高中数学经典题型与变式高三版试读版.docx

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高中数学经典题型与变式高三版试读版

第2课不等式性质与基本不等式

2.1用不等式的性质及几个常用不等式（多元消参、取倒数法则、a2+b2≥2|ab|求范围、拖泥带水求最值，

（3）如图，在直角坐标平面xOy内，A（0,-1）,B（3,2）,

x+1

a2+b2

2

a+b≤脱根号、互相垂直的弦）

2

【典例】

问题1：

不等式有哪些基本性质？

对于任意实数a,b,c,d，给出以下六个命题：

（1）若a>b且c>d，则a+c>b+d；

（2）若a,b,c,d为实数，且a>b，c>d，则a-c>b-d；

C（-3,2），点（x,y）在∆ABC内和边界上，求

值范围.

的取

y+2

（3）若a>2,b>2，则a2+b2>4；

（4）在∆ABC中，角A,B,C所对边分别是a,b,c，

（4）设a∈R，则“a>1”是“a2>1”的充要条件。

其中真命题的有．

问题2：

两个不等式的不等号相同，它们就可以直接相加，可以用来求取值范围，那么能不能相减？

（1）已知0<α<π,0<β<π，分别求α+β，α-β，

B=π.若π≤A≤π,求c的取值范围。

364a

问题5：

不等式a2+b2≥2ab成立的条件是什么？

（1）已知a,b,c∈R，求证：

a2+b2+c2≥ab+bc+ac；

a4+4b4+1

22

（2）已知a,b∈R,ab>0,求ab

的最小值;

2α-β，β-α的取值范围．

（2）已知tanα=2,tanβ=-1，α,β∈（0,π），求

3

1x2+y2

>

（3）已知xy0，求2xy++的最小值；

xyx2y2

（4）已知a2+1=2b2，求a2+4b2-4ab的最小值。

α+β的值.

5

（3）已知tanα=-1，cosβ=，α,β∈（0,π），

（5）已知x,y>0，求

（x+2）2

y

+（y+2）2

x

的最小值．

35

求α+β的值.

问题3：

由0≤a≤1，0≤b≤1，点（a,b）所分布的区域什么形状？

当a,b为何值时，a+b的最大值是2？

2a-b的取值范围呢？

（1）已知-1≤x+y≤1，-1≤x-y≤5，则3x-y的取

值范围是.

（2）已知12

b

值范围．

（3）已知3x+2y+2z=0，3x>2z>2y．求y的取

x

值范围.

问题6：

若ab为定值，利用等式a2+b2≥2ab可求a2+b2得最小值，反之可求ab的最大值，那ab最小值可到多少？

（1）已知a,b∈R，比较a2+b2与2ab的大小．

（2）已知x+y=1，求xy的取值范围.

（3）已知x2+y2-2xy=5，求xy的最小值。

（4）已知关于x的不等式ax2+bx+c>0（a，b，

c∈R）的解集为{x|3

求c2+5的最小

a+b

值．

（5）设a为实常数，函数f（x）是定义在R上的奇函

a

2

数，当x<0时，f（x）=9x+-7。

若f（x）≥+对一

a1

x

问题4：

虽然2<，但是它们的倒数1>1，假如

323切x≥0成立，求实数a的取值范围.

11问题7：

若a,b,c>0，a2+b2=c2，且ab=k⋅c，

a呢？

如果0

a

ab

呢？

a<0

能否根据a2+b2≥2ab求出c的最值？

在平面直角坐标系xOy中，设直线l与椭圆C：

x2+y2=相交于A，B两点，且∠=π．

（1）求下列函数的值域：

541

AOB2

①f（x）=

1

-x2+2x-3

；②g（x）=

xx2+4

（1）求证：

原点O到直线AB的距离为定值；

（2）求AB的最小值．

（2）已知正实数a,b,c满足1+1=1，且1+1=1，

ab

求实数c的取值范围

a+bc

问题8：

假如a+b=S，那么如何求a+

值？

b的最大

（1）设a>0,b>0，且a2+b2=3，则a+

的最（-∞,-5]4+∞），那么当x≠-1时，x+1=1；当

1+b2

大值为．

（2）已知实数x,y满足x-

[,

x+1=

23

y+3

-y，则x+y

y+2

y+2

x+1

的最大值为．

x=-1时，x+1=0.x+1的取值范围是[-54。

]

y+2y+223

3

（）已知1

22

值．

m

2x-1+

5-2x的最大

2.

若a,b∈R，总有a2+b2≥2ab

（1）利用a2+b2≥2ab放缩

不等式a2+b2≥2ab成立的条件仅仅是a,b为实

（4）设曲线y=x+1（m>0）在x=t（t≠-1）处的切线为l，

则点P（2t,-1）到直线l的最大值距离为

问题9：

若x2+y2=r2，如何求ax+by的最值？

若

数，而不必要求是正数，那么在遇到a,b为实数的问题，我们都可以直接采用该公式对等式进行放缩，获得我们所要的形式．

（2）由a2+b2≥2ab可实现a2+b2与ab的互化

PA2+PB2=r2，PA+PB、PA⋅PB与x+y,xy的取值范围有何不同？

a2+b2-ab

比如

2ab

的分子a

2+b2

可放缩成2ab，此手

（1）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx-y-m+3=0交于点P，求|PA|+|PB|

的取值范围。

段可以用于余弦定理求角的取值范围。

（3）由a2+b2为定值求ab的最大值

假如a2+b2=m（m>0），因为a2+b2≥2ab，所以

1

m≥2ab，所以ab的最大值是m。

2

问题10：

已知圆O：

x2+y2=4，若EF、MN为圆O的两条相互垂直的弦，垂足为P（1,2），设圆心O到直线EF,GH的距离分别为d1,d2,垂足分别为C,D,这里隐含一个怎样的等量关系？

试求解下

列各题：

（1）求|EF|2+|MN|2的值；

（2）求四边形EGFH的面积的最大值；

（3）求|EF|+|MN|的最大值。

（4）求直线CD经过的定点坐标。

【感悟】

1.不等式中的取到数法则：

（1）实数与其倒数大小关系模型

若ab>0，则0<1<1；

（4）利用a2+b2≥2ab“拖泥带水”求最值

该题型采用的方法最典型的特点是在使用基本不等式时没有直接利用定值。

如AB2=OA2+OB2≥2OA⋅OB=2AB⋅h，此时经过放缩之后不等式右边并没有得到定值，但是仔细分析发现AB2≥2AB⋅h的左右两边有两个相同的因式，此时只要抵消掉AB，即可得到最小值．这种方法如同“拖泥带水”，印象极为深刻。

3.若a,b∈R，总有a2+b2≥2|ab|

（1）由a2+b2为定值求ab的最小值

假如a2+b2=m（m>0），由a2+b2≥2ab（a,b∈R）是求不出ab的最大值，但a2+b2≥2ab，利用公式得

则m≥2|ab|，即|ab|≤1m，故ab的最小值是-1m。

ba

若a<0

ab

ba

另外a=

2

mcosx,b=

1

2

msinx,x∈[0,2π），

1

（2）取倒数法则的逆用

如由于tanC>1，所以0<

1<3，这里利用

那么ab=mcosxsinx=msin2x，可见|ab|≤m。

22

（2）由a+b为定值求ab的取值范围

3tanC

若a,b>0，则a+b≥2

ab，设a+b=m（m>0），

的就是取倒数。

值得注意的是一个正数取倒数不能

1

所以0

1m2，故ab的取值范围是（0,1

m2]。

是不可能变成负数，因此这里不等得到

当然负数取倒数也不能变成正数。

<3。

tanC

44

4.无理式“脱根号”的途径

如图，x+1就是点P（-1,-2）和线段AB的点Q（x,y）y+2

（1）用不等式

≥a+b可以将无理式“脱根号”

a2+b2

2

2

的连线的斜率的倒数。

（2）用x+y≤对无理式a+

x2+y2

2

b2+m

2

号凑定值”

（3）平方也可以去根号

“脱根

（2x-1）（5-2x）

如求2x-1+5-2x的最小值，通过平方得，

（2x-1+

5-2x）2=4+2

再用基本不等式．

因为k≤-5或k≥4。

所以y+2的取值范围是

5.

实际问题中善于抽象出条件最值模型

PQ2

PQ3

x+1

（1）满足|PA|2+|PB|2=10的动点P的轨迹不是一个完整的圆，更不是内部

⎨

不等式组⎧⎪x2+y2=10表示的区域是圆弧的四分

⎪⎩x≥0,y≥0

之一，即点P（x,y）仅限于圆弧，不能误认为是下面

12

的图

（1）、图

（2）中的阴影部分。

（2）圆中一个含有d2+d2为定值的经典模型

12

由于互相垂直的弦和两弦心距围成一个矩形，从而使得d2+d2=3成为一个重要隐含条件，同时也是一个定值，在利用基本不等式求最值时，要充分利用这个定值。

2.2利用基本不等式求最值（双换元、代数换元、多次使用基本不等式、简化分母）

【典例】

问题1:

已知a,b>0，由基本不等式a+b≥2

ab怎样求

（5）若x>1，求2x+

9+

x+1

1

x-1

的最小值。

最大值或最小值？

（1）已知x,y∈R+，且满足x+y=1，则xy的最大

34

值为．

（2）设x>0,y>0，xy=4，则x+2y的最小值

是．

问题4：

已知m⋅n=k，可求m+n的最小值，条件形如（ax+cy）（bx+dy）=k（特别地k=1）如何求最值？

形如abx2+（ad+bc）xy+cdy2=k呢？

（1）若（x+y）（y-7x）=4，求x2+y2的最小值．

x-2y

（2）已知x,y满足2x2+xy-y2=1，求22

（3）某校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，

的取值范围

5x-2xy+2y

并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路（如图

所示）.问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？

并求出占地面积的最小值．

（4）已知函数f（x）=2x2-3x-lnx+ex-a+4ea-x,其中e为自然对数的底数,若存在实数x0使f（x0）=3

（3）已知a>b，满足2a2-ab-b2=4，求2a-b的最小值．

（4）已知实数x,y满足x（x+y）=1+2y2，求5x2-4y2

的最小值。

（5）已知0

成立,求实数a的值.

y-x2x+y

问题2：

利用基本不等式可实现“a+b”“ab”互化，但实际操作时不一定有现成的条件，你该怎么办？

（6）如图，在平面直角坐标系xOy中，若△ABC

中，AB=2，BC=8，∠B=45°，D为△ABC所在平面内一点，且满足（ABAD）（ACAD）=4，求AD长

（1）若正实数x,y满足2+

x+1

4

y+2

=1,则xy的最小

度的最小值．

值.

（2）已知a,b,c分别为∆ABC三个内角A,B,C的对边，a=2,A=60︒，求∆ABC周长取值范围。

问题3：

利用基本不等式，免不了多次使用，而且

可以连环或者同时用。

若x>0,y>0，且2+3=1，

xy

6

xy

问题5：

什么是条件最值？

你觉得a+2b=1仅仅提供定值吗？

6

xy

2+3≥2

xy

，所以xy≥24；又x+y≥2

≥4，

（1）已知a>0,b>0，2a+b=1，求4a2+b2+4

最大值．

ab的

6

是不是可以说目标函数x+y的最小值式4？

（2）已知a>0,b>0，a+2b=1，求a2+4b2+1的最

ab

（1）已知a,b,c是不全相等的正实数，

ab

bc

ac

求证：

a+b+c>++.

小值。

（3）设1≤a≤2,1≤b≤2，求a2+b2的最大值．

（2）若a>b>0，求a2+

16

b（a-b）

的最小值．

ab

（4）已知a<0,b<0，且ab=1，求a2+b2

的最大

值。

（3）设a>b>0，求a2+1+1的最小值．

aba（a-b）

a+b

（4）已知a,b>0，9a2+b2=1，求ab的最大值

3a+b

（6）已知a>0,b>0，a+2b=5，求2ab+a+2b+1的

ab

最小值。

问题6：

你会求函数y=x+1的值域吗？

x

（1）设实数x,y∈R，x2-2xy=1，求x-y的取值范围

（2）数列{an}是等比数列，a2=1，公比为q，求

分式分子是二次多项式、分母是单项式或一次多项式，主要采用哪种途径创造定值？

反过来呢？

x

（1）当x>0时，函数y=x2+4x+3的最小值是．

x+2

（2）当x>-2时，函数y=x2+2x+5的最小值是．

前三项的和S3；

11

（2）已知函数f（x）=x2+2x图像上有A（x,y），

（3）求函数y=

3xx2+4

的值域．

x（x2+1）

B（x,y）（x

<0）两个不同的点，若曲线f（x）分别

（4）若x>0，求函数f（x）=22

的最大

2212

（4x+1）（x

+4）

在点A,B处的切线互相垂直，求2x1-x2的最大值。

问题7：

从图形角度看，什么是函数在某区间上的

值．

3sinA

（5）已知角A是三角形的∆ABC内角，求函数

最小值？

根据基本不等式可得a+b≥2

ab，求a+b的

y=

的最大值。

最小值是不是“取等号”就是最小值了？

（1）已知函数f（x）=x+2和函数g（x）=2

x-1

2x图象

x-1

1+3sin2A

问题9：

从数的角度看，什么叫函数在某区间上的最小值？

如何理解虽然ab等于定值S，且a+b≥2ab

在x=2处相切，如图，可以说不等式x+

2≥2

2xx-1

x-1

，但是2S还不是a+b最小值？

此类问题怎么办？

在（1,+∞）上恒成立吗？

上述不等式成立的条件时？

（1）已知函数f（x）=sinx+4,x∈（0,π）,求函数f（x）的

sinx

这说明什么道理？

最小值

x2+5

（2）求函数y=的最小值．

x2+4

（3）已知a+b=1,a,b>0，求ab+

4的取值范围。

ab

（2）设x>0，函数f（x）=x2+8与g（x）=42x的图象

x

相切于（2,8），借助上图，说明为什么函数f（x）=x2+8

x

的最小值不是8？

正确答案是什么？

x2y2444y4x

（4）已知实数m,n,x,y满足m2+n2=a，x2+y2=b，其中常数a,b>0,a≠b，求mx+ny的最大值．

（5）设a>0,b>0，且a+b=1，求（a+1）2+（b+1）2的

ab

最小值．

问题10：

利用基本不等式求最值的规律就是最值定理，最值定理应满足哪三个条件，才能求定值？

（1）已知函数f（x）=|lgx|且f（a）=f（b），0

求a+b的取值范围。

（3）已知x,y>0，求

小值．

+++++的最

yxyxxy

（2）已知函数f（x）=|lgx|且f（a）=f（b），0

（4）已知n∈N+，求证：

（1+1）n<（1+

1）n+1．

（3）已知函数f（x）=|lgx|且f（a）=f（b），a,b为互不

nn+1

（5）如图，已知正四棱锥P-ABCD的侧棱长PA=1，求四棱锥P-ABCD的体积的最大值。

（6）如图，在矩形ABCD中，AC＝1，AE⊥BD，垂足为E，求（AEAD）（CBCA）的最大值。

问题8：

分式函数求最值最常用的方法是什么？

当

相等的正实数，求a+4b的取值范围。

（4）在平面直角坐标系xOy内，过平面内一点P作圆C:

（x-1）2+（y-2）2=1的切线，切点分别为A、B，求

PAPB的最小值。

（5）在平面直角坐标系xOy内，过直线l:

y=x-1上任

意一点P作圆C:

（x-1）2+（y-2）2=1的切线，切点分别为A、B，求PAPB的最小值.

问题11：

一般地任何一个数学问题，它的条件和要求解得问题之间存在必然的联系，那么我们应该从那些方面去发现并利用这些联系？

（1）已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是．

（2）若正实数x,y满足2x+y+6=xy，求xy的最

小值．

（3）已知x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，求2x+y

的最大值．

（4）已知x>0,y>0,2x+y+xy=6,求4x2+y2的最小值．

（5）已知x>0,y>0,x+2y-2xy=0，则x+2y的最

小值是．

如分解因式2x2+xy-y2=1得（2x-y）（x+y）=1，设2x-y,x+y互为倒数，因此可代数换元，把x,y用t表示，这叫“代数换元”。

2.基本不等式求最值满足的条件

（1）最值定理应用首先满足“一正”

计算x+1的最值,不能忽视x,1可能为负数,

问题12：

数形结合是解决数学问题教好的思想方xx

法，不少不等式问题形似不等式，其实是考查圆锥

应分类讨论。

但身处实战环境中，往往完全忘记。

曲线、圆等知识交汇迁移能力。

除了较典型的“隐圆”问题还有哪些典型问题？

如求数列的前三项之和S3

=1+1+q的取值范

q

（1）如图，在∆ABC中AB=10,E,F在AB上，AE=

BF=1,CE+CF=10,求tanA+tanB的最小值。

（2）如图，已知A、B分别为∠POQ中两边上的点，D为平面内任一点，若因为DA+DB=10，AB=6，试求∆DAB的面积的最大值。

（2）在∆DAB中，因为DA+DB=10，AB=6，所

围，最容易忽视q<0的情形．

（2）创造定值的几种途径

①n个正数的几何平均数不超过算术平均数

na1a2a3a4an

≤a1+a2+a3+a4++an，当且仅当

n

a1=a2=a3=a4==an时等号成立。

即n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

3abc

特别地，若a,b,c>0，则a+b+c≥当且仅

3

当a=b=c取等号。

那么求a+b+c的最小值，就要

3

满足