离散数学屈婉玲版第一章部分习题讲解.docx
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离散数学屈婉玲版第一章部分习题讲解
第一章习题
1.1&1.2判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值.
（1）√2是无理数.
是命题,简单命题.p:
√2是无理数.真值:
1
（2）5能被2整除.
是命题,简单命题.p:
5能被2整除.真值:
0
（3）现在在开会吗?
不是命题.
（4）x+5>0.
不是命题.
（5）这朵花真好看呀!
不是命题.
（6）2是素数当且仅当三角形有3条边.
是命题,复合命题.p:
2是素数.q:
三角形有3条边.p↔q真值:
1
（7）雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起.
是命题,复合命题.p:
雪是黑色的.q:
太阳从东方升起.p↔q真值:
0
（8）2008年10月1日天气晴好.
是命题,简单命题.p:
2008年10月1日天气晴好.真值唯一.
（9）太阳系以外的星球上有生物.
是命题,简单命题.p:
太阳系以外的星球上有生物.真值唯一.
（10）小李在宿舍里.
是命题,简单命题.P:
小李在宿舍里.真值唯一.
（11）全体起立!
不是命题.
（12）4是2的倍数或是3的倍数.
是命题,复合命题.p:
4是2的倍数.q:
4是3的倍数.p∨q真值:
1
（13）4是偶数且是奇数.
是命题,复合命题.P:
4是偶数.q:
4是奇数.p∧q真值:
0
（14）李明与王华是同学.
是命题,简单命题.p:
李明与王华是同学.真值唯一.
（15）蓝色和黄色可以调配成绿色.
是命题,简单命题.p:
蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:
1
1.3判断下列各命题的真值.
（1）若2+2=4,则3+3=6.
（2）若2+2=4,则3+3≠6.
（3）若2+2≠4,则3+3=6.
（4）若2+2≠4,则3+3≠6.
（5）2+2=4当且仅当3+3=6.
（6）2+2=4当且仅当3+3≠6.
（7）2+2≠4当且仅当3+3=6.
（8）2+2≠4当且仅当3+3≠6.
答案:
设p:
2+2=4,q:
3+3=6,则p,q都是真命题.
（1）p→q,真值为1.
（2）p→┐q,真值为0.
（3）┐p→q,真值为1.
（4）┐p→┐q,真值为1.
（5）p↔q,真值为1.
（6）p↔┐q,真值为0.
（7）┐p↔q,真值为0.
（8）┐p↔┐q,真值为1.
1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。
（1）如果今天是1号，则明天是2号。
p:
今天是1号。
q:
明天是2号。
符号化为：
p→q
真值为：
1
（2）如果今天是1号，则明天是3号。
p:
今天是1号。
q:
明天是3号。
符号化为：
p→q
真值为：
0
1.5将下列命题符号化。
（1）2是偶数又是素数。
（2）小王不但聪明而且用功。
（3）虽然天气很冷，老王还是来了。
（4）他一边吃饭，一边看电视。
（5）如果天下雨，他就乘公共汽车上班。
（6）只有天下雨，他才乘公共汽车上班。
（7）除非天下雨，否则他不乘公共汽车上班。
（意思为：
如果他乘公共汽车上班，则天下雨或如果不是天下雨，那么他就不乘公共汽车上班）
（8）不经一事，不长一智。
答案：
（1）设p：
2是偶数，q：
2是素数。
符号化为：
p∧q
（2）设p：
小王聪明，q：
小王用功。
符号化为：
p∧q
（3）设p：
天气很冷，q：
老王来了。
符号化为：
p∧q
（4）设p：
他吃饭,q：
他看电视。
符号化为：
p∧q
（5）设p：
天下雨，q：
他乘公共汽车。
符号化为：
p→q
（6）设p：
天下雨，q：
他乘公共汽上班。
符号化为：
q→p
（7）设p：
天下雨，q：
他乘公共汽车上班。
符号化为：
q→p或⌝q→⌝p
（8）设p：
经一事，q：
长一智。
符号化为：
⌝p→⌝q
1.6设p,q的真值为0；r,s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨（q∧r）
（2）（p↔r）∧（¬p∨s）
（3）（p∧（q∨r））→（p∨q）∧（r∧s）
（4）¬（p∨（q→（r∧¬p））→（r∨¬s）
解：
（1）p∨（q∧r）
p
q
r
q∧r
p∨（q∧r）
0
0
1
0
0
（2）（p↔r）∧（¬p∨s）
p
q
r
s
p↔r
¬p
¬p∨s
（p↔r）∧（¬p∨s）
0
0
1
1
0
1
1
0
（3）（p∧（q∨r））→（p∨q）∧（r∧s）
p
q
r
s
q∨r
p∧（q∨r）
p∨q
r∧s
（p∨q）∧（r∧s）
（p∧（q∨r））→（p∨q）∧（r∧s）
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
（4）¬（p∨（q→（r∧¬p））→（r∨¬s）
p
q
r
s
¬p
r∧¬p
q→（r∧¬p）
（p∨（q→（r∧¬p））
（r∨¬s）
¬（p∨（q→（r∧¬p））→（r∨¬s）
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1．7判断下列命题公式的类型。
（1）p→（p∨q∨r）
解：
p
q
r
p∨q
p∨q∨r
p→（p∨q∨r）
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
由真值表可知，该命题公式为重言式。
（2）（p→┑p）→┑p
p
┑p
p→┑p
（p→┑p）→┑p
0
1
1
1
1
0
0
1
由真值知命题公式的类型是：
重言式
（3）┐（q→p）∧p
p
q
q→p
┐（q→p）
┐（q→p）∧p
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
此命题公式是矛盾式。
（4）（p→q）→（﹁q→﹁p）
解:
其真值表为:
p
q
﹁p
﹁q
p→q
﹁q→﹁p
（p→q）→（﹁q→﹁p）
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
由真值表观察,此命题为重言式.
（5）（﹁p→q）→（q→﹁p）
解:
其真值表为:
p
q
﹁p
﹁p→q
q→﹁p
（﹁p→q）→（q→﹁p）
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
由真值表观察,此命题为非重言式的可满足式.
（7）（p∨
p）→（（q∧
q）∧
r）
解：
p
q
r
p∨
p
q∧
q
r
（q∧
q）∧
r
（p∨
p）→（（q∧
q）∧
r）
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
结论：
此命题为矛盾式
1.7（8）
（p↔q）→﹁（p∨q）.
pq
（p↔q）
（p∨q）
﹁（p∨q）
（p↔q）→﹁（p∨q）
00
1
0
1
1
01
0
1
0
1
10
0
1
0
1
11
1
1
0
0
由此可以知道，上式为非重言式的可满足式.
（9）（（ｐ→ｑ）∧（ｑ→ｒ））→（ｐ→ｒ）
解:
p
ｑ
ｒ
ｐ→ｑ
ｑ→ｒ
（ｐ→ｑ）∧（ｑ→ｒ）
ｐ→ｒ
A
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
该命题为永真式
（10）（（p∨q）→r）
s
解：
p
q
r
s
p∨q
（p∨q）→r
（p∨q）→r）
s
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
结论：
此命题为非重言式可满足式
1.8用等值演算法证明下列等值式
（1）（p∧q）∨（p∧﹁q）
p
证明：
（p∧q）∨（p∧﹁q）（分配律）
p∧（q∨﹁q）（排中律）
p∧1（同一律）
p
（3）⌝（p↔q）⇔（（p∨q）∧⌝（p∧q））
证明：
⌝（p↔q）
⇔⌝（（p→q）∧（q→p））
⇔⌝（（⌝p∨q）∧（⌝q∨p））
⇔⌝（⌝p∨q）∨⌝（⌝q∨p）
⇔（p∧⌝q）∨（q∧⌝p）
⇔（（p∧⌝q）∨q）∧（（p∧⌝q）∨⌝p）
⇔（（p∨q）∧（⌝q∨q））∧（（p∨⌝p）∧（⌝q∨⌝p））
⇔（（p∨q）∧1）∧（1∧（⌝q∨⌝p））
⇔（p∨q）∧（⌝q∨⌝p）
⇔（p∨q）∧⌝（p∧q）
1.9用等值演算法判断下列公式的类型。
（1）⌝（（p∧q）→p）.
解：
（1）⌝（（p∧q）→p）
⇔⌝（⌝（p∧q）∨p）蕴含等值式
⇔⌝（⌝（p∧q））∧⌝p德·摩根律
⇔p∧q∧⌝p双重否定律
⇔p∧⌝p∧q交换律
⇔0∧q矛盾律
⇔0零律
即原式为矛盾式.
（2）（（p→q）∧（q→p））↔（p↔q）
解：
（（p→q）∧（q→p））↔（p↔q）
⇔（p↔q）↔（p↔q）
⇔（（p↔q）
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