初中函数复习专题适合初三学生.docx

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初中函数复习专题适合初三学生

初中函数复习

一、基本概念

1、常量和变量：

在变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。

2、函数：

⑴定义：

一般的，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，我们称y是x的函数。

其中x是自变量，y是因变量。

⑵函数的表示方法：

列表法、图象法和解析法。

⑶自变量取使函数关系式有意义的值，叫做自变量的取值范围。

①函数的解析式是整式时，自变量可以取全体实数；

②函数的解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值要使被开方数是非负数；

④对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。

二、初中所学的函数

1、正比例函数：

（1）、正比例函数的定义：

形如的形式。

自变量与函数之间是倍的关系

一般情况下，当作自变量，作为函数

（2）、正比例函数的性质

正比例函数y=kx的图象是经过（0，0），（1，k）的一条直线。

当时，图象从左到右是上升的趋势，也即是随的增大而增大。

过一、三象限。

当时，图象从左到右是下降的趋势，也即是随的增大而减小。

过二、四象限。

k>0k<0

注意：

因为正比例函数y=kx（k≠0）中的待定系数只有一个k，因此确定正比例函数的解析式只需x、y一组条件，列出一个方程，从而求出k值。

2、一次函数

（1）、一次函数的定义：

形如的形式；自变量与常量的乘积，再加上一个常量的形式。

（2）、一次函数与正比例函数的关系

属于

正比例一次函数

不属于

（3）、一次函数的图象性质

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）（—k/b，0）的一条直线，也可由y=kx平移得到

当k>0时，y随x的增大而增大，b>0时，图象过第一、二、三象限，b<0时，图象过一、三、四象限

当k<0时，y随x的增大而减小，b>0时，图象过第一、二、四象限，b<0时，图象过二、三、四象限

注意：

一次函数y=kx+b（k≠0）中的待定系数有两个k和b，因此要确定一次函数的解析式需x、y的两组条件，列出一个方程组，从而求出k和b。

3、反比例函数

（1）、反比例函数的定义：

形如y=（为常数，）的形式；x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0．

（2）、反比例函数的性质

反比例函数y=的图像是双曲线（两个分支）

当k>0时，图像的两个分支分别在第一，三象限内；在每个象限内，y随x的增大而减小

当k<0时，图像的两个分支分别在第二，四象限内；在每个象限内，y随x的增大而增大

k>0k<0

④对称性：

反比例函数y=的图像是轴对称图形，对称轴是直线y=x或直线y=—x，也是中心对称图形，对称中心是原点

⑤在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x、轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则S1＝S2=|k|。

设R是双曲线上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为A，则

注意：

因为反比例函数y=（k≠0）中的待定系数只有一个k，因此确定反比例函数的解析式只需x、y一组条件，列出一个方程，从而求出k值

4、二次函数

（1）、二次函数的定义：

形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数称为二次函数，其定义域是R。

（2）、二次函数的解析式：

①一般式：

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；对称轴为，顶点坐标为．

②顶点式：

（）；对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）

③零点式（两根式）：

y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中，x1、x2是函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点（或是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根）。

（3）、二次函数的图像：

二次函数的图像是一条抛物线.

（4）、二次函数的图像的性质：

①开口方向：

当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；

②顶点坐标：

；

③对称轴方程：

；

④当时，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值；当时，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

注意：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

（5）、二次函数图象的平移

①保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

②平移规律

在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．一定要记住！

（6）、二次函数的图象与各项系数之间的关系

①二次项系数；二次函数中，作为二次项系数，显然．

⑴当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

⑵当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

②一次项系数；在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．

⑴在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．

⑵在的前提下，结论刚好与上述相反，即

当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．

总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．

③常数项

⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；

⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；

⑶当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．

总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

④二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

（1）.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

（2）.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

（3）.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

（4）.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

（7）、二次函数图象的对称，当成结论重点记忆。

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

①.关于轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

②.关于轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

③.关于原点对称

关于原点对称后，得到的解析式是；

关于原点对称后，得到的解析式是；

④.关于顶点对称

关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是．

⑤.关于点对称

关于点对称后，得到的解析式是

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

（8）、二次函数与一元二次方程：

①.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：

一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.

图象与轴的交点个数：

（1）.当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.

（中考常考，重点记忆）

（2）.当时，图象与轴只有一个交点；

（3）.当时，图象与轴没有交点.

当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

②.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；

③.二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

抛物线与轴有两个交点

二次三项式的值可正、可零、可负

一元二次方程有两个不相等实根

抛物线与轴只有一个交点

二次三项式的值为非负

一元二次方程有两个相等的实数根

抛物线与轴无交点

二次三项式的值恒为正

一元二次方程无实数根.

⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

练习一

1、小华用500元去购买单价为3元的一种商品，剩余的钱y（元）与购买这种商品的件数x（件）之间的函数关系是______________，x的取值范围是__________；

2、函数y=的自变量x的取值范围是________；

3、一根弹簧原长13厘米，它所挂的重物不能超过16千克，并且每挂重量1千克时，弹簧

就伸长0.5厘米。

①写出挂重后弹簧的长y（厘米）与挂重x（千克）之间的函数关系式；②求自变量的取值范围。

4、如图，在边长为4的正方形ABCD的四边AB、BC、CD、DA上顺次截取AP＝BQ＝CR

＝DH，得到正方形PQRH，求正方形PQRH的面积S和AP的长度x之间的函数关系式

和自变量x的取值范围。

5、如图，在直角梯形ABCD中，AB＝22，CD＝10，AD＝16。

①在斜腰BC上任取一点P，

过P点作底边的垂线，与上下底分别交于E、F。

设PE长为x，PF长为y。

求y与x的函数表达式和自变量x的取值范围；②如果SΔPCD＝SΔPAB，P点应取在什么地方？

6、已知y与3x成正比例，当x=8时，y=－12，求y与x的函数解析式。

7、已知2y－3与3x＋1成正比例，且x=2时，y=5,

（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；

（2）若点（a，2）在这个函数的图象上，求a.

8、一个一次函数的图象，与直线y=2x＋1的交点M的横坐标为2，与直线y=－x＋2的交点N的纵坐标为1，求这个一次函数的解析式

9、已知直线y=kx+b经过点（，0）且与坐标轴所围成的三角形的面积是，求该直线的解析式

10、设一个等腰三角形的周长为45，一腰为x，底为y,

⑴写出y用x表示函数关系式．确定自变量x的取值范围．

⑵求出当x=15时，y的值，并指出此时三角形是什么三角形？

11、已知直线y=3x与y=－x＋4，求：

⑴这两条直线的交点．⑵这两条直线与y轴围成的三角形面积．

12、已知直线y1=2x－6与y2=－ax+6在x轴上交于A，直线y=x与y1、y2分别交于C、B。

（1）求a；

（2）求三条直线所围成的ΔABC的面积。

13、已知直线x－2y=－k+6和x+3y=4k+1的交点在第四象限内。

（1）求k的取值范围

（2）若k为非负整数，△PAO是以OA为底的等腰三角形，点A的坐标为（2，0）点P在直线x－2y=－k+6上，求点P的坐标及OP的长。

14、我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，雉城镇制定了每月用水4吨以内（包括4吨）和用水4吨以上两种收费标准（收费标准：

指每吨水的价格），用户每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其函数图象如图所示。

⑴观察图