精选教育华东师大版九年级数学下册教案2623求二次函数的表达式doc.docx

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课题

3.求二次函数的表达式

授课人

教

学

目

标

知识技能

　　1.会利用已知条件设立恰当的函数表达式，用待定系数法求二次函数的表达式.

2.学会利用二次函数解决实际问题．

数学思考

　　通过一题多解和不同形式不同解答的教学方式和方法，培养学生的思维能力和转化能力．

问题解决

　　让学生在经历方程与识图的过程中，培养学生独立分析问题、解决问题的能力，提升数学思维意识．

情感态度

　　让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣，让学生体验数学这一工具在解决实际问题中的作用．

教学

重点

　　掌握二次函数的一般式、顶点式和交点式，并能根据实际情境选择适当的形式求二次函数表达式．

教学

难点

　　能灵活运用三种表达式来求二次函数的表达式．

授课

类型

新授课

课时

教具

多媒体

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

回顾

（展示问题）

1.求下列函数的表达式：

（1）一个正比例函数的图象经过点（2，－4）；

（2）一个一次函数的图象与x轴交于点（3，0），与y轴交于点（0，6）.

2.用待定系数法求函数表达式的基本步骤有哪些？

3.我们学习过哪几种形式的二次函数表达式？

师生活动：

学生独立完成并进行口述，教师对学生的解答情况进行评价并总结：

用待定系数法求函数表达式：

设出表达式，列出方程组，解方程组，代入.

二次函数的表达式有：

一般式，y＝ax2＋bx＋c；顶点式，y＝a（x－h）2＋k；交点式，y＝a（x－x1）（x－x2）．

在学生解决两个问题的基础上进一步体验知识，有利于学生在最近发展区得到提升，为后面的学习做好铺垫.

活动

一：

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

问题：

有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的图形放在坐标系中，请求出这条抛物线的函数表达式．

师生活动：

学生感知问题，独立思考．图26－2－85

通过实际问题设疑，使学生感受数学来源于实际，用数学又可以解答实际问题，相得益彰.

活动

二：

实践

探究

交流

新知

　　一、新知探究：

（展示问题）

问题1：

已知二次函数的图象的顶点坐标求其表达式

一个二次函数的图象经过点（0，1），它的顶点坐标为（8，9），求这个二次函数的表达式．

分析：

因为这个二次函数的图象的顶点坐标为（8，9），因此，可以设函数表达式为y＝a（x－8）2＋9，根据其图象经过点（0，1）可以确定a的值．

学生活动：

学生讨论得出形如y＝a（x－h）2＋k的函数表达式的一般解题过程，小组间思考用此类方法的前提是什么？

教师点拨：

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）通过配方可得y＝a（x－h）2＋k的形式称为顶点式，其中（h，k）为抛物线的顶点坐标，由此再运用一个点的坐标即可求出a的值．

问题2：

已知图象上三点求二次函数的表达式

一个二次函数的图象经过（0，1），（2，4），（3，10）三点，求这个二次函数的表达式．

教师活动：

引导学生回顾一次函数表达式的求法，运用类比的方法可得此题可以根据待定系数法求此函数表达式．

学生活动：

学生小组讨论解题中遇到的问题，并相互交流讨论，合作完成此题．

二、归纳总结

请学生小组内讨论总结求二次函数表达式的思路和方法，讲给大家听！

师生活动：

教师指个别学生回答，其他同学进行补充，教师订正、总结：

（1）已知图象上三个点或三对x，y的值，通常选择一般式：

y＝ax2＋bx＋c，把条件代入得到三元一次方程组，解方程即可求出待定系数；

（2）已知图象的顶点，通常选择顶点式：

y＝a（x－h）2＋k，先把顶点坐标代入，再把另一点的坐标代入求出a的值，最后一般化为一般式．

（3）已知图象与x轴的两个交点时，通常选择交点式：

y＝a（x－x1）（x－x2），先把两交点的横坐标代入，再把另一点的坐标代入求出a的值，最后一般代入一般式．

1．在给定顶点坐标时，不能通过设成一般式求解问题，所以引导学生采用顶点式即可解答，这样学生对于不同类型的问题有不同的解答方案，利于学生的思维活跃以及善于总结的习惯养成．

2．在复习用待定系数法求一次函数表达式的方法后，运用类比的思想，运用一般式求解.

（续表）

活动

三：

开放

训练

体现

应用

【应用举例】

例　“课堂引入”问题：

师生活动：

教师选派两名同学选择不同的解答方式进行板演，其他同学在练习本上书写解答过程，教师做好指导和评价．

解法1：

设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，根据题意得，抛物线经过点（0，0），（20，16），（40，0）三点，得方程组

所以抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x.

教师评析：

通过利用给定的条件列出关于a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值，从而确定函数的表达式．

解法2：

设抛物线的函数表达式为y＝a（x－20）2＋16，

根据题意得，点（0，0）在抛物线上，

所以0＝400a＋16，解得a＝－，

所以抛物线的函数表达式为y＝－（x－20）2＋16，

即y＝－x2＋x.

教师评价：

通过利用条件中的图象的顶点和图象过原点选用顶点式．

变式训练

1.如图26－2－86所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点为A（－2，－2），且过点B（0，2），则y与x的函数表达式为（D）图26－2－86

A．y＝x2＋2B．y＝（x－2）2＋2

C．y＝（x－2）2－2D．y＝（x＋2）2－2

2．已知：

抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（－1，0），B（5，0）两点，顶点为P.

（1）求b，c的值；

（2）求△ABP的面积．

解：

（1）设抛物线的函数表达式为y＝－（x＋1）（x－5），所以y＝－x2＋4x＋5，所以b＝4，c＝5.

（2）y＝－x2＋4x＋5＝－（x－2）2＋9，顶点P的坐标为（2，9），所以△ABP的面积＝×6×9＝27.

通过课前设疑，激发学生的学习兴趣，运用学习的知识，从不同的角度进行解答，既训练了学生的一题多解、思维灵活性，又培养了学生深层次的思维能力.

（续表）

活动

四：

课堂

总结

反思

【达标测评】

1．已知二次函数的图象经过点（0，5），（1，0），（2，－3），则这个二次函数的表达式为__y＝x2－6x＋5__．

2．已知抛物线y＝a（x－t－1）2＋t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点在直线y＝－2x＋1上，且经过点（－2，5），则这个抛物线的函数表达式是__y＝x2＋1__．

3．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（2，0），对称轴为直线x＝－1，顶点到x轴的距离为2，求此抛物线的函数表达式：

__y＝－x2－x＋或y＝x2＋x2－．

4．如图26－2－87，已知二次函数的图象过A，C，B三点，点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC.

（1）求点C的坐标；

（2）求二次函数的表达式，并将其化成一般形式．

图26－2－87

解：

（1）∵点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（4，0），∴OC＝AB＝5，∴点C的坐标为（0，5）．

（2）设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋5，把A（－1，0），B（4，0）的坐标代入原函数表达式得出a＝－，b＝，所以这个二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋5.

5．已知二次函数的图象经过点（0，0），且它的顶点坐标是（1，－2）．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）判断点P（3，5）是否在这个二次函数的图象上．

解：

（1）设抛物线的函数表达式为y＝a（x－1）2－2，将（0，0）代入得a－2＝0，解得a＝2，所以抛物线的函数表达式为y＝2（x－1）2－2＝2x2－4x.

（2）当x＝3时，y＝2（x－1）2－2＝6，所以点P（3，5）不在这个二次函数的图象上．

学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅，点评、讲解．

针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.

【课堂小结】

谈一谈你在本节课中有哪些收获？

哪些进步？

还有哪些困惑？

教师强调：

用待定系数法求函数表达式的三种类型：

已知三点用一般式；已知顶点坐标用顶点式；已知与x轴的交点坐标用交点式．

布置作业：

教材P23练习第1，2，3题．

课堂小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.

（续表）

活动

四：

课堂

总结

反思

【课堂小结】

谈一谈你在本节课中有哪些收获？

哪些进步？

还有哪些困惑？

教师强调：

用待定系数法求函数表达式的三种类型：

已知三点用一般式；已知顶点坐标用顶点式；已知与x轴的交点坐标用交点式．

布置作业：

教材P23练习第1，2，3题．

课堂小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.

【知识网络】

提纲挈领，重点突出.

【教学反思】

①[授课流程反思]

在创设情境环节中，利用实际生活中的问题引导学生思考，学生能够提高兴趣，对数学的应用价值有深入的体会；在探究新知活动中，学生能够在讨论、交流的同时，对于新知能够获得更加深入的理解，从而获得求解二次函数表达式的方法．

②[讲授效果反思]

教师强调本课的重、难点：

（1）正确选择二次函数的形式；

（2）解三元一次方程组时注意“消元”的方法和步骤；（3）运用顶点式进行求解时，先代入顶点式．

③[师生互动反思]

从教学过程分析，学生充分运用自主探究、合作交流的时间，能够起到较好的效果，教师点拨到位、举例说明，能够落实课时学习目标．

④[习题反思]

好题题号_______________________________________

错题题号________________________________________

反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.

典案二　　导学设计　　

【学习目标】使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。

使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。

让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。

【学习重难点】已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式是教学的重点。

已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。

【课标要求】根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围

1、通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

（1）y＝6x2＋12x；

（2）y＝－4x2＋8x－10

问题2

如图26.2.6，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4m，拱高CO为0.8m．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？

分析

为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图．

如图26.2.6，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系．这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为

y＝（a＜0）．　　　　　　

（1）

因为AB与y轴交于点C，所以CB＝＝（m），又CO＝0.8m，所以点B的坐标为（，－0.8）．

因为点B在抛物线上，将它的坐标代入

（1），得

－0.8＝

所以a＝

因此，函数关系式是

y＝

根据这个关系式，容易画出模板的轮廓线．

在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条件求