二、填空题
4.(2018廊坊模拟)根据下列表格的对应值,判断ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的近似值是 (精确到0.1).
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.03
0.09
5.(2018张家口模拟)已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(-2,4),B(8,2).如图所示,则能使y1>y2成立的x的取值范围是 .
6.(2018湖州中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx(a>0)的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2(a>0)交于点B.若四边形ABOC是正方形,则b的值是 .
三、解答题
7.如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为
m,到墙边OA的距离分别为
m,
m.
(1)求该抛物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;
(2)若该墙的长度为10m,则最多可以连续绘制几个这样的抛物线形图案?
答案精解精析
A组 基础题组
一、选择题
1.D 当y=0时,ax2-2ax+1=0,∵a>1,∴Δ=(-2a)2-4a=4a(a-1)>0,则ax2-2ax+1=0有两个根.∵
>0,且-
=1,∴方程的两根均为正,即函数图象与有两个交点且交点均位于y轴右侧.
2.D ∵二次函数y=x2+mx的对称轴是直线x=3,∴-
=3,解得m=-6,∴关于x的方程x2+mx=7即为x2-6x-7=0,即(x+1)(x-7)=0,解得x1=-1,x2=7.
3.C 由表可以看出,当x取1.44与1.45之间的某个数时,y=0,即这个数是ax2+bx+c=0的一个根.∴ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.444.B 由图象知,抛物线与x轴交于(-1,0),对称轴为x=1,∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3,0).∵y<0时,函数的图象位于x轴的下方,且当-15.C 6.C
7.A 由题图知抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,A正确;∵抛物线开口向下,∴a<0,因抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,则ac<0,B错误;∵抛物线过点A(3,0),对称轴是直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0),则a-b+c=0,C错误;易知当x=2时,y>0,∴4a+2b+c>0,D错误.
二、填空题
8.
答案 x1=-1.4,x2=4.4
解析 观察函数图象,可知
x2-x-2=0的两个根分别在-2与-1、4与5之间,解得
利用计算器进一步计算,可得x1在-1.37与-1.38之间,x2在4.37与4.38之间,∴方程
x2-x-2=0的两个近似根是4.4或-1.4.
9.
答案 2
解析 ∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=1,∴-
=1,则-
=2,∴关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为-
=2.
10.
答案
解析 y=ax2-4ax=a(x2-4x+4)-4a=a(x-2)2-4a,则顶点坐标是(2,-4a),∴-4a=-2,解得a=
.
11.
答案 x1=-2,x2=1
解析 ∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),∴方程组
的解为
即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-2,x2=1,∴方程ax2=bx+c的解是x1=-2,x2=1.
三、解答题
12.
解析
(1)根据题意,Δ=b2-4·a[-(a+b)]=b2+4ab+4a2=(2a+b)2,
∵(2a+b)2≥0一定成立,
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个.
(2)对于二次函数y=ax2+bx-(a+b),∵当x=1时,y=a+b-(a+b)=0,
∴抛物线y=ax2+bx-(a+b)不经过点C,而一定经过点A,B.
把点A(-1,4),B(0,-1)分别代入,得
解得
∴抛物线解析式为y=3x2-2x-1.
(3)当x=2时,m=4a+2b-(a+b)=3a+b>0①;
∵a+b<0,∴-a-b>0②.
①②相加,得:
2a>0.
∴a>0.
B组 提升题组
一、选择题
1.C 把x=1,y>0代入解析式,得:
a+2a-1+a-3>0,解得a>1.
∴抛物线的顶点的横坐标为x=-
<0,纵坐标为
=
<0,∴这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C.
2.C ∵直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象的对称轴,
∴当x=1时,函数取得最大值,且ymax=a+b+c.
∵当x=m(m≠1)时,y=am2+bm+c,
∴a+b+c>am2+bm+c,
即a(m2-1)+b(m-1)<0,整理得(m-1)[(m+1)a+b]<0,
∴当m<1时,(m+1)a+b>0;
当m>1时,(m+1)a+b<0.
故选C.
3.A ∵m,n(m将y=(x-a)(x-b)-1的图象往上平移一个单位可得二次函数y=(x-a)(x-b)的图象,二次函数y=(x-a)(x-b)的图象与x轴交于点(a,0),(b,0).
画出两函数图象的草图如图所示,观察函数图象可知m二、填空题
4.
答案 3.2
解析 ∵当x=3.24时,y=-0.02;当x=3.25时,y=0.03,∴方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是3.245.
答案 x<-2或x>8
解析 ∵由函数图象可知,当x<-2或x>8时,一次函数的图象在二次函数的下方,∴能使y1>y2成立的x的取值范围是x<-2或x>8.
6.
答案 -2
解析 ∵四边形ABOC是正方形,∴点B的坐标为
.
∵抛物线y=ax2过点B,∴-
=a
解得:
b1=0(舍去),b2=-2.故答案为-2.
三、解答题
7.
解析
(1)由题意可知,B
C
代入y=ax2+bx得
解得
∴y=-x2+2x.
∴此抛物线顶点的纵坐标为
=1.
答:
该抛物线的函数关系式是y=-x2+2x,图案最高点到地面的距离是1m.
(2)当y=0时,-x2+2x=0,
∴x1=0,x2=2,x2-x1=2,
∴10÷2=5(个).
答:
最多可以连续绘制5个这样的抛物线形图案.