H04南京市届高三年级数学第三次模拟考试WORD版含答案.docx
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H04南京市届高三年级数学第三次模拟考试WORD版含答案
南京市2020届高三年级第三次模拟考试
数学I卷
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）
1．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝▲．
2．若z＝＋i（i是虚数单位）是实数，则实数a的值为▲．
3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为▲．
4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为▲．
5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为▲．
6．已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（其中ω＞0，－＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（）的值为▲．
O
x
y
2
-2
（第6题图）
－
（第4题图）
S←0
ForiFrom1To4
S←S＋i
EndFor
PrintS
7．已知数列{an}为等比数列．若a1＝2，且a1，a2，a3－2成等差数列，则{an}的前n项和为▲．
8．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F．若以F为圆心，a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A，B两点，且AB＝2b，则该双曲线的离心率为▲．
9．若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A－B1CD1的体积为▲．
10．已知函数f（x）＝g（x）＝f（x－2）．若g（x－1）≥1，则x的取值范围为▲．
11．在平面直角坐标系xOy中，A，B是圆O：
x2＋y2＝2上两个动点，且⊥．若A，B两点到直线l：
3x＋4y－10＝0的距离分别为d1，d2，则d1＋d2的最大值为▲．
12．若对任意a∈[e，＋∞）（e为自然对数的底数），不等式x≤eax＋b对任意x∈R恒成立，则实数b的取值范围为▲．
13．已知点P在边长为4的等边三角形ABC内，满足＝λ＋μ，且2λ＋3μ＝1，延长AP交边BC于点D．若BD＝2DC，则·的值为▲．
14．在△ABC中，∠A＝，D是BC的中点．若AD≤BC，则sinBsinC的最大值为▲．
二、解答题:
本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．
15．（本小题满分14分）
F
E
P
B
D
C
A
（第15题图）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，E，F分别为AD，PB的中点．
求证：
（1）EF∥平面PCD；
（2）平面PAB⊥平面PCD．
16．（本小题满分14分）
已知向量m＝（cosx，sinx），n＝（cosx，－sinx），函数f（x）＝m·n＋．
（1）若f（）＝1，x∈（0，π），求tan（x＋）的值；
（2）若f（α）＝－，α∈（，），sinβ＝，β∈（0，），求2α＋β的值．
17．（本小题满分14分）
如图，港口A在港口O的正东100海里处，在北偏东方向有一条直线航道OD，航道和正东方向之间有一片以B为圆心，半径8海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中OB＝20海里，tan∠AOB＝，cos∠AOD＝．现一艘科考船以10海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．
（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由；
（2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x小时出发，求x的最小值．
A
O
D
东
北
B
（第17题图）
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）经过点（－2，0）和（1，），椭圆C上三点A，M，B与原点O构成一个平行四边形AMBO．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点B是椭圆C的左顶点，求点M的坐标；
（第18题图）
A
O
M
x
y
B
（3）若A，M，B，O四点共圆，求直线AB的斜率．
19．（本小题满分16分）
已知函数f（x）＝（a∈R），其中e为自然对数的底数．
（1）若a＝1，求函数f（x）的单调减区间；
（2）若函数f（x）的定义域为R，且f
（2）＞f（a），求a的取值范围；
（3）证明：
对任意a∈（2，4），曲线y＝f（x）上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．
20．（本小题满分16分）
若数列{an}满足n≥2，n∈N*时，an≠0，则称数列{}（n∈N*）为{an}的“L数列”．
（1）若a1＝1，且{an}的“L数列”为{}，求数列{an}的通项公式；
（2）若an＝n＋k－3（k＞0），且{an}的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；
（3）若an＝1＋pn－1，其中p＞1，记{an}的“L数列”的前n项和为Sn，试判断是否存在等差数列{cn}，对任意n∈N*，都有cn＜Sn＜cn＋1成立，并证明你的结论．
南京市2020届高三年级第三次模拟考试
数学II卷附加题
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：
矩阵与变换
已知矩阵A＝，a∈R．若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，－2）．
（1）求矩阵A；
（2）求点Q（0，3）经过矩阵A的2次变换后对应点Q′的坐标．
B．选修4—4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
C．选修4—5：
不等式选讲
已知a，b为非负实数，求证：
a3＋b3≥（a2＋b2）．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，B1C⊥AC1．
（1）求AA1的长．
（第22题图）
A1
C
A
B
B1
C1
P
（2）试判断在侧棱BB1上是否存在点P，使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角
B－A1C－A的大小相等，并说明理由．
23．（本小题满分10分）
口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：
抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1（n∈N*）次．若取出白球的累计次数达到n ＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为Pn．
（1）求P1；
（2）证明：
Pn＋1＜Pn．
南京市2020届高三年级第三次模拟考试
数学参考答案及评分标准
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．{x|1＜x＜4}2．23．604．105．6．
7．2－28．9．10．[2，4]11．612．[－2，＋∞）
13．－14．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
证明：
（1）取PC中点G，连接DG、FG．
在△PBC中，因为F，G分别为PB，PC的中点，所以GF∥BC，GF＝BC．
因为底面ABCD为矩形，且E为AD的中点，
所以DE∥BC，DE＝BC，2分
所以GF∥DE，GF＝DE，所以四边形DEFG为平行四边形，
所以EF∥DG．4分
又因为EF平面PCD，DG平面PCD，
所以EF∥平面PCD．6分
（2）因为底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD．
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD．10分
因为PA平面PAD，所以CD⊥PA．12分
又因为PA⊥PD，PD平面PCD，CD平面PCD，PD∩CD＝D，所以PA⊥平面PCD．
因为PA平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．14分
16．（本小题满分14分）
解：
（1）因为向量m＝（cosx，sinx），n＝（cosx，－sinx），
所以f（x）＝m·n＋＝cos2x－sin2x＋＝cos2x＋．2分
因为f（）＝1，所以cosx＋＝1，即cosx＝．
又因为x∈（0，π），所以x＝，4分
所以tan（x＋）＝tan（＋）＝＝－2－．6分
（2）若f（α）＝－，则cos2α＋＝－，即cos2α＝－．
因为α∈（，），所以2α∈（π，），所以sin2α＝－＝－．8分
因为sinβ＝，β∈（0，），所以cosβ＝＝，10分
所以cos（2α＋β）＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝（－）×－（－）×＝．12分
又因为2α∈（π，），β∈（0，），所以2α＋β∈（π，2π），
所以2α＋β的值为．14分
17．（本小题满分14分）
B
E
A
C
O
D
x
y
解：
如图，以O为原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立直角坐标系xOy．
因为OB＝20，tan∠AOB＝，OA＝100，
所以点B（60，40），且A（100，0）．2分
（1）设快艇立即出发经过t小时后两船相遇于点C，
则OC＝10（t＋2），AC＝50t．
因为OA＝100，cos∠AOD＝，
所以AC2＝OA2＋OC2－2OA·OC·cos∠AOD，
即（50t）2＝1002＋[10（t＋2）]2－2×100×10（t＋2）×．
化得t2＝4，解得t1＝2，t2＝－2（舍去），4分
所以OC＝40．
因为cos∠AOD＝，所以sin∠AOD＝，所以C（40，80），
所以直线AC的方程为y＝－（x－100），即4x＋3y－400＝0．6分
因为圆心B到直线AC的距离d＝＝8，而圆B的半径r＝8，
所以d＜r，此时直线AC与圆B相交，所以快艇有触礁的危险．
答：
若快艇立即出发有触礁的危险．8分
（2）设快艇所走的直线AE与圆B相切，且与科考船相遇于点E．
设直线AE的方程为y＝k（x－100），即kx－y－100k＝
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