

0

1

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0

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0

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1

1

1

1

1

使得公式p→(q∨r)成真的赋值是:

000,001,010,011,101,110,111,使得公式p→(q∨r)成假的赋值是:

100。

⑶ (p∨q)↔(q∨p)的真值表如表所示。

p

q

p∨q

q∨p

(p∨q)↔(q∨p)

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

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1

1

1

1

1

1

1

所有的赋值均使得公式(p∨q)↔(q∨p)成真,即(p∨q)↔(q∨p)是一个永真式。

⑷ (p∧q)∨(r∧q)→r的真值表如表所示。

p

q

r

q

p∧q

r∧q

(p∧q)∨(r∧q)

(p∧q)∨(r∧q)→r

0

0

0

1

0

0

0

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0

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0

0

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0

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0

0

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1

1

使得公式(p∧q)∨(r∧q)→r成真的赋值是:

000,001,010,011,101,110,111,使得公式(p∧q)∨(r∧q)→r成假的赋值是:

100。

⑸((p→(p∧q))→r)∨(q∧r)的真值表如表所示。

p

q

r

p∧q

p→(p∧q)

(p→(p∧q))→r

q∧r

((p→(p∧q))→r)∨(q∧r)

0

0

0

0

0

1

0

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0

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1

1

0

1

使得公式((p→(p∧q))→r)∨(q∧r)成真的赋值是:

000,001,010,011,101,110,111,使得公式((p→(p∧q))→r)∨(q∧r)成假的赋值是:

100。

4.用真值表证明下列等价式:

⑴(p→q)p∧q

证明:

证明(p→q)p∧q的真值表如表所示。

p

q

p→q

(p→q)

q

p∧q

0

0

1

0

1

0

0

1

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0

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

由上表可见:

(p→q)和p∧q的真值表完全相同,所以(p→q)p∧q。

⑵p→qq→p

证明:

证明p→qq→p的真值表如表所示。

p

q

p→q

p

q

q→p

0

0

1

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0

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0

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

由上表可见:

p→q和q→p的真值表完全相同,所以p→qq→p。

⑶(p↔q)p↔q

证明:

证明(p↔q)和p↔q的真值表如表所示。

p

q

p↔q

(p↔q)

q

p↔q

0

0

1

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0

0

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0

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0

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1

1

1

0

0

0

由上表可见:

(p↔q)和p↔q的真值表完全相同,所以(p↔q)p↔q。

⑷p→(q→r)(p∧q)→r

证明:

证明p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表如表所示。

p

q

r

q→r

p→(q→r)

p∧q

(p∧q)→r

0

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0

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0

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1

1

1

1

由上表可见:

p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表完全相同,所以p→(q→r)(p∧q)→r。

⑸p→(q→p)p→(p→q)

证明:

证明p→(q→p)和p→(p→q)的真值表如表所示。

p

q

q→p

p→(q→p)

p

q

p→q

p→(p→q)

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0

0

1

由上表可见:

p→(q→p)和p→(p→q)的真值表完全相同,且都是永真式,所以p→(q→p)p→(p→q)。

⑹(p↔q)(p∨q)∧(p∧q)

证明:

证明(p↔q)和(p∨q)∧(p∧q)的真值表如表所示。

p

q

p↔q

(p↔q)

p∨q

p∧q

(p∧q)

(p∨q)∧(p∧q)

0

0

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1

1

0

0

由上表可见:

(p↔q)和(p∨q)∧(p∧q)的真值表完全相同,所以(p↔q)(p∨q)∧(p∧q)

⑺(p↔q)(p∧q)∨(p∧q)

证明:

证明(p↔q)和(p∧q)∨(p∧q)的真值表如表所示。

p

q

p↔q

(p↔q)

p∧q

p∧q

(p∧q)∨(p∧q)

0

0

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0

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0

0

0

由上表可见:

(p↔q)和(p∧q)∨(p∧q)的真值表完全相同,所以(p↔q)(p∧q)∨(p∧q)。

⑻p→(q∨r)(p∧q)→r

证明:

证明p→(q∨r)和(p∧q)→r的真值表如表所示。

p

q

r

q∨r

p→(q∨r)

q

p∧q

(p∧q)→r

0

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1

1

0

0

1

由上表可见:

p→(q∨r)和(p∧q)→r的真值表完全相同,所以p→(q∨r)(p∧q)→r。

5.用等价演算证明习题4中的等价式。

⑴(p→q)

(p∨q)(条件等价式)

p∧q(德·摩根律)

⑵q→p

q∨p(条件等价式)

q∨p(双重否定律)

p∨q(交换律)

p→q(条件等价式)

⑶(p↔q)

((p→q)∧(q→p))(双条件等价式)

((p∨q)∧(q∨p))(条件等价式)

(p∧q)∨(q∧p)(德·摩根律)

((p∧q)∨q)∧((p∧q)∨p)(分配律)

(p∨q)∧(q∨p)(分配律)

(p∨q)∧(q∨p)(交换律)

(p→q)∧(q→p)(条件等价式)

p↔q(双条件等价式)

⑷p→(q→r)

p∨(q∨r)(条件等价式)

(p∨q)∨r(结合律)

(p∧q)∨r(德·摩根律)

(p∧q)→r(条件等价式)

⑸p→(q→p)

p∨(q∨p)(条件等价式)

T

p→(p→q)

p∨(p∨q)(条件等价式)

T

所以p→(q→p)p→(p→q)

⑹(p↔q)

((p∧q)∨(p∧q))(例

(p∨q)∧(p∨q)(德·摩根律)

(p∨q)∧(p∧q)(德·摩根律)

所以(p↔q)(p∨q)∧(p∧q)

⑺(p↔q)

((p→q)∧(q→p))(双条件等价式)

((p∨q)∧(q∨p))(条件等价式)

(p∧q)∨(p∧q)(德·摩根律)

⑻p→(q∨r)

p∨(q∨r)(条件等价式)

(p∨q)∨r(结合律)

(p∧q)∨r(德·摩根律)

(p∧q)→r(条件等价式)

6.试用真值表证明下列命题定律。

⑴结合律:

(p∨q)∨rp∨(q∨r),(p∧q)∧rp∧(q∧r)

证明:

证明结合律的真值表如表和表所示。

p

q

r

p∨q

(p∨q)∨r

q∨r

p∨(q∨r)

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0

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1

1

1

1

p

q

r

p∧q

(p∧q)∧r

q∧r

p∧(q∧r)

0

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0

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0

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0

0

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1

1

1

1

1

 

由真值表可知结合律成立。

⑵分配律:

p∧(q∨r)(p∧q)∨(p∧r),

p∨(q∧r)(p∨q)∧(p∨r)

证明:

证明合取对析取的分配律的真值表如表所示,析取对合取的的分配律的真值表如表所示。

 

p

q

r

q∨r

p∧(q∨r)

p∧q

p∧r

(p∧q)∨(p∧r)

0

0

0

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0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

p

q

r

q∧r

p∨(q∧r)

p∨q

p∨r

(p∨q)∧(p∨r)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

由真值表可知分配律成立。

⑶假言易位式:

p→qq→p

证明:

证明假言易位式的真值表如表所示。

p

q

p→q

q

p

q→p

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

由真值表可知假言易位律成立。

⑷双条件否定等价式:

p↔qp↔q

证明:

证明双条件否定的真值表如表所示。

 

p

q

p↔q

p

q

p↔q

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

由真值表可知双条件否定等价式成立。

 

习题

1.用真值表或等价演算判断下列命题公式的类型。

⑴(p∨q)→q

(p∨q)∨q(条件等价式)

(p∧q)∨q(德·摩根律)

q(可满足式)(吸收律)

⑵(p→q)∧q

(p∨q)∧q(条件等价式)

(p∧q)∧q(德·摩根律)

F(永假式)(结合律、矛盾律)

⑶(p→q)∧p→q

(p∨q)∧p→q(条件等价式)

(p∧p)∨(q∧p)→q(分配律)

(q∧p)→q(同一律、矛盾律)

(q∧p)∨q(条件等价式)

(q∨p)∨q(德·摩根律)

T(永真式)(零律、排中律)

⑷(p→q)∧q

(p∨q)∧q(条件等价式)

q(可满足式)(吸收律)

⑸(p→q)→(q→p)

(p→q)→(p→q)(假言易位式)

T(永真式)

⑹((p→q)∧(q→r))→(p→r)

((p∨q)∧(q∨r))∨(p∨r)(条件等价式)

(p∧q)∨(q∧r)∨(p∨r)(德·摩根律)

(p∧q)∨((p∨q∨r)∧(p∨r∨r))(分配律)

(p∧q)∨(p∨q∨r)(同一律、排中律、零律)

(p∨q∨r∨p)∧(p∨q∨r∨q)(分配律)

T(永真式)

⑺p→(p→q)

p∨(p∨q)(条件等价式)

T(永真式)

⑻p→(p∨q∨r)

p∨(p∨q∨r)(条件等价式)

T(永真式)

2.用真值表证明下列命题公式是重言式。

⑴(p∧(p→q))→q

(p∧(p→q))→q的真值表如表所示。

由表可以看出(p∧(p→q))→q是重言式。

p

q

p→q

p∧(p→q)

(p∧(p→q))→q

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

⑵(q∧(p→q))→p

(q∧(p→q))→p的真值表如表所示。

由表可以看出(q∧(p→q))→p是重言式。

p

q

p→q

q

q∧(p→q)

p

(q∧(p→q))→p

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

⑶(p∧(p∨q))→q

(p∧(p∨q))→q的真值表如表所示。

由表可以看出(p∧(p∨q))→q是重言式。

p

q

p∨q

p

p∧(p∨q)

(p∧(p∨q))→q

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

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1

0

0

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