立体几何第二讲平行和垂直教师.docx

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立体几何第二讲平行和垂直教师

立体几何

（2）直线、平面平行和垂直

知识点1　直线、平面平行的判定及其性质

1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．

2．直线和平面平行的判定

（1）定义：

直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；

（2）判定定理：

a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；

（3）其他判定方法：

α∥β；a⊂α⇒a∥β.

3．直线和平面平行的性质定理：

a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.

4．两个平面平行的判定

（1）定义：

两个平面没有公共点，称这两个平面平行；

（2）判定定理：

a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；

（3）推论：

a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.

5．两个平面平行的性质定理

（1）α∥β，a⊂α⇒a∥β；

（2）α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.

6．与垂直相关的平行的判定

（1）a⊥α，b⊥α⇒a∥b；

（2）a⊥α，a⊥β⇒α∥β.

考向一　直线与平面平行的判定与性质

【例1】►（2011·天津改编）如图，

在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．

求证：

PB∥平面ACM.

[审题视点]连接MO，证明PB∥MO即可．

证明　连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.

【训练1】如图，若

PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：

AF∥平面PCE.

证明　取PC的中点M，连接ME、MF，

则FM∥CD且FM＝

CD.

又∵AE∥CD且AE＝

CD，

∴FM綉AE，即四边形AFME是平行四边形．

∴AF∥ME，又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，

∴AF∥平面PCE.

考向二　平面与平面平行的判定与性质

【例2】►如图，

在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．

求证：

平面MNP∥平面A1C1B；

[审题视点]证明MN∥A1B，

MP∥C1B.

证明　连接D1C，则MN为△DD1C的中位线，

∴MN∥D1C.

又∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B.同理，MP∥C1B.

而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，A1B，C1B在平面A1C1B内．∴平面MNP∥平面A1C1B.

证明面面平行的方法有：

（1）面面平行的定义；

（2）面面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

（4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

【训练2】如图，

在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

证明　

（1）∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，

∴B，C，H，G四点共面．

（2）∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，

∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.

∵A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，

∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.

∴A1E∥平面BCHG.

∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.

考向三　线面平行中的探索问题

【例3】►如图所示，

在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？

若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

[审题视点]取AB、BB1的中点分别为E、F，证明平面DEF∥平面AB1C1即可．

解　存在点E，且E为AB的中点．

下面给出证明：

如图，取BB1的中点F，连接DF，

则DF∥B1C1.

∵AB的中点为E，连接EF，

则EF∥AB1.

B1C1与AB1是相交直线，

∴平面DEF∥平面AB1C1.

而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.

【训练3-1】如图，

在四棱锥PABCD中，底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？

若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

解　在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.

证明如下：

如图，取PD的中点E，连接NE，EC，AE，

因为N，E分别为PA，PD的中点，所以NE綉

AD.

又在平行四边形ABCD中，CM綉

AD.所以NE綉MC，即四边形MCEN是平行四边形．所以NM綉EC.

又EC⊂平面ACE，NM⊄平面ACE，所以MN∥平面ACE，

即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.　　

【训练3-2】（2010·安徽）

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．

（1）求证：

FH∥平面EDB；

（2）求证：

AC⊥平面EDB；

（3）求四面体BDEF的体积．

[尝试解答]　

（1）证明　设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连EG，GH，由于H为BC的中点，故GH綉

AB.

又EF綉

AB，∴EF綉GH.

∴四边形EFHG为平行四边形．

∴EG∥FH，而EG⊂平面EDB，∴FH∥平面EDB.

（2）证明　由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC.

又EF∥AB，∴EF⊥BC.

而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH.

∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，

∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.

∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.

又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.

（3）解　∵EF⊥FB，∠BFC＝90°，∴BF⊥平面CDEF.

∴BF为四面体BDEF的高．

又BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝

.

VB－DEF＝

×

×1×

×

＝

.

知识点2　直线、平面垂直的判定及其性质

1．直线与平面垂直

（1）判定直线和平面垂直的方法

①定义法．

②利用判定定理：

如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．

③推论：

如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．

（2）直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．

②垂直于同一个平面的两条直线平行．

③垂直于同一直线的两平面平行．

2．斜线和平面所成的角

斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．

3．平面与平面垂直

（1）平面与平面垂直的判定方法

①定义法

②利用判定定理：

如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．

（2）平面与平面垂直的性质

如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

三类证法

（1）证明线线垂直的方法

①定义：

两条直线所成的角为90°；

②平面几何中证明线线垂直的方法；

③线面垂直的性质：

a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；

④线面垂直的性质：

a⊥α，b∥α⇒a⊥b.

（2）证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义：

a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；

②判定定理1：

⇒l⊥α；

③判定定理2：

a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

④面面平行的性质：

α∥β，a⊥α⇒a⊥β；

⑤面面垂直的性质：

α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

（3）证明面面垂直的方法

①利用定义：

两个平面相交，所成的二面角是直二面角；

②判定定理：

a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.

考向一　直线与平面垂直的判定与性质

【例1】►（2011·天津改编）如图，

在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD.

证明：

AD⊥平面PAC.

[审题视点]只需证AD⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可．

证明　∵∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1.

∴∠DAC＝90°，即AD⊥AC，

又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

∴PO⊥AD，而AC∩PO＝O，

∴AD⊥平面PAC.

（1）证明直线和平面垂直的常用方法有：

①判定定理；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③α∥β，a⊥α⇒a⊥β；④面面垂直的性质．

（2）线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．

【训练1】如图，

已知BD⊥平面ABC，

MC綉

BD，AC＝BC，N是棱AB的中点．

求证：

CN⊥AD.

证明　∵BD⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴BD⊥CN.

又∵AC＝BC，N是AB的中点．

∴CN⊥AB.

又∵BD∩AB＝B，

∴CN⊥平面ABD.

而AD⊂平面ABD，

∴CN⊥AD.

考向二　平面与平面垂直的判定与性质

【例2】►如图

所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4

.M是PC上的一点，证明：

平面MBD⊥平面PAD.

[审题视点]证明BD⊥平面PAD，根据已知平面PAD⊥平面ABCD，只要证明BD⊥AD即可．

证明　在△ABD中，由于AD＝4，BD＝8，AB＝4

，

所以AD2＋BD2＝AB2.故AD⊥BD.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAD.

又BD⊂平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD.

【训练2】如图所示，

在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．

证明：

平面ABM⊥平面A1B1M.

证明　∵A1B1⊥平面B1C1CB，BM⊂平面B1C1CB，∴A1B1⊥BM，

由已知易得B1M＝

，

又BM＝

＝

，B1B＝2，

∴B1M2＋BM2＝B1B2，∴B1M⊥BM.

又∵A1B1∩B1M＝B1，∴BM⊥平面A1B1M.

而BM⊂平面ABM，∴平面ABM⊥平面A1B1M.

考向三　平行与垂直关系的综合应用

【例3】►如图，

在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：

（1）直线EF∥平面ACD；

（2）平面EFC⊥平面BCD.

[审题视点]第

（1）问需证明EF∥AD；第

（2）问需证明BD⊥平面EFC.

证明　

（1）在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，

所以EF∥AD.

又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，

所以直线EF∥平面ACD.

（2）在△ABD中，

因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.

在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点，

所以CF⊥BD.

因为EF⊂平面EFC，CF⊂平面EFC，

EF与CF交于点F，所以BD⊥平面EFC.

又因为BD⊂平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.

【训练3】如图，

正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝

，CE＝EF＝1.

（1）求证：

AF∥平面BDE；

（2）求证：

CF⊥平面BDE.

证明　

（1）设AC与BD交于点G.

因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝

AC＝1.

所以四边形AGEF为平行四边形，

所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，

所以AF∥平面BDE.

（2）如图，连接FG.

因为EF∥CG，EF＝CG＝1，

且CE＝1，

所以四边形CEFG为菱形．

所以CF⊥EG.

因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.

又因为平面ACEF⊥平面ABCD，

且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，

所以BD⊥平面ACEF.

所以CF⊥BD.

又BD∩EG＝G.

所以CF⊥平面BDE.

考向四　线面角

【例4】►（2012·无锡模拟）

如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．

（1）求证：

平面AEC⊥平面PDB；

（2）当PD＝

AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

[审题视点]

（1）转化为证明AC⊥平面PDB；

（2）AE与平面PDB所成的角即为AE与它在平面PDB上的射影所成的角．

（1）证明　

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AC.又PD∩BD＝D，

∴AC⊥平面PDB.又AC⊂平面AEC，

∴平面AEC⊥平面PDB.

（2）解　设AC∩BD＝O，连接OE.

由

（1）知，AC⊥平面PDB于点O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角．

∵点O、E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，且OE＝

PD.

又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，∴OE⊥AO.

在Rt△AOE中，OE＝

PD＝

AB＝AO，∴∠AEO＝45°.

即AE与平面PDB所成的角为45°.

【训练4】（2012·丽水质检）

如图，已知DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．

（1）证明：

PQ∥平面ACD；

（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值．

（1）证明　因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.

又DC∥EB，因此PQ∥DC，PQ⊄平面ACD，DC⊂平面ACD，从而PQ∥平面ACD.

（2）解　如图，连接CQ，DP.

因为Q为AB的中点，且AC＝BC，

所以CQ⊥AB.

因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，

所以EB⊥平面ABC.

因此CQ⊥EB，又AB∩EB＝B，

故CQ⊥平面ABE.

由

（1）有PQ∥DC，又PQ＝

EB＝DC，

所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，

因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，

在Rt△DPA中，AD＝

，DP＝1，sin∠DAP＝

.

因此AD和平面ABE所成角的正弦值为

.　　

基础练习：

1．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是（　　）．

A．平行B．相交

C．异面D．平行或异面

答案　D

2．（2012·银川质检）在空间中，下列命题正确的是（　　）．

A．若a∥α，b∥a，则b∥α

B．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α

C．若α∥β，b∥α，则b∥β

D．若α∥β，a⊂α，则a∥β

解析　若a∥α，b∥a，则b∥α或b⊂α，故A错误；由面面平行的判定定理知，B错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或b⊂β，故C错误．

答案　D

3．（2012·温州模拟）已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）．

A．m∥n，m⊥α⇒n⊥α

B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n

C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α

D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β

解析　选项A中，如图①，n∥m，m⊥α⇒n⊥α一定成立，A正确；选项B中，如图②，α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n互为异面直线，∴B不正确；选项C中，如图③，m⊥α，m⊥n⇒n⊂α，∴C不正确；选项D中，如图④，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α与β相交，∴D不正确.

答案　A

4．（人教A版教材习题改编）下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是（　　）．

A．l与平面α内的两条直线垂直

B．l与平面α内无数条直线垂直

C．l与平面α内的某一条直线垂直

D．l与平面α内任意一条直线垂直

解析　由直线与平面垂直的定义，可知D正确．

答案　D

5．（2012·安庆月考）在空间中，下列命题正确的是（　　）．

A．平行直线的平行投影重合

B．平行于同一直线的两个平面平行

C．垂直于同一平面的两个平面平行

D．垂直于同一平面的两条直线平行

解析　选项A，平行直线的平行投影可以依然是两条平行直线；选项B，两个相交平面的交线与某一条直线平行，则这条直线平行于这两个平面；选项C，两个相交平面可以同时垂直于同一个平面；选项D正确．

答案　D

6．（2012·兰州模拟）用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；

③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；

④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.

其中真命题的序号是（　　）．

A．①②B．②③C．①④D．③④

解析　由公理4知①是真命题．在空间内a⊥b，b⊥c，直线a、c的关系不确定，故②是假命题．

由a∥γ，b∥γ，不能判定a、b的关系，故③是假命题．④是直线与平面垂直的性质定理．

答案　C

7．（2011·聊城模拟）设a、b、c表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（　　）．

A.

⇒c⊥βB.

⇒b⊥c

C.

⇒c∥αD.

⇒b⊥α

解析　由a∥α，b⊥α可得b与α的位置关系有：

b∥α，b⊂α，b与α相交，所以D不正确．

答案　D

8．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

解析　由线面垂直知，图中直角三角形为4个．

答案　4　　

9．如图

所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝

AD.

（1）求证：

EF∥平面PAD；

（2）求证：

平面PAB⊥平面PCD.

[解答]　

（1）连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在△CPA中，EF∥PA，

又∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，

∴EF∥平面PAD.

（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，

又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥PA.又PA＝PD＝

AD，

∴△PAD是等腰直角三角形，

且∠APD＝

，即PA⊥PD.

又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD.

又∵PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.