27届亚太杯决赛五年级.docx

1、27届亚太杯决赛五年级27 届亚太杯上海赛区决赛五年级解析1、 定义新运算“* ”： x * y = ( x + y)( x - y) ，那么6*(3* 2) = 。【解析】3* 2 = (3 + 2) (3 - 2) = 5 ， 6 *(3* 2) = 6 *5 = (6 + 5) (6 - 5) = 112、 计算:（102.489.6385）（201612616）= 。【解析】原式= (102.4 + 89.6 - 38 5) (2016 - 2016) = 03、如图，将一个周长为24 厘米的大长方形的纸片剪成9 个小长方形的纸片，那么这9 个小长方形纸片的周长之和是 厘米。【解析】原

2、来长方形的周长由 2 长、2 宽组成，横切 2 刀增加了 4 长，竖切 2 刀增加了4 宽，所以 9 个小长方形周长总和为 6 长 6 宽，是大长方形周长的 3 倍，为24 3 = 724、 1， 2 ， 3 ， 2016 中，既不是5 的倍数，又不是7 的倍数的数有 个。【解析】2016 5 = 403 1 ，所以 1 到 2016 中 5 的倍数有 403 个2016 7 = 288 ，所以 1 到 2016 中 7 的倍数有 288 个2016 35 = 57 21，所以 1 到 2016 中既是 5 的倍数又是 7 的倍数的数有 57个所以 1 到 2016 中， 既不是 5 的倍数，

3、 又不是 7 的倍数的数有2016 - (403 + 288 - 57) = 1382 个5、 在 2016 后面补上两个数码，组成一个六位数，它既能被 8 整除，也能被 9 整除， 则此六位数最小是 。【解析】201600 72 = 2800 ，所以这个六位数最小就是 2016006、 如下图所示，把边长为 1 厘米的正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体。当这三个长方体的体积比是 1：2：3 时，三个长方体的表面积之和是平方厘米。【解析】这里体积比是迷惑条件，切两刀共增加 4 个面，原来有 6 个面，所以三个长方体表面积之和为(4 + 6) 12 = 107、 对于数字4 、

4、6 、7 、9 ，用加、减、乘、除、添括号中的运算符号，组成一个算式，使得算式的结果是24 ，算式为 。【解析】(7 + 9) 4 6 = 248、 若质数p 既是某两个质数的和，又是某两个质数的差，则p = 。【解析】由于 p 可以写成两个质数的和，所以最小为2 + 2 = 4 ，所以 p 是一个不小于 4 的质数，所以 p 一定是奇数，只能是一奇加一偶，所以要想写成两个质数的和只能是 p = 2 + a同理，由于 p 是奇数，所以要想写成两个质数的差只能是 p = b - 2这时我们发现a, p, b 这三个质数构成了一个公差为 2 的等差数列易知这三个数中一定有一个 3 的倍数，由于三个

5、都是质数，所以其中一定有一个 3，所以这三个质数只能是 3、5、7，所以 p = 59、 用 1，2，3，4 这四个数字组成的四位数中，比 2016 大且无重复数字的四位数有个。【解析】要比 2016 大，那么千位只能是 2、3、4，而千位是 2、3、4，这个数就比 2016大，有3 3 2 1 = 18 个10、 4 堆小球共有 2016 颗，如果从每堆中取走相同数目的小球以后，第一堆全部取完， 第二堆还剩下 20 颗小球，第三堆剩下的小球数是第四堆剩下的小球数的 3 倍，那么第四堆原来有 颗小球。【解析】设每堆取走a 个，第四堆剩下b 个，所以第一堆原来有a 个，第二堆原来有a + 20个

6、，第三堆原来有a + 3b 个，第四堆原来有a + b 个由题意，有 a + a + 20 + a + 3b + a + b = 2016 a + b = 499 ，所以第四堆原来有499 个11、 一次考试，男生的平均分比总平均分低 2 分，女生的平均分比总平均分高 3 分.男生的总分数是 2106 分，女生的总分数是 1494 分，则男生有 人。【解析】由于男生平均分比总平均分低 2 分，女生平均分比总平均分高 3 分，所以男女生人数比为3 : 2 ，记男生人数为 3 份，女生人数为 2 份那么各取出 1 份男生和 1 份女生那么这些男生总分为2106 3 = 702 ，这些女生总分为14

7、94 2 = 747此时，男女生人数相同，平均分相差2 + 3 = 5 分，总分相差747 - 702 = 45 分， 所以 1 份有45 5 = 9 人所以男生有3 9 = 27 人12、 1， 2 ，3 ， 2016 中，最多能取出 个数，使得取出的这些数中任意两个不同的数的和都不是7 的倍数。【解析】2016 7 = 288 ，所以 1 到 2016 中除以 7 余 1 的有 288 个，余 2 的有 288 个，余 3 的有 288 个，余 4 的有 288 个，余 5 的有 288 个，余 6 的有 288 个，余 0的有 288 个所以余 1、余 6 的两组只能取 1 组；余 2、

8、余 5 的两组只能取 1 组；余 3、余 4的两组只能取 1 组；余 0 的只能取 1 个所以最多取出288 + 288 + 288 + 1 = 865 个13、 甲、乙两人分别从ft顶和ft脚同时出发，沿同一ft道行进.两人上ft的速度都是 15 米/分，下ft的速度都是 24 米/分.甲到达ft脚后立即返回，乙到达ft顶后休息 12 分钟后返回，两人在距ft顶 720 米处再次相遇，则ft道长为 米。【解析】两人上山速度相同，下山速度相同，甲走一个来回是先下山再上山；乙走一个来回是先上山再下山，走一个来回所用时间相同但是乙到达山顶后休息了 12 分钟，也就是说，当甲回到山顶后，乙还需要 1

9、2分钟才能回到山脚两人相遇后，甲还要走 720 米， 720 15 = 48 分钟才能到达山顶乙比甲晚 12 分钟回到山脚，所以乙需要48 + 12 = 60 分钟，再走24 60 = 1440 米才能回到山脚所以，山道长1440 + 720 = 2160 米乙12分钟乙48分钟 甲48分钟ft脚 相遇地点ft顶14、 一个四位数，如果前两位数能整除 2016，且前两位数乘以后两位数能被 2016 整除， 则这个四位数最大是 。【解析】2016 = 25 32 7 ，要使这个四位数最大，那么前两位要取 2016 最大的两位约数，99、98、97、96 从大到小验证，发现 96 是 2016 的

10、约数，所以前两位取962016 96 = 21 ，所以后两位要是 21 的倍数，最大为 84所以这个四位数最大为 968415、 A、B 两地位于同一条河上，B 地在 A 地下游 240 千米处.甲船从 A 地、乙船从 B 地同时出发，相向而行，甲船到达 B 地，乙船到达 A 地后，都立即按原来路线返航.已知水速为 3 米/秒，且两船在静水中的速度相同。如果两船第二次相遇与第一次相遇的地点相距 72 千米，那么两船在静水中的速度是 米/秒。【解析】如下图，设第一次相遇地点为C，第二次相遇地点为D，第一次，甲走了AD， 乙走了DB，两船一顺一逆合走了一个全程由于两船静水速度相同，所以两船的顺水速

11、度、逆水速度也相同所以两船走一个来回所用时间相同，即当甲回到A 时，乙同时回到B我们发现两船第二次相遇在 C 后，相同时间内，甲走 CA，乙走 CB，也是一顺一逆合走一个全程所以与第一次相遇情况相同，所以 AC = DB = (240 - 72) 2 = 84所以第一次相遇时，甲走了 156 千米，乙走了 84 千米所以v顺: v逆 = 156 : 84 = 13 : 7 ，而v顺 - v逆 = 2 3 = 6 ，所以可得v顺 = 13 ，v逆 = 7 ， 所以静水速度为 10 米/秒甲 乙A C D B【注】也可使用柳卡图得出两次相遇地点关于中点对称A t逆t顺+t逆B顺 t逆+t顺16、

12、若 A = 3 + 33 + 333 + + 3 3 33 ，则 A 的前三位数字组成的三位数和后三位数字组333个3成的三位数之和是 。 【解析】 A = 9 + 99 + 999 + + 9 9 99 3 333个9 = 10 -1+100 -1+1000 -1+ +10000 -1 3= 11110 - 333 3 333个0 333 个1 = 3 7 0 3 70 -111111个370所以前三位是 370，末三位是370 -111 = 259 ，和为370 + 259 = 62917、1，2，2016 中，能被 7 整除且被 5 除余 2 的数共有 个。【解析】能被 7 整除且被 5

13、 除余 2 的数是35k + 72016 35 = 57 21，所以 1 到 2016 中有35 0 + 7 到35 57 + 7 ，共 58 个18、 把 2016 拆成 19 个不同的自然数的和,其中最大数与最小数的差的最小值是 。【解析】要使最大数与最小数的差要小，那么这 19 个数最好尽可能接近，最理想的情况是公差为 1 的等差数列即后 18 个数比最小的数依次大 1、2、3、18那么可得最小数为(2016 -1- 2 - 3 - -18) 19 = 1845 19可惜1845 19 = 97 2 ，所以 97 到 115 这 19 个数的和还少了 2，所以让最大的两个数增加 1，即取

14、 97 到 113，再加上 115、116，此时最大数与最小数的差最小，为 19【注】19 个数中，最大数与最小数的差至少为 18，若差恰为 18，则必为 19 个连续自然数，和一定为 19 的倍数，而 2016 不是 19 的倍数，所以差一定大于 18，即至少1919、 如图，四边形 ABCD 中, AB = AD ，BC = 16 ，BAD = 90 ，ABC = BCD = 75 ， 则四边形 ABCD 的面积是 。C B【解析】如下左图，连接BD由于 AB = AD ， BAD = 90 ，所以ABD = ADB = 45 所以CBD = 75 - 45 = 30 ， BDC = 18

15、0 - 75 - 30 = 75 所以 BD = BC = 16那么等腰直角三角形ABD 的斜边长 16，那么 SABD = 168 2 = 64如下右图，作DH 垂直 BC 于H易得BDH = 60，将BDH 向下翻折可以得到正三角形BDE所以 DE = BD = 16 ， DH = 1 DE = 1 BD = 82 2那么SBCD = BC DH 2 = 168 2 = 64所以SABCD = 64 + 64 = 128DC B C60H60EA30B【注】三个内角为 30、60、90的直角三角形有一个特殊性质，30所对的边长度是斜边长度的一半20、在三角形 ABC 中，点 E 是BC 边

16、上的中点，点 F 是中线AE 上的点，使得 AE4AF， 延长 BF 与 AC 相交于 D，如下图所示，已知三角形 ABC 的面积为 60，则三角形AFD 的面积为 。【解析】如下图，连接CF由于E 是BC 的中点，所以SABE = SACE = 30又 AE = 4 AF ，所以SABF = 7.5 ， SBEF = 22.5 由于E 是BC 的中点，所以SBCF = 2SBEF = 45由燕尾模型，可得 AD : DC = SABF : SCBF = 7.5 : 45 = 1: 6由于E 是BC 的中点，所以SACF = SABF = 7.5由于 AD : DC = 1: 6 ，所以SAD

17、FAD= 1 7.5 = 151+ 6 14FB E C21、 甲乙二人各用 10000 元做股票。甲以每股 100 元的价格买了 100 股，乙在甲的股票跌到 80 元的时候买了一部分股票，乙又在甲的股票跌到 70 元的时候将其余剩下的钱全部买了股票。最后甲的股票跌到了 50 元时，乙共亏了 3000 元，则乙在股票价格为 80 元的时候投入了 元。（注：甲乙所买的为同一只股票）【解析】设乙 80 元时买了 x 元，则 70 元时买了10000 - x 元80 元变成 50元，亏了 38；70 元变成 50元，亏了 2 ；7则有 3 x + 2 (10000 - x) = 300008 7解

18、得1600 ，所以股价 80 元时，乙投入了 1600 元22、 在黑板上有几个互不相同的正整数，如果它们的积除以它们的和恰好等于从黑板上擦去最小的一个数后的它们的积除以它们的和的 5 倍，则擦去的数是 。【解析】设擦去了a ，剩下的数总和为S ，乘积为 ，则有 a = 5 aS = 5S + 5a aS - 5S - 5a + 25 = 25S + a S即(a - 5)(S - 5) = 25 ，由于a 是所有数中最小的一个，所以剩下的数的总和一定大于a ，即 S a S - 5 a - 5a - 5 = 1所以有S - 5 = 25a = 6S = 30，即擦去的 数是 623、 设AB

19、CD 是宽为 1 厘米的长方形，画一条与它的宽平行的直线将它分成两个长方形， 使得其中一个长方形的周长是原来长方形周长的一半， 余下的长方形为A1B1C1D1 ，对于长方形 A1B1C1D1 ，再画一条与它的宽平行的直线将它分成两个长方形， 使得其中一个的长方形的周长是 A1B1C1D1 周长的一半， 余下的长方形为A2 B2C2 D2 ,这样一共分割了十次,最后余下的长方形周长是 6 厘米,问原来长方形的周长是 厘米。【解析】设每次分割时，大长方形的周长为C1 ，余下的长方形周长为C2分割后，增加了 2 个宽的长度，即 2 厘米，所以新得到的两个小长方形的周长总和为C1 + 2其 中 一 个

20、 小 长 方 形 的 周 长 为 C12， 所 以 余 下 的 长 方 形 的 周 长C = C + 2 - C1 = C1 + 2 ，即C = 2 (C - 2)2 1 2 2 1 2第 10 次分割后余下的长方形周长是 6，所以分割前长方形周长为2 (6 - 2) = 8 即第 9 次分割后余下的长方形周长是 8 ， 所以分割前长方形周长为2 (8 - 2) = 12依次递推，可知原来长方形的周长为 2052【注】或可通过递推公式归纳出通项公式为 2n+1 + 4 ， 所以十次分割前周长为211 + 4 = 205224、如图，已知 AB = AC = 3,ABC = CD,BAC = 4

21、5, BCD = 90 ，则 AD2= 。B D【解析】将三角形 ABC 以 AC 为轴进行翻折，得到三角形AEC易得 AE = AB = 3 ，EAC = BAC = 45 ，所以EAB = 90 ，所以三角形 EAB是等腰直角三角形，由勾股定理，有 EB2 = EA2 + BA2 = 18易得AEC = ACE = ACB = ABC = (180 - 45) 2 = 67.5 E易得CE = CB = CD ，所以三角形CED 是等腰三角形而ECD = 360 - ECB - BCD = 360 - 2 67.5 - 90 = 135 A所以CED = CDE = (180 -135)

22、2 = 22.5所以可得EBD = ABC + CBD - ABE = 67.5 + 45 - 45 = 67.5EDB = EDC + CDB = 22.5 + 45 = 67.5D所以 EB = ED ，所以 ED2 = EB2 = 18又AED = AEC + CED = 67.5 + 22.5 = 90 B所以三角形AED 是直角三角形，由勾股定理，有 AD2 = AE 2 + ED2 = 32 +18 = 2725、 将正整数排成下图形式第一行 1第二行 2 3第三行 4 5 6第四行 7 8 9 10第五行 11 12 13 14 15 三个数 A，B，C 称为一组三角形数，若 A

23、 为第 i 行中的数，B,C 为第 i1 行中的两个相邻的数,且A 在B,C 中间正上方的位置。若有一组三角形数满足ABC2410，则A 是 。【解析】易知C = B +1 ， B = A + i ，所以 A + B + C = 3A + 2i +1 = 2410 3A + 2i = 2409由于3A 、2409 都是 3 的倍数，所以2i 一定是 3 的倍数，即i 是 3 的倍数若i 为 36，则A 至多为1+ 2 + 3 + + 36 = 666 ，则3A + 2i 至多为3 666 + 2 36 = 2070 36若i 为 42，则A 至少为1+ 2 + 3 + + 41+1 = 862

24、 ，则3A + 2i 至少为3862 + 2 42 = 2670 2409 ，所以i 42所以i = 39 ，代入3A + 2i = 2409 得 A = 77726、 一组砝码的质量总和是 2S， 如果能够在那组砝码中选出k 个砝码，使得这些砝码的质量之和刚好等于 S， 则称这个正整数 k 为中位数。对于由 64 个砝码所构成的砝码组，最多可以有 个不同的中位数。【解析】显然，64 不是中位数易知若k 为中位数，即有k 个砝码质量之和恰为S ，则余下64 - k 个砝码质量之和也为S ，所以64 - k 也为中位数若 1 为中位数，则 63 也为中位数，即有一个砝码重量等于S，此时，从 64

25、 个砝码中取出 x 个（1 x 63 ），若取到了 S，则 x 个砝码质量大于S，若没取到S，则 x 个砝码质量小于S，所以此时对于1 x 63 ， x 都不是中位数，所以此时中位数只有 2 个接下来证明可以构造出一组数，使得 2 到 62 均为中位数任取两数作为a1 、a2 ，接下来以an+2 = an+1 + an 为规律取数，直到a63然后取a64 ，使a64 + a63 = a1 + a2 + + a62 = S所以有：S = a64 + a63 = a64 + a62 + a61 = a64 + a62 + a60 + a59 = = a64 + a62 + a60 + + a2 +

26、 a1 即 2、3、4、33 均为中位数，所以可知 62、61、60、31 也为中位数所以 2 到 62 均为中位数，所以中位数最多有 63 个27、 如图，由 17 个单位小正方形组成的道路图，每走一步都是沿着小正方形的边走一个单位长度。现在以最短的路径从点 P 走到点Q，每次可以走一步或者二步, 则共有 种不同的走法。【解析】如下图，标数法可得P 到Q 的最短路径有 200 条Q(200)1004010P(1) 1 1 1P 到Q 共要走 10 步，每次走 1 步或 2 步，利用递推法，可得有 89 种走法总步数12345678910走法123581321345589因此共有20089 =

27、 17800 种不同的走法28、如图，矩形ABCD 的边 AB = 14 ，P 是边AB 上的一点，使 得CP = 13, DP = 15 ，Q是线段DP 上的一点，使得CQ DP ，则三角形ABQ 的面积是 。D CA P B【解析】作PH 垂直CD 于H，设CH = x ，则 DH = 14 - x由勾股定理，有 PH 2 = PD2 - DH 2 = PC 2 - CH 2即152 - (14 - x)2 = 132 - x2 x = 5 ，所以可得PH 为 12所以SPCD= 14 12 2 = 84 ，所以CQ = 84 2 15 = 56 = 4 145 5又CD = 14 = 5

28、 14 ，由勾股定理，可得 DQ = 3 14 = 42所以SCDQ5= 42 56 2 = 1176 ，所以S 5 5 25ABQ5 5= 84 - 1176 = 924 = 36.9625 25D H CA P B29、将 0,1,2，2016 这 2017 个整数按顺序围成一圈，从 0 开始数，按 1,2,3，1,2,3，的次序，逢 3 留下，其余的数取走，则最后留下的数是 。【解析】2017 是奇数，所以若圈上有3n 个，则留下最后一个（若为偶数，则若圈上有2 3n个，留下最后一个）所以先将 2017 变为36 = 729 个，要拿走2017 - 729 = 1288 个，每次拿走 2

29、 个， 所以拿了1288 2 = 644 次，此时最后一个是原来的第644 3 = 1932 个，是 193130、在一个长 400 厘米的圆形的轨道上,有A，B，C，D 四个等距离的小球，开始时B，D 两个小球不动，小球 A，C 分别以每秒 1 厘米和每秒 29 厘米的速度沿着圆形轨道向小球B 运动，接下去的运动规则如下：当某两个小球相遇时，其速度及方向就传递给对方。那么当第一次有三个小球相遇时，小球 D 运动了 厘米。（例如：当小球 C 第一次遇到小球 B 后，小球 C 的速度就变为 0，而小球 B 的速度就变为每秒 29 厘米，并延着小球C 原来的方向运动，小球半径忽略不计。）C(30)B DB(15)AD(45)【解析】速度比为1: 29 ，将全程分为 60 份，标上刻度 0 到 59A(0)开始时A 的位置标 0，B 的位置标 15，C 的位置为 30，D 的位置为 45第一次相遇时，用时30 (1+ 29) = 1，即逆时针向前11 = 1格，在刻度 1 处相遇以后每次相遇，用时60 (1+ 29) = 2 ，即逆时针向前1 2 = 2 格，分别在刻度 3、5、7、处相遇开始时，B、D 没动，所以每当走到B、D 开始时的位置，即刻度为 15、45 的