离散数学第1章习题解答.docx

1、离散数学第1章习题解答习题1. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。 中国有四大发明。 计算机有空吗? 不存在最大素数。 21+35。 老王是山东人或河北人。 2与3都是偶数。 小李在宿舍里。 这朵玫瑰花多美丽呀! 请勿随地吐痰! 圆的面积等于半径的平方乘以 。 只有6是偶数，3才能是2的倍数。 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。如果天下大雨，他就乘班车上班。解：是命题，其中是真命题，是假命题，的真值目前无法确定；不是命题。2. 将下列复合命题分成若干原子命题。 李辛与李末是兄弟。 因为天气冷，所以我穿了羽绒服。 天正在下雨或湿度很高。 刘英与李进上山。 王强与刘威

2、都学过法语。 如果你不看电影，那么我也不看电影。我既不看电视也不外出，我在睡觉。 除非天下大雨，否则他不乘班车上班。解：本命题为原子命题；p：天气冷；q：我穿羽绒服；p：天在下雨；q：湿度很高；p：刘英上山；q：李进上山；p：王强学过法语；q：刘威学过法语；p：你看电影；q：我看电影；p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；p：天下大雨；q：他乘班车上班。3. 将下列命题符号化。 他一面吃饭，一面听音乐。 3是素数或2是素数。 若地球上没有树木，则人类不能生存。 8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。 停机的原因在于语法错误或程序错误。 四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。 如果a和

3、b是偶数，则a+b是偶数。解：p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：pqp：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：pqp：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为： p qp：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：pqp：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：qrpp：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：pq。p：a是偶数；q：b是偶数；r：a+b是偶数；原命题符号化为：pqr4. 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。如果3+3=6，则雪是白的。 如果3+36，则雪是白的。 如果3+3=6，则雪不是白的。 如果3+36，则

4、雪不是白的。是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。 2+3=5的充要条件是是无理数。(假定是10进制) 若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。 当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。解：设p：336。q：雪是白的。原命题符号化为：pq；该命题是真命题。原命题符号化为： pq；该命题是真命题。原命题符号化为：p q；该命题是假命题。原命题符号化为： p q；该命题是真命题。p：是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：pq；该命题是假命题。p：2+35；q：是无理数；原命题符号化为：pq；该命题是真命题。p：两圆O1,O2的面积相等；q：两圆O1,O2的半

5、径相等；原命题符号化为：pq；该命题是真命题。p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：pq；该命题是真命题。习题1.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。 (pqr) (p(qr) ( pq)(rs) (pqrs) (p(qr)(qp)qr)。解：是合式公式；不是合式公式。2.设 p：天下雪。q：我将进城。r：我有时间。将下列命题符号化。 天没有下雪，我也没有进城。 如果我有时间，我将进城。 如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。解： p q rq prq 3.设p、q、r所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。 rq (rq) q (r p) (qr)(rq)

6、 解： 我有时间并且我将进城。 我没有时间并且我也没有进城。 我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。 如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。4. 试把原子命题表示为p、q、r等，将下列命题符号化。 或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。 如果张三和李四都不去，他就去。 我们不能既划船又跑步。 如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。解： p：你给我写信；q：信在途中丢失；原命题符号化为：( p q)(pq)。p：张三去；q：李四去；r：他去；原命题符号化为： p qr。p：我们划船；q：我们跑步；原命题符号化为： （pq）。p：你来了；q：他唱歌；r：你伴奏；原命题符号化为：p（qr）

7、。5. 用符号形式写出下列命题。假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。我今天进城，除非下雨。仅当你走，我将留下。解：p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家看报；原命题符号化为：（ pq）（prs）。p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为： qp。p：你走；q：我留下；原命题符号化为：qp。习题1.设A、B、C是任意命题公式，证明：A A若A B，则B A若A B，B C，则A C证明：由双条件的定义可知AA是一个永真式，由等价式的定义可知A A成立。因为A B，由等价的定义可知AB是一个永真式，再由双条件的定义可知BA也是一个永真式，所以，B A成立。对A、

8、B、C的任一赋值，因为A B，则AB是永真式， 即A与B具有相同的真值，又因为B C，则BC是永真式， 即B与C也具有相同的真值，所以A与C也具有相同的真值；即A C成立。2.设A、B、C是任意命题公式，若AC BC, A B一定成立吗？若AC BC, A B一定成立吗？若A B，A B一定成立吗？解：不一定有A B。若A为真，B为假，C为真，则AC BC成立，但A B不成立。不一定有A B。若A为真，B为假，C为假，则AC BC成立，但A B不成立。一定有A B。3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。 q(pq)p p(qr) (pq)(qp) (p q)(rq)r (p(p

9、q)r)(qr)解：q(pq)p的真值表如表所示。表pqpqq(pq)q(pq)p00101011101000111111使得公式q(pq)p成真的赋值是：00，10，11，使得公式q(pq)p成假的赋值是：01。p(qr) 的真值表如表所示。表pqrqrp(qr)0000100111010110111110000101111101111111 使得公式p(qr)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式p(qr)成假的赋值是：100。(pq)(qp) 的真值表如表所示。表pqpqqp(pq)(qp)00001011111011111111所有的赋值均使得公

10、式(pq)(qp)成真，即(pq)(qp)是一个永真式。(p q)(rq)r的真值表如表所示。表pqr qp qrq(p q)(rq)(p q)(rq)r0001000100110001010000010110011110011010101110111100000111100111使得公式(p q)(rq)r成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式(p q)(rq)r成假的赋值是：100。( p(p q)r)(q r) 的真值表如表所示。表pqrp q p(p q)( p(p q)rq r( p(p q)r)(q r)0000010100100101010

11、001110110010110011000101111011100101111101101使得公式( p(p q)r)(q r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式( p(p q)r)(q r)成假的赋值是：100。 4.用真值表证明下列等价式： (pq) p q证明：证明 (pq) p q的真值表如表所示。表pqpq (pq) qp q001010011000100111111000由上表可见： (pq)和p q的真值表完全相同，所以 (pq) p q。pq q p 证明：证明pq q p的真值表如表所示。表pqpq p q q p001111011

12、101100010111001由上表可见：pq和 q p的真值表完全相同，所以pq q p。 (pq) p q证明：证明 (pq)和p q的真值表如表所示。表pqpq (pq) qp q001010010101100111111000由上表可见： (pq)和p q的真值表完全相同，所以 (pq) p q。p(qr) (pq)r证明：证明p(qr)和(pq)r的真值表如表所示。表pqrqrp(qr)pq(pq)r00011010011101010010101111011001101101110111000101111111由上表可见：p(qr)和(pq)r的真值表完全相同，所以p(qr) (pq

13、)r。p(qp) p(p q)证明：证明p(qp)和 p(p q)的真值表如表所示。表pqqpp(qp) p qp q p(p q)00111111010110111011011111110001由上表可见：p(qp)和 p(p q)的真值表完全相同，且都是永真式，所以p(qp) p(p q)。 (pq) (pq) (pq)证明：证明 (pq)和(pq) (pq)的真值表如表所示。表pqpq (pq)pqpq (pq)(pq) (pq)00100010010110111001101111101100由上表可见： (pq)和(pq) (pq)的真值表完全相同，所以 (pq) (pq) (pq)

14、(pq) (p q)( pq) 证明：证明 (pq)和(p q)( pq)的真值表如表所示。表pqpq (pq)p q pq(p q)( pq)0010000010101110011011110000由上表可见： (pq)和(p q)( pq)的真值表完全相同，所以 (pq) (p q)( pq)。p(qr) (p q)r证明：证明p(qr)和(p q)r的真值表如表所示。表pqrqrp(qr) qp q(p q)r0000110100111101010110010111100110000110101111111101100111111001由上表可见：p(qr)和(p q)r的真值表完全相同

15、，所以p(qr) (p q)r。5. 用等价演算证明习题4中的等价式。 (pq) ( pq) (条件等价式) p q (德摩根律) q p q p (条件等价式) q p (双重否定律) pq (交换律) pq (条件等价式) (pq) (pq)(qp) (双条件等价式) ( pq)( qp) (条件等价式) (p q)(q p) (德摩根律) (p q)q)(p q) p) (分配律) (pq)( q p) (分配律) ( p q)(qp) (交换律) (p q)( qp) (条件等价式) p q (双条件等价式)p(qr) p( qr) (条件等价式) ( p q)r (结合律) (pq)

16、r (德摩根律) (pq)r (条件等价式)p(qp) p( qp) (条件等价式) T p(p q) p( p q) (条件等价式) T所以p(qp) p(p q) (pq) (pq)( p q) (例 (pq)( p q) (德摩根律) (pq) (pq) (德摩根律)所以 (pq) (pq) (pq) (pq) (pq)(qp) (双条件等价式) ( pq)( qp) (条件等价式) (p q)( pq) (德摩根律)p(qr) p(qr) (条件等价式) ( pq)r (结合律) (p q)r (德摩根律) (p q)r (条件等价式)6.试用真值表证明下列命题定律。结合律：(pq)r

17、 p(qr)，(pq)r p(qr)证明：证明结合律的真值表如表和表所示。表pqrpq(pq)rqrp(qr)00000000010111010111101111111001101101111111011111111111表pqrpq(pq)rqrp(qr)00000000010000010000001100101000000101000011010001111111由真值表可知结合律成立。分配律：p(qr) (pq)(pr)，p(qr) (pq)(pr)证明：证明合取对析取的分配律的真值表如表所示，析取对合取的的分配律的真值表如表所示。表pqrqrp(qr)pqpr(pq)(pr)00000

18、00000110000010100000111000010000000101110111101110111111111表pqrqrp(qr)pqpr(pq)(pr)0000000000100010010001000111111110001111101011111100111111111111由真值表可知分配律成立。假言易位式：pq q p证明：证明假言易位式的真值表如表所示。表pqpq q p q p001111011011100100111001由真值表可知假言易位律成立。双条件否定等价式：pq p q证明：证明双条件否定的真值表如表所示。表pqpq p q p q0011110101001

19、00010111001由真值表可知双条件否定等价式成立。习题 1.用真值表或等价演算判断下列命题公式的类型。(p q)q (p q)q （条件等价式） ( pq)q （德摩根律） q （可满足式） （吸收律） (pq)q ( pq)q （条件等价式） (p q)q （德摩根律） F（永假式） （结合律、矛盾律）(pq)pq ( pq)pq （条件等价式） ( pp)(qp)q （分配律） (qp)q （同一律、矛盾律） (qp)q （条件等价式） ( q p)q （德摩根律） T(永真式) （零律、排中律）(pq)q ( pq)q （条件等价式） q（可满足式） （吸收律）(pq)( q p)

20、 (pq)(pq) （假言易位式） T(永真式)(pq)(qr)(pr) ( pq)( qr)( pr) （条件等价式） (p q)(q r)( pr) （德摩根律） (p q)( pqr)( p rr) （分配律） (p q)( pqr) （同一律、排中律、零律） ( pqrp)( pqr q) （分配律） T(永真式) p(pq) p( pq) （条件等价式） T(永真式)p(pqr) p(pqr) （条件等价式） T(永真式)2.用真值表证明下列命题公式是重言式。(p(pq)q(p(pq)q的真值表如表所示。由表可以看出(p(pq)q是重言式。表pqpqp(pq)(p(pq)q00101011011000111111( q(pq) p( q(pq) p的真值表如表所示。由表可以看出( q(pq) p是重言式。表pqpq q q(pq) p( q(pq) p0011111011001110010011110001( p(pq)q( p(pq)q的真值表如表所示。由表可以看出( p(pq)q是重言式。表pqpq p p(pq)( p(pq)q000101011111101001111001