届一轮复习数学理高考达标检测37椭圆命题3角度求方程研性质用关系.docx
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届一轮复习数学理高考达标检测37椭圆命题3角度求方程研性质用关系
高考达标检测(三十七)椭圆命题3角度
——求方程、研性质、用关系
一、选择题
1.如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,2)
C.(1,+∞)D.(0,+∞)
解析:
选A x2+ky2=2转化为椭圆的标准方程,得+=1,
∵x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,
∴>2,解得0<k<1.
∴实数k的取值范围是(0,1).
2.已知直线2kx-y+1=0与椭圆+=1恒有公共点,则实数m的取值范围为( )
A.(1,9]B.[1,+∞)
C.[1,9)∪(9,+∞)D.(9,+∞)
解析:
选C ∵直线2kx-y+1=0恒过定点P(0,1),
直线2kx-y+1=0与椭圆+=1恒有公共点,
即点P(0,1)在椭圆内或椭圆上,
∴+≤1,即m≥1,
又m≠9,∴1≤m<9或m>9.
3.椭圆+=1(a>b>0)的中心在原点,F1,F2分别为左、右焦点,A,B分别是椭圆的上顶点和右顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB,则此椭圆的离心率为( )
A.B.
C.D.
解析:
选D 如图所示,把x=-c代入椭圆方程+=1(a>b>0),
可得P,
又A(0,b),B(a,0),F2(c,0),
∴kAB=-,kPF2=-,
∵PF2∥AB,∴-=-,化简得b=2c.
∴4c2=b2=a2-c2,即a2=5c2,∴e==.
4.如图,椭圆与双曲线有公共焦点F1,F2,它们在第一象限的交点为A,且AF1⊥AF2,∠AF1F2=30°,则椭圆与双曲线的离心率之积为( )
A.2B.
C.D.
解析:
选A 设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2,焦距为2c,
由椭圆与双曲线的定义可知,
|AF1|+|AF2|=2a1,
|AF1|-|AF2|=2a2,
在Rt△AF1F2中,∠AF1F2=30°,
则|AF2|=|F1F2|=c,|AF1|=|F1F2|=c,
所以2a1=(+1)c,2a2=(-1)c,
即e1==,e2==,
所以e1·e2=×=2,
即椭圆与双曲线的离心率之积为2.
5.已知P(x0,y0)是椭圆C:
+y2=1上的一点,F1,F2是C的左、右焦点,若·<0,则x0的取值范围为( )
A.B.
C.D.
解析:
选A ∵F1(-,0),F2(,0),
∴·=(--x0,-y0)·(-x0,-y0)=x+y-3.
又∵+y=1,∴·=x+1--3<0,
解得-
6.中心为原点,一个焦点为F(0,5)的椭圆,截直线y=3x-2所得弦中点的横坐标为,则该椭圆方程为( )
A.+=1B.+=1
C.+=1D.+=1
解析:
选C 由已知得c=5,
设椭圆的方程为+=1,
联立得
消去y得(10a2-450)x2-12(a2-50)x+4(a2-50)-a2(a2-50)=0,
设直线y=3x-2与椭圆的交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
由根与系数关系得x1+x2=,
由题意知x1+x2=1,即=1,解得a2=75,
所以该椭圆方程为+=1.
二、填空题
7.若F1,F2分别是椭圆E:
x2+=1(0
解析:
设点A在点B上方,F1(-c,0),F2(c,0),其中c=,
则可设A(c,b2),B(x0,y0),
由|AF1|=3|F1B|,可得=3,
故即
代入椭圆方程可得+b2=1,解得b2=,
故椭圆方程为x2+=1.
答案:
x2+=1
8.已知过点M(1,-1)的直线l与椭圆+=1相交于A,B两点,若点M是AB的中点,则直线l的方程为____________________.
解析:
法一:
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由中点坐标公式可知:
x1+x2=2,y1+y2=-2,
则两式相减得:
+=0,
则=-=,
所以直线AB的斜率k==,
所以直线l的方程y+1=(x-1),
即3x-4y-7=0.
法二:
由点M是AB的中点,可设A(1+m,-1+n),
B(1-m,-1-n),
则+=1,①
+=1,②
两式相减得:
m-n=0,即=,
所以直线AB的斜率k==,
则直线l的方程y+1=(x-1),
即3x-4y-7=0.
答案:
3x-4y-7=0
9.椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P,Q两点,则△F1PQ内切圆面积的最大值是________.
解析:
因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍,且△F1PQ的周长是定值8,
所以只需求△F1PQ面积的最大值.
设直线l的方程为x=my+1,
联立消去x,得(3m2+4)y2+6my-9=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则y1+y2=-,y1y2=-,
于是S△F1PQ=|F1F2|·|y1-y2|==12.
设m2+1=t,则t≥1,
即S△F1PQ==12=12.
因为g(t)=9t+在[1,+∞)上为单调递增函数,
所以g(t)≥g
(1)=10,
所以S△F1PQ=≤3,所以内切圆半径r=≤,
因此△F1PQ内切圆面积的最大值是π.
答案:
π
三、解答题
10.已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P(-1,e)在椭圆上,e为椭圆的离心率,且点M为椭圆短半轴的上顶点,△MF1F2为等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点F2作不与坐标轴垂直的直线l,设l与圆x2+y2=a2+b2相交于A,B两点,与椭圆相交于C,D两点,当·=λ且λ∈时,求△F1CD的面积S的取值范围.
解:
(1)由△MF1F2是等腰直角三角形,得b=c,a2=2c2=2b2,
从而得到e=,故而椭圆经过点,
代入椭圆方程得+=1,解得b2=1,a2=2,
故所求椭圆的方程为+y2=1.
(2)由
(1)知F1(-1,0),F2(1,0),
由题意,设直线l的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去x,得(t2+1)y2+2ty-2=0,
则y1+y2=-,y1y2=-,
∴·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)
=(x1+1)(x2+1)+y1y2
=(ty1+2)(ty2+2)+y1y2
=(t2+1)y1y2+2t(y1+y2)+4
=-2-+4=.
∵·∈,∴≤≤1,
解得t2∈.
由消去x,得(t2+2)y2+2ty-1=0.
设C(x3,y3),D(x4,y4),
则y3+y4=-,y3y4=-,
∴S△F1CD=|F1F2|·|y3-y4|=
==.
设t2+1=m,则S==,
其中m∈,
∵S关于m在上为减函数,
∴S∈,
即△F1CD的面积的取值范围为.
11.已知F1,F2分别是长轴长为2的椭圆C:
+=1(a>b>0)的左、右焦点,A1,A2是椭圆C的左、右顶点,P为椭圆上异于A1,A2的一个动点,O为坐标原点,点M为线段PA2的中点,且直线PA2与OM的斜率之积恒为-.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点N,点N的横坐标的取值范围是,求线段AB长的取值范围.
解:
(1)由题意可知2a=2,则a=,设P(x0,y0),
∵直线PA2与OM的斜率之积恒为-,
∴·=-,
∴+y=1,∴b=1,
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点Q(x0,y0).
联立消去y,
得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,
则x1+x2=-,x1x2=,
∴x0=-,y0=k(x0+1)=,
∴AB的中点Q,
∴QN的直线方程为y-=-.
令y=0,得x=-,
∴N,由已知得-<-<0,
∴0<2k2<1,
∴|AB|=·
=·
=·=.
∵<<1,
∴|AB|∈,
故线段AB长的取值范围为.
12.已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线l与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若AB垂直于x轴,求直线MB的斜率;
(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.
解:
(1)由题意可得2c=2,即c=,
又e==,解得a=,b==1,
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)由直线l过点D(1,0)且垂直于x轴,设A(1,y1),B(1,-y1),
则直线AE的方程为y-1=(1-y1)(x-2).
令x=3,可得M(3,2-y1),
所以直线BM的斜率kBM==1.
(3)直线BM与直线DE平行.
理由如下:
当直线AB的斜率不存在时,由
(2)知kBM=1.
又因为直线DE的斜率kDE==1,所以BM∥DE;
当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k≠1),
A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线AE的方程为y-1=(x-2).
令x=3,得M,
所以直线BM的斜率kBM=.
联立消去y,
得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0,
则x1+x2=,x1x2=,
因为kBM-1
=
=
==0,
所以kBM=1=kDE,即BM∥DE.
综上所述,直线BM与直线DE平行.
已知椭圆M:
+=1(a>b>0)的右焦点F的坐标为(1,0),P,Q为椭圆上位于y轴右侧的两个动点,使PF⊥QF,C为PQ中点,线段PQ的垂直平分线交x轴,y轴于点A,B(线段PQ不垂直x轴),当Q运动到椭圆的右顶点时,|PF|=.
(1)求椭圆M的方程;
(2)若S△ABO∶S△BCF=3∶5,求直线PQ的方程.
解:
(1)当Q运动到椭圆的右顶点时,PF⊥x轴,
∴|PF|==,
又c=1,a2=b2+c2,∴a=,b=1.
∴椭圆M的方程为+y2=1.
(2)设直线PQ的方程为y=kx+b,显然k≠0,
联立椭圆方程得:
(2k2+1)x2+4kbx+2(b2-1)=0,
设点P(x1,y1),Q(x2,y2),
则
由·=0,得(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,
即(k2+1)x1x2+(kb-1)(x1+x2)+b2+1=0,
代入化简得3b2-1+4kb=0.④
由y1+y2=k(x1+x2)+2b=,
得C,
∴线段PQ的中垂线AB的方程为
y-=-.
令y=0,x=0,可得A,B,
则A为BC中点,
故==2==2.
由④式得,k=,则xA==,
∴=2==,解得b2=3.
∴b=,k=-或b=-,k=.
经检验,满足条件①②③,
故直线PQ的方程为y=x-或y=-x+.