高中数学经典题型与变式高三版试读版.docx

1、高中数学经典题型与变式高三版试读版第 2 课 不等式性质与基本不等式2.1用不等式的性质及几个常用不等式（多元消参、 取倒数法则、a2 + b2 2 | ab | 求范围、拖泥带水求最值，（3）如图，在直角坐标平面 xOy 内， A(0, -1), B(3, 2),x + 1a2 + b22a + b 脱根号、互相垂直的弦）2【典例】问题 1：不等式有哪些基本性质？对于任意实数 a, b, c, d ，给出以下六个命题：（1）若 a b 且c d ，则 a + c b + d ；（2）若a,b,c,d为实数，且 a b ，cd，则a-c b-d ；C(-3, 2) ，点(x, y) 在 ABC

2、 内和边界上，求值范围.的取y + 2（3）若 a 2, b 2 ，则 a2 + b2 4 ；（4）在 ABC 中，角 A,B,C 所对边分别是 a,b, c ，（4）设 a R ，则“ a 1”是“ a2 1 ”的充要条件。其中真命题的有 问题 2：两个不等式的不等号相同，它们就可以直接相加，可以用来求取值范围，那么能不能相减？（1）已知0 , 0 0 ,求 ab的最小值;2- ， -的取值范围（ 2 ） 已知 tan= 2, tan = - 1 ， , (0,) ， 求31 x2 + y2（3）已知 xy 0 ，求 2xy + + 的最小值；xy x2 y2（4）已知 a2 +1 = 2b

3、2 ，求 a2 + 4b2 - 4ab 的最小值。+ 的值. 5（3）已知 tan= - 1 ， cos = ，, (0,) ，（5）已知 x, y 0 ，求(x + 2)2y+ ( y + 2)2x的最小值3 5求+ 的值.问题 3：由0 a 1 ， 0 b 1 ，点 (a,b) 所分布的区域什么形状？当a, b 为何值时，a + b 的最大值是 2？ 2a - b 的取值范围呢？（1）已知-1 x + y 1，-1 x - y 5 ，则3x - y 的取值范围是 .（2）已知12 a 60 ， 15 b 2z 2 y 求 y 的取x值范围.问题 6：若 ab 为定值，利用等式 a2 + b

4、2 2ab 可求a2 + b2 得最小值，反之可求 ab 的最大值，那 ab 最小值可到多少？（1）已知 a, b R ，比较 a2 + b2 与 2ab 的大小（2）已知 x + y = 1，求 xy 的取值范围.（3）已知 x2 + y2 - 2xy = 5 ，求 xy 的最小值。（4）已知关于 x 的不等式 ax2 + bx + c 0 ( a，b，cR ) 的解集为 x | 3 x 4。求 c2 + 5 的最小a + b值 （5）设 a 为实常数，函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函a2数，当 x 0 时， f (x) = 9x + - 7 。若 f (x) + 对一a 1x问题

5、4：虽然 2 1 ，假如32 3 切 x 0 成立，求实数 a 的取值范围.1 1 问题 7：若 a, b, c 0 ， a2 + b2 = c2 ，且 ab = k c ，a 呢？如果0 a b 呢？ a b 0ab呢？ a 0 0,b 0 ，且 a2 + b2 = 3 ，则 a +的最 (-, - 5 4 +)，那么当 x -1 时， x + 1 = 1 ；当 1 + b2大值为 （2）已知实数 x, y 满足 x - ,x + 1 =2 3y + 3- y ，则 x + yy + 2y + 2x + 1的最大值为 x = -1时， x + 1 =0. x + 1 的取值范围是- 5 4

6、。, y + 2 y + 2 2 33（ ）已知 1 x 0) 在 x = t(t -1) 处的切线为l ，则点 P(2t, -1) 到直线l 的最大值距离为 问题 9：若 x2 + y2 = r 2 ，如何求 ax + by 的最值？若数，而不必要求是正数，那么在遇到 a, b 为实数的问题，我们都可以直接采用该公式对等式进行放 缩，获得我们所要的形式（2）由 a2 + b2 2ab 可实现 a2 + b2 与 ab 的互化PA2 + PB2 = r 2 ， PA + PB 、 PA PB 与 x + y, xy 的取值范围有何不同？a2 + b2 - ab比如2ab的分子 a2 + b2可

7、放缩成 2ab ，此手（1）设 m R ，过定点A的动直线 x + my = 0 和过定点B的直线 mx - y - m + 3 = 0 交于点P，求| PA | + | PB |的取值范围。段可以用于余弦定理求角的取值范围。（3）由 a2 + b2 为定值求 ab 的最大值假如 a2 + b2 = m(m 0) ，因为 a2 + b2 2ab ，所以1m 2ab ，所以 ab 的最大值是 m 。2问题 10：已知圆O ： x2 + y2 = 4 ， 若 EF 、 MN 为圆 O 的两条相互垂直的弦，垂足为 P(1, 2) ，设圆心 O 到直线 EF ,GH 的距离分别为 d1 , d2 ,垂

8、足分别为 C,D,这里隐含一个怎样的等量关系？试求解下列各题：（1）求| EF |2 + | MN |2 的值；（2）求四边形 EGFH 的面积的最大值；（3）求| EF | + | MN | 的最大值。（4）求直线 CD 经过的定点坐标。【感悟】1.不等式中的取到数法则：（1）实数与其倒数大小关系模型若 a b 0 ，则 1 1 b 0 ，则0 1 0) ，由 a2 + b2 2ab(a, b R) 是求不出 ab 的最大值，但 a2 + b2 2ab ，利用公式得则 m 2 | ab |，即| ab | 1 m ，故 ab 的最小值是- 1 m 。 ba若 a 0 b ，则 1 0 1 ，

9、所以 0 1 0 ，则 a + b 2ab ，设 a + b = m(m 0) ，的就是取倒数。值得注意的是一个正数取倒数不能1所以0 ab 1 m2 ，故 ab 的取值范围是 (0, 1 m2 。是不可能变成负数，因此这里不等得到当然负数取倒数也不能变成正数。 0 ，由基本不等式 a + b 2ab 怎样求（5）若 x 1 ，求 2x +9 +x + 11x -1的最小值。最大值或最小值？（1）已知 x, y R+ ，且满足 x + y = 1，则 xy 的最大3 4值为 （2）设 x 0, y 0 ， xy = 4 ，则 x + 2 y 的最小值是 问题 4：已知 m n = k ，可求

10、m + n 的最小值，条件形如 (ax + cy)(bx + dy) = k （特别地 k = 1 ）如何求最值？ 形如 abx2 + (ad + bc)xy + cdy2 = k 呢？（1）若(x + y)( y - 7x) = 4 ，求 x2 + y2 的最小值 x - 2 y（2）已知 x, y 满足 2x2 + xy - y2 = 1 ，求 2 2（3）某校要建一个面积为 392 m2 的长方形游泳池，的取值范围5x - 2xy + 2 y并且在四周要修建出宽为 2m 和 4 m 的小路（如图所示）.问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面 积最小？并求出占地面积的最小值（4）已知函数

11、f (x) = 2x2 - 3x - ln x + e x -a + 4e a - x ,其中 e 为自然对数的底数,若存在实数 x0 使 f (x0 ) = 3（3）已知 a b ，满足 2a2 - ab - b2 = 4 ，求2a - b 的最小值（4）已知实数 x, y 满足 x(x + y) = 1 + 2 y2 ，求5x2 - 4 y2的最小值。（5）已知0 x 0, y 0 ，且 2 + 3 = 1 ，xy6x y问题 5：什么是条件最值？你觉得 a + 2b = 1仅仅提供定值吗？ 6xy2 + 3 2x y，所以 xy 24 ；又 x + y 2 4 ，（1）已知 a 0,b

12、0 ，2a + b = 1，求4a2 + b2 + 4最大值ab 的6是不是可以说目标函数 x + y 的最小值式 4 ？(2)已知 a 0,b 0 ， a + 2b = 1，求 a2 + 4b2 + 1 的最ab（1）已知 a, b, c 是不全相等的正实数，abbcac求证： a + b + c + + .小值。（3）设1 a 2,1 b 2 ，求 a2 + b2 的最大值（2）若 a b 0 ，求 a2 +16b(a - b)的最小值ab（4）已知 a 0, b b 0 ，求 a2 + 1 + 1 的最小值ab a(a - b)a + b（4）已知 a, b 0 ， 9a2 + b2 =

13、 1 ，求 ab 的最大值3a + b（6）已知 a 0,b 0 ，a + 2b = 5 ，求 2ab + a + 2b + 1 的ab最小值。问题 6：你会求函数 y = x + 1 的值域吗？x（1）设实数 x, y R ， x2 - 2xy = 1 ，求 x - y 的取值范围（2）数列an 是等比数列， a2 = 1 ，公比为 q ，求分式分子是二次多项式、分母是单项式或一次多项 式，主要采用哪种途径创造定值？反过来呢？x（1）当 x 0 时，函数 y = x2 + 4x + 3 的最小值是 x + 2（2）当 x -2 时，函数 y = x2 + 2x + 5 的最小值是 前三项的和

14、 S3 ；1 1（2）已知函数 f (x) = x2 + 2x 图像上有 A(x , y ) ，（3）求函数 y =3x x2 + 4的值域x(x2 +1)B(x , y ) (x x 0 ，求函数 f (x) = 2 2的最大2 2 1 2(4x +1)(x+ 4)在点 A,B 处的切线互相垂直，求 2x1 - x2 的最大值。问题 7：从图形角度看，什么是函数在某区间上的值 3 sin A（ 5 ） 已知角 A 是三角形的 ABC 内角， 求函数最小值？根据基本不等式可得 a + b 2ab ，求 a + b 的y =的最大值。最小值是不是“取等号”就是最小值了？（1）已知函数 f (x)

15、 = x + 2 和函数 g(x) = 2x -1 2x 图象x -1 1+ 3sin2 A问题 9：从数的角度看，什么叫函数在某区间上的最小值？如何理解虽然 ab 等于定值 S ，且 a + b 2 ab在 x = 2 处相切，如图，可以说不等式 x +2 22x x -1x -1，但是 2 S 还不是 a + b 最小值？此类问题怎么办？在(1, +) 上恒成立吗？上述不等式成立的条件时？（1）已知函数 f (x) = sin x + 4 , x (0,) ,求函数 f (x) 的sin x这说明什么道理？最小值x 2 + 5（2）求函数 y = 的最小值x 2 + 4（3）已知 a +

16、b = 1,a,b 0 ，求 ab +4 的取值范围。ab（2）设 x 0 ，函数 f (x) = x2 + 8 与 g(x) = 4 2x 的图象x相切于(2, 8) ，借助上图，说明为什么函数 f (x) = x2 + 8x的最小值不是 8？正确答案是什么？x2 y2 4 4 4 y 4x（4）已知实数 m, n, x, y 满足 m 2 +n2 = a ， x2 + y2 = b ， 其中常数 a,b 0, a b ，求 mx + ny 的最大值（5）设 a 0,b 0 ，且 a + b = 1 ，求(a + 1 )2 + (b + 1)2 的a b最小值问题 10：利用基本不等式求最值

17、的规律就是最值定理，最值定理应满足哪三个条件，才能求定值？（1）已知函数 f (x) =| lg x | 且 f (a) = f (b) ， 0 a 0 ，求小值+ + + + + 的 最y x y x x y（2）已知函数 f (x) =| lg x | 且 f (a) = f (b) ， 0 a b ， 求 a + 4b 的取值范围。（4）已知 n N + ，求证： (1 + 1 )n 0, y 0, x + 2 y + 2 xy = 8 ，则 x + 2 y 的最小值是 （2）若正实数 x, y 满足 2x + y + 6 = xy ，求 xy 的最小值 （3）已知 x, y 为实数，若

18、4x2 + y2 + xy = 1，求 2x + y的最大值（4）已知 x 0, y 0, 2x + y + xy = 6 ,求 4x2 + y2 的最小值（5）已知 x 0, y 0, x + 2 y - 2 xy = 0 ，则 x + 2 y 的最小值是 如分解因式 2x2 + xy - y2 = 1 得(2x - y)(x + y) = 1 ，设2x - y, x + y 互为倒数，因此可代数换元，把 x, y 用t 表示，这叫“代数换元”。2. 基本不等式求最值满足的条件(1)最值定理应用首先满足“一正”计算 x + 1 的最值,不能忽视 x, 1 可能为负数,问题 12：数形结合是解

19、决数学问题教好的思想方 x x法，不少不等式问题形似不等式，其实是考查圆锥应分类讨论。但身处实战环境中，往往完全忘记。曲线、圆等知识交汇迁移能力。除了较典型的“隐 圆”问题还有哪些典型问题？如求数列的前三项之和 S3= 1 + 1+ q 的取值范q（1）如图，在ABC 中 AB=10,E,F 在 AB 上，AE=BF=1,CE+CF=10,求 tan A + tan B 的最小值。（2）如图，已知 A、B 分别为POQ 中两边上的点， D 为平面内任一点，若因为 DA + DB = 10 ， AB = 6 ， 试求 DAB 的面积的最大值。（2）在 DAB 中，因为 DA + DB = 10 ， AB = 6 ，所围，最容易忽视 q 0 ，则 a + b + c 当且仅3当 a = b = c 取等号。那么求 a + b + c 的最小值，就要3满足