双曲线知识点总结.docx
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双曲线知识点总结
《圆锥曲线》
双曲线
主要知识点
1、双曲线的定义:
⑴定义:
(2)数学符号:
(3)应注意问题:
2、双曲线的标准方程:
图像
标准方程
不同点
相同点
注意:
如何根据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上?
进一步,如何求出焦点坐标?
3、双曲线的几何性质
标准方程
性
隹占
八、、八、、
焦距
范围
质
顶点
实轴
虚轴
对称性
离心率
渐近线
注意:
(1)如何比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像?
(2)双曲线的离心率的取值范围是什么?
离心率有什么作用?
(3)当a=b时,双曲线有什么特点?
4.双曲线的方程的求法
(1)双曲线的方程与双曲线渐近线的关系
2222
1已知双曲线段的标准方程是笃-与=1(a0,b0)(或笃-每=1(a0,b0)),
abba
则渐近线方程为
>
2已知渐近线方程为bx—ay=0,则双曲线的方程可表示为
O
(2)待定系数法求双曲线的方程
22
1与双曲线牛-£=1有共同渐近线的双曲线的方程可表示为
ab
;
2若双曲线的渐近线方程是y=-x,则双曲线的方程可表示为
a
;
b2
=1共焦点的双曲线方程可表示为
X2
3与双曲线——
a
4过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为
22
5与椭圆务•与=1(ab0)有共同焦点的双曲线的方程可表示为
ab
o
5.双曲线离心率的有关问题
(1)e=C,e1,它决定双曲线的开口大小,e越大,开口越大。
a
(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直,离心率2。
(3)双曲线离心率及其范围的求法。
1双曲线离心率的求解,一般可采用定义法、直接法等方法求解。
2双曲线离心率范围的求解,一般可以从以下几个方面考虑:
a.与已知范围联系,
通过求值域或解不等式来完成;b•通过判别式厶;c•利用点在曲线内部形成的不等
式关系;d.利用解析式的结构特点。
6、直线与双曲线的位置关系的判定及相关计算
(1)直线与双曲线的位置关系有:
、、
注意:
如何来判断位置关系?
(2)若斜率为k的直线被双曲线所截得的弦为AB,A、B两点分别为A(X1,y1)、
B(X2,y2),则相交弦长AB=
二、典型例题:
考点一:
双曲线的定义
例1已知动圆M与圆6:
(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:
(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M
的轨迹方程
2y2
变式训练:
由双曲线—_^=1上的一点P与左、右两焦点
94
构成△PF1F2,求△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点坐标•
Fi、
22
巩固训练:
(1).Fi、F2是双曲线——孔=1的焦点,点P在双曲线上•若点P到焦点
1620
F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.
(2).过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上,若|PQ|=7,F2是双曲线的右焦
点,则APF2Q的周长是.
(3).一动圆与两定圆x2y2=1和x2•y2-8xT2=0都外切,则动圆圆心轨迹为
A.椭圆B.双曲线C.双曲线的一支D.抛物线
考点二:
双曲线的方程
例2根据下列条件,求双曲线的标准方程
2y2
(1)与双曲线—-^=1有共同的渐近线,且过点(-3,23);
916
变式训练:
已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0,
(1)若双曲线经过P(屈,2),求双曲线方程;
(2)若双曲线的焦距是2J3,求双曲线方程;
(3)若双曲线顶点间的距离是6,求双曲线方程
巩固训练:
22
(1)求与椭圆y=1共焦点且过点(^.2,■.2)的双曲线的方程;
255
⑵中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:
4,求双曲线的标
准方程;
⑶已知双曲线的离心率eh^2,经过点M(-5,3),求双曲线的方程;
2
⑷与双曲线x-11有共同渐近线,且过点(2,2)的双曲线方程;
4
22^3
(5)已知双曲线务-岭=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y-x,若顶点到渐近
ab3
线的距离为1,则双曲线方程为.
22
(6).已知方程_^=1表示双曲线,则m的取值范围是.
2+mm+1
(7).经过两点A(-7,-6运),B(2J7,3)的双曲线的标准方程为.
考占三.
P八、、〜.
双曲线的几何性质
例3双曲线C:
筈-与=1(a>0,b>0)的右顶点为A,x轴上有一点Q(2a,0),若C上ab
—•—
存在一点P,使APPQ=0,求此双曲线离心率的取值范围•
变式训练:
已知双曲线的中心在原点,焦点Fi、F2在坐标轴上,离心率为.2,且过点P
(4,-J0).
(1)求双曲线方程;
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:
MF)MF2
=0;(3)求厶F1MF2的面积•
22
巩固训练:
(1)已知双曲线笃-每=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角
ab
为60。
的直线与双曲线的一条渐近线平行,则此双曲线的离心率是:
Xy
⑷双曲线r2=1(a0,b0)的一个焦点为F(4,0),过双曲线的右顶点作垂直于
ab
轴的垂线交双曲线的渐近线于A,
B两点,O为为坐标原点,则△AOB面积的最大值为:
A.8B.16C.20D.24
考点四:
双曲线的离心率
22
例1、已知Fi、F2分别是双曲线笃-爲=1(a0,b■0)的左、右焦点,过Fi作垂直于
ab
X轴的直线与双曲线交于A、B两点,若^\F2B是直角三角形,求双曲线的离心率。
变式训练:
1、若△AFzB是等边三角形,则双曲线的离心率为。
2、若△AFzB是锐角三角形,则双曲线的离心率的取值范围为
3、若△AFzB是钝角三角形,则双曲线的离心率的取值范围为
巩固训练:
1、已知F1、F2分别是双曲线
22
笃-每=1(a0,b0)的左、右焦点,过F2作倾斜角为
ab
60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,求双曲线的离心率的取值范围
22
2、已知Fi、F2分别是双曲线务-占=1(a0,b0)的左、右焦点,过F2作垂直于渐
ab
3、直线y=kx_1与双曲线x?
_y2=4没有公共点,则k的取值范围为,有两个
公共点,则k的取值范围为,有一个公共点,则k的取值范围为,与左支
有两个公共点,则k的取值范围为。
考点五:
双曲线中的焦点三角形
22
例、设Fi和F2为双曲线—--1的两个焦点,P是双曲线上一点,已知/
169
FiPF2=60°求AF1PF2的面积
2
y
已知IPF1IPF2=32,求ZF1PF2的余弦值与三角形F1PF2面积
2
y1左焦点F,的弦AB长为6,则△ABF2(F2为右焦点)的周长是
9
2、已知定点A,B,且AB=6,动点P满足PA-PB=4,则PA的最小值是
2
X2
3、设Fi和F2为双曲线y=1的两个焦点,P为双曲线上一点,若/FiPF2=900,
4
则三角形F1PF2面积是
P是双曲线上一点,已知/F1PF2=60°
4、设F1和F2为双曲线釘計的两个焦点,则P点到F1和F2两点的距离之和为
5、已知双曲线
22
Xy
C22=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1(-2,0),F2(2,0),点P(3,
ab
r7)在双曲线
C上
(1)求双曲线C的方程
(2)记O在坐标原点,过Q(0,2)的
直线L与双曲线C相交于不同的两点E,F,若AOEF的面积2^2,求直线L的方程
考点六:
直线和双曲线的位置关系
双曲线于M、N两点,若OMON二-23,求直线m的方程。
变式训练:
直线丨:
y=kx-1与双曲线C:
2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.(I)
求实数k的取值范围;(n)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?
若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.