27届亚太杯决赛五年级.docx
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27届亚太杯决赛五年级
27届亚太杯上海赛区决赛五年级解析
1、定义新运算“*”：
x*y=（x+y）⨯（x-y），那么6*（3*2）=。
【解析】3*2=（3+2）⨯（3-2）=5，6*（3*2）=6*5=（6+5）⨯（6-5）=11
2、计算:
（102.4＋89.6—38×5）×（2016—126×16）=。
【解析】原式=（102.4+89.6-38⨯5）⨯（2016-2016）=0
3、如图，将一个周长为24厘米的大长方形的纸片剪成9个小长方形的纸片，那么这9个小长方形纸片的周长之和是厘米。
【解析】原来长方形的周长由2长、2宽组成，横切2刀增加了4长，竖切2刀增加了
4宽，所以9个小长方形周长总和为6长6宽，是大长方形周长的3倍，为
24⨯3=72
4、1，2，3，…，2016中，既不是5的倍数，又不是7的倍数的数有个。
【解析】2016÷5=4031，所以1到2016中5的倍数有403个
2016÷7=288，所以1到2016中7的倍数有288个
2016÷35=5721，所以1到2016中既是5的倍数又是7的倍数的数有57
个
所以1到2016中，既不是5的倍数，又不是7的倍数的数有
2016-（403+288-57）=1382个
5、在2016后面补上两个数码，组成一个六位数，它既能被8整除，也能被9整除，则此六位数最小是。
【解析】201600÷72=2800，所以这个六位数最小就是201600
6、如下图所示，把边长为1厘米的正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体。
当这三个长方体的体积比是1：
2：
3时，三个长方体的表面积之和是平方厘米。
【解析】这里体积比是迷惑条件，切两刀共增加4个面，原来有6个面，所以三个长方体表面积之和为（4+6）⨯12=10
7、对于数字4、6、7、9，用加、减、乘、除、添括号中的运算符号，组成一个算式，使得算式的结果是24，算式为。
【解析】（7+9）÷4⨯6=24
8、若质数p既是某两个质数的和，又是某两个质数的差，则p=。
【解析】由于p可以写成两个质数的和，所以最小为2+2=4，所以p是一个不小于4的质数，所以p一定是奇数，只能是一奇加一偶，所以要想写成两个质数的和只能是p=2+a
同理，由于p是奇数，所以要想写成两个质数的差只能是p=b-2
这时我们发现a,p,b这三个质数构成了一个公差为2的等差数列
易知这三个数中一定有一个3的倍数，由于三个都是质数，所以其中一定有一个3，所以这三个质数只能是3、5、7，所以p=5
9、用1，2，3，4这四个数字组成的四位数中，比2016大且无重复数字的四位数有个。
【解析】要比2016大，那么千位只能是2、3、4，而千位是2、3、4，这个数就比2016
大，有3⨯3⨯2⨯1=18个
10、4堆小球共有2016颗，如果从每堆中取走相同数目的小球以后，第一堆全部取完，第二堆还剩下20颗小球，第三堆剩下的小球数是第四堆剩下的小球数的3倍，那么第四堆原来有颗小球。
【解析】设每堆取走a个，第四堆剩下b个，所以第一堆原来有a个，第二堆原来有a+20
个，第三堆原来有a+3b个，第四堆原来有a+b个
由题意，有a+a+20+a+3b+a+b=2016⇒a+b=499，所以第四堆原来有
499个
11、一次考试，男生的平均分比总平均分低2分，女生的平均分比总平均分高3分.男
生的总分数是2106分，女生的总分数是1494分，则男生有人。
【解析】由于男生平均分比总平均分低2分，女生平均分比总平均分高3分，所以男女生人数比为3:
2，记男生人数为3份，女生人数为2份
那么各取出1份男生和1份女生
那么这些男生总分为2106÷3=702，这些女生总分为1494÷2=747
此时，男女生人数相同，平均分相差2+3=5分，总分相差747-702=45分，所以1份有45÷5=9人
所以男生有3⨯9=27人
12、1，2，3，…，2016中，最多能取出个数，使得取出的这些数中任意两个不同的数的和都不是7的倍数。
【解析】2016÷7=288，所以1到2016中除以7余1的有288个，余2的有288个，
余3的有288个，余4的有288个，余5的有288个，余6的有288个，余0
的有288个
所以余1、余6的两组只能取1组；余2、余5的两组只能取1组；余3、余4
的两组只能取1组；余0的只能取1个所以最多取出288+288+288+1=865个
13、甲、乙两人分别从ft顶和ft脚同时出发，沿同一ft道行进.两人上ft的速度都是15米/分，下ft的速度都是24米/分.甲到达ft脚后立即返回，乙到达ft顶后休息12分钟后返回，两人在距ft顶720米处再次相遇，则ft道长为米。
【解析】两人上山速度相同，下山速度相同，甲走一个来回是先下山再上山；乙走一个来回是先上山再下山，走一个来回所用时间相同
但是乙到达山顶后休息了12分钟，也就是说，当甲回到山顶后，乙还需要12
分钟才能回到山脚
两人相遇后，甲还要走720米，720÷15=48分钟才能到达山顶
乙比甲晚12分钟回到山脚，所以乙需要48+12=60分钟，再走24⨯60=1440米才能回到山脚
所以，山道长1440+720=2160米
乙12分钟乙48分钟甲48分钟
ft脚
相遇地点
ft顶
14、一个四位数，如果前两位数能整除2016，且前两位数乘以后两位数能被2016整除，则这个四位数最大是。
【解析】2016=25⨯32⨯7，要使这个四位数最大，那么前两位要取2016最大的两位约数，99、98、97、96从大到小验证，发现96是2016的约数，所以前两位取
96
2016÷96=21，所以后两位要是21的倍数，最大为84
所以这个四位数最大为9684
15、A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游240千米处.甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地，乙船到达A地后，都立即按原来路线返航.已知水速为3米/秒，且两船在静水中的速度相同。
如果两船第二次相遇与第一次相遇的地点相距72千米，那么两船在静水中的速度是米/秒。
【解析】如下图，设第一次相遇地点为C，第二次相遇地点为D，第一次，甲走了AD，乙走了DB，两船一顺一逆合走了一个全程
由于两船静水速度相同，所以两船的顺水速度、逆水速度也相同
所以两船走一个来回所用时间相同，即当甲回到A时，乙同时回到B
我们发现两船第二次相遇在C后，相同时间内，甲走CA，乙走CB，也是一顺一逆合走一个全程
所以与第一次相遇情况相同，所以AC=DB=（240-72）÷2=84
所以第一次相遇时，甲走了156千米，乙走了84千米
所以v顺:
v逆=156:
84=13:
7，而v顺-v逆=2⨯3=6，所以可得v顺=13，v逆=7，所以静水速度为10米/秒
甲乙
ACDB
【注】也可使用柳卡图得出两次相遇地点关于中点对称
At逆
t顺+t逆
B
顺t逆+t顺
16、若A=3+33+333+…+33…33，则A的前三位数字组成的三位数和后三位数字组
333个3
成的三位数之和是。
⎛⎫
【解析】A=ç9+99+999+…+99…99⎪÷3
⎝333个9⎭
=⎛10-1+100-1+1000-1+…+100…00-1⎫÷3
ç
⎝
=⎛11…110-333⎫÷3
⎪
333个0⎭
ç⎪
⎝333个1⎭
=370…370-111
111个370
所以前三位是370，末三位是370-111=259，和为370+259=629
17、1，2，…，2016中，能被7整除且被5除余2的数共有个。
【解析】能被7整除且被5除余2的数是35k+7
2016÷35=5721，所以1到2016中有35⨯0+7到35⨯57+7，共58个
18、把2016拆成19个不同的自然数的和,其中最大数与最小数的差的最小值是。
【解析】要使最大数与最小数的差要小，那么这19个数最好尽可能接近，最理想的情况是公差为1的等差数列
即后18个数比最小的数依次大1、2、3、……、18
那么可得最小数为（2016-1-2-3--18）÷19=1845÷19
可惜1845÷19=972，所以97到115这19个数的和还少了2，所以让最大的两个数增加1，即取97到113，再加上115、116，此时最大数与最小数的差最小，为19
【注】19个数中，最大数与最小数的差至少为18，若差恰为18，则必为19个连续自然数，和一定为19的倍数，而2016不是19的倍数，所以差一定大于18，即至少
19
19、如图，四边形ABCD中,AB=AD，BC=16，∠BAD=90︒，∠ABC=∠BCD=75︒，则四边形ABCD的面积是。
CB
【解析】如下左图，连接BD
由于AB=AD，∠BAD=90︒，所以∠ABD=∠ADB=45︒所以∠CBD=75︒-45︒=30︒，∠BDC=180︒-75︒-30︒=75︒所以BD=BC=16
那么等腰直角三角形ABD的斜边长16，那么S∆ABD=16⨯8÷2=64
如下右图，作DH垂直BC于H
易得∠BDH=60︒，将BDH向下翻折可以得到正三角形BDE
所以DE=BD=16，DH=1DE=1BD=8
22
那么S∆BCD=BC⨯DH÷2=16⨯8÷2=64
所以SABCD=64+64=128
D
CBC
60°
H
60°
E
A
30°
B
【注】三个内角为30°、60°、90°的直角三角形有一个特殊性质，30°所对的边长度是斜边长度的一半
20、在三角形ABC中，点E是BC边上的中点，点F是中线AE上的点，使得AE＝4AF，延长BF与AC相交于D，如下图所示，已知三角形ABC的面积为60，则三角形
AFD的面积为。
【解析】如下图，连接CF
由于E是BC的中点，所以S∆ABE=S∆ACE=30又AE=4AF，所以S∆ABF=7.5，S∆BEF=22.5由于E是BC的中点，所以S∆BCF=2S∆BEF=45
由燕尾模型，可得AD:
DC=S∆ABF:
S∆CBF=7.5:
45=1:
6
由于E是BC的中点，所以S∆ACF=S∆ABF=7.5
由于AD:
DC=1:
6，所以S∆ADF
A
D
=1⨯7.5=15
1+614
F
BEC
21、甲乙二人各用10000元做股票。
甲以每股100元的价格买了100股，乙在甲的股票跌到80元的时候买了一部分股票，乙又在甲的股票跌到70元的时候将其余剩下的钱全部买了股票。
最后甲的股票跌到了50元时，乙共亏了3000元，则乙在股票价格为80元的时候投入了元。
（注：
甲乙所买的为同一只股票）
【解析】设乙80元时买了x元，则70元时买了10000-x元
80元变成50
元，亏了3
8
；70元变成50
元，亏了2；
7
则有3x+2（10000-x）=30000
87
解得1600，所以股价80元时，乙投入了1600元
22、在黑板上有几个互不相同的正整数，如果它们的积除以它们的和恰好等于从黑板上擦去最小的一个数后的它们的积除以它们的和的5倍，则擦去的数是。
【解析】设擦去了a，剩下的数总和为S，乘积为∏，
则有∏⨯a=5⨯∏⇒aS=5S+5a⇒aS-5S-5a+25=25
S+aS
即（a-5）（S-5）=25，由于a是所有数中最小的一个，所以剩下的数的总和一
定大于a，即S>a⇒S-5>a-5
⎧a-5=1
所以有⎨S-5=25
⎧a=6
⇒
⎨S=30
，即擦去的
⎩⎩
数是6
23、设ABCD是宽为1厘米的长方形，画一条与它的宽平行的直线将它分成两个长方形，使得其中一个长方形的周长是原来长方形周长的一半，余下的长方形为A1B1C1D1，对于长方形A1B1C1D1，再画一条与它的宽平行的直线将它分成两个长方形，使得其中一个的长方形的周长是A1B1C1D1周长的一半，余下的长方形为A2B2C2D2,……,这样一共分割了十次,最后余下的长方形周长是6厘米,问原来长方形的周长是厘米。
【解析】设每次分割时，大长方形的周长为C1，余下的长方形周长为C2
分割后，增加了2个宽的长度，即2厘米，所以新得到的两个小长方形的周长总和为C1+2
其中一个小长方形的周长为C1
2
，所以余下的长方形的周长
C=C+2-C1=C1+2，即C=2（C
-2）
212212
第10次分割后余下的长方形周长是6，所以分割前长方形周长为2⨯（6-2）=8即第9次分割后余下的长方形周长是8，所以分割前长方形周长为2⨯（8-2）=12
……依次递推，可知原来长方形的周长为2052
【注】或可通过递推公式归纳出通项公式为2n+1+4，所以十次分割前周长为
211+4=2052
24、如图，已知AB=AC=3,
A
BC=CD,
∠BAC=45︒,∠BCD=90︒，则AD2
=。
BD
【解析】将三角形ABC以AC为轴进行翻折，得到三角形
AEC
易得AE=AB=3，∠EAC=∠BAC=45︒，所以∠EAB=90︒，所以三角形EAB
是等腰直角三角形，由勾股定理，有EB2=EA2+BA2=18
易得∠AEC=∠ACE=∠ACB=∠ABC=（180︒-45︒）÷2=67.5︒E
易得CE=CB=CD，所以三角形CED是等腰三角形
而∠ECD=360︒-∠ECB-∠BCD=360︒-2⨯67.5︒-90︒=135︒A
所以∠CED=∠CDE=（180︒-135︒）÷2=22.5︒
所以可得∠EBD=∠ABC+∠CBD-∠ABE=67.5︒+45︒-45︒=67.5︒
∠EDB=∠EDC+∠CDB=22.5︒+45︒=67.5︒
D
所以EB=ED，所以ED2=EB2=18
又∠AED=∠AEC+∠CED=67.5︒+22.5︒=90︒B
所以三角形AED是直角三角形，由勾股定理，有AD2=AE2+ED2=32+18=27
25、将正整数排成下图形式
第一行1
第二行23
第三行456
第四行78910
第五行1112131415
……………………
三个数A，B，C称为一组三角形数，若A为第i行中的数，B,C为第i＋1行中的两个相邻的数,且A在B,C中间正上方的位置。
若有一组三角形数满足A＋B＋
C＝2410，则A是。
【解析】易知C=B+1，B=A+i，
所以A+B+C=3A+2i+1=2410⇒3A+2i=2409
由于3A、2409都是3的倍数，所以2i一定是3的倍数，即i是3的倍数若i为36，则A至多为1+2+3++36=666，
则3A+2i至多为3⨯666+2⨯36=2070<2409，所以i>36
若i为42，则A至少为1+2+3++41+1=862，
则3A+2i至少为3⨯862+2⨯42=2670>2409，所以i<42
所以i=39，代入3A+2i=2409得A=777
26、一组砝码的质量总和是2S，如果能够在那组砝码中选出k个砝码，使得这些砝码的质量之和刚好等于S，则称这个正整数k为中位数。
对于由64个砝码所构成的砝码组，最多可以有个不同的中位数。
【解析】显然，64不是中位数
易知若k为中位数，即有k个砝码质量之和恰为S，则余下64-k个砝码质量之和也为S，所以64-k也为中位数
若1为中位数，则63也为中位数，即有一个砝码重量等于S，此时，从64个砝码中取出x个（1S，则x个砝码质量小于S，所以此时对于1接下来证明可以构造出一组数，使得2到62均为中位数
任取两数作为a1、a2，接下来以an+2=an+1+an为规律取数，直到a63
然后取a64，使a64+a63=a1+a2++a62=S
所以有：
S=a64+a63=a64+a62+a61=a64+a62+a60+a59==a64+a62+a60++a2+a1即2、3、4、……、33均为中位数，所以可知62、61、60、……、31也为中位数
所以2到62均为中位数，所以中位数最多有63个
27、如图，由17个单位小正方形组成的道路图，每走一步都是沿着小正方形的边走一个单位长度。
现在以最短的路径从点P走到点Q，每次可以走一步或者二步,则共有种不同的走法。
【解析】如下图，标数法可得P到Q的最短路径有200条
Q（200）
100
40
10
P
（1）111
P到Q共要走10步，每次走1步或2步，利用递推法，可得有89种走法
总步数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
走法
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
因此共有200⨯89=17800种不同的走法
28、如图，矩形ABCD的边AB=14，P是边AB上的一点，使得CP=13,DP=15，Q
是线段DP上的一点，使得CQ⊥DP，则三角形ABQ的面积是。
DC
APB
【解析】作PH垂直CD于H，设CH=x，则DH=14-x
由勾股定理，有PH2=PD2-DH2=PC2-CH2
即152-（14-x）2=132-x2⇒x=5，所以可得PH为12
所以S
∆PCD
=14⨯12÷2=84，所以CQ=84⨯2÷15=56=4⨯14
55
又CD=14=5⨯14，由勾股定理，可得DQ=3⨯14=42
所以S
∆CDQ
5
=42⨯56÷2=1176，所以S5525
∆ABQ
55
=84-1176=924=36.96
2525
DHC
APB
29、将0,1,2，…，2016这2017个整数按顺序围成一圈，从0开始数，按1,2,3，1,2,3，…
的次序，逢3留下，其余的数取走，则最后留下的数是。
【解析】2017是奇数，所以若圈上有3n个，则留下最后一个（若为偶数，则若圈上有2⨯3n
个，留下最后一个）
所以先将2017变为36=729个，要拿走2017-729=1288个，每次拿走2个，所以拿了1288÷2=644次，此时最后一个是原来的第644⨯3=1932个，是1931
30、在一个长400厘米的圆形的轨道上,有A，B，C，D四个等距离的小球，开始时B，
D两个小球不动，小球A，C分别以每秒1厘米和每秒29厘米的速度沿着圆形轨道向小球B运动，接下去的运动规则如下：
当某两个小球相遇时，其速度及方向就传递给对方。
那么当第一次有三个小球相遇时，小球D运动了厘米。
（例如：
当小球C第一次遇到小球B后，小球C的速度就变为0，而小球B的速度就变为每秒29厘米，并延着小球C原来的方向运动，小球半径忽略不计。
）
C（30）
BD
B（15）
A
D（45）
【解析】速度比为1:
29，将全程分为60份，标上刻度0到59
A（0）
开始时A的位置标0，B的位置标15，C的位置为30，D的位置为45
第一次相遇时，用时30÷（1+29）=1，即逆时针向前1⨯1=1格，在刻度1处相遇
以后每次相遇，用时60÷（1+29）=2，即逆时针向前1⨯2=2格，分别在刻度3、
5、7、……处相遇
开始时，B、D没动，所以每当走到B、D开始时的位置，即刻度为15、45的
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