届高三理科数学圆锥曲线与方程总复习.docx

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届高三理科数学圆锥曲线与方程总复习

2012届高三理科数学圆锥曲线与方程总复习

第九　圆锥曲线与方程

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考试要求重难点击命题展望

1了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；

3了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；

4了解圆锥曲线的简单应用；

理解数形结合的思想；

6了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系　　本重点：

1椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；2直线与圆锥曲线的位置关系问题；3求曲线的方程或曲线的轨迹；4数形结合的思想，方程的思想，函数的思想，坐标法

本难点：

1对圆锥曲线的定义及性质的理解和应用；2直线与圆锥曲线的位置关系问题；3曲线与方程的对应关系　　圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型极有可能以一小一大的形式出现，小题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法运用；解答题常作为数学高考的把关题或压轴题，综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能力

知识网络

　91　椭　圆

典例精析

题型一　求椭圆的标准方程

【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为43和

23，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程

【解析】由椭圆的定义知，2a＝43＋23＝2，故a＝，

由勾股定理得，（43）2－（23）2＝42，所以2＝3，b2＝a2－2＝103，

故所求方程为x2＋3210＝1或3x210＋2＝1

【点拨】

（1）在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：

x2＋n2＝1（＞0，n＞0且≠n）；

（2）在求椭圆中的a、b、时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识

【变式训练1】已知椭圆1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线2的顶点在原点、焦点在x轴上小明从曲线1，2上各取若干个点（每条曲线上至少取两个点），并记录其坐标（x，）由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆1上，也不在抛物线2上小明的记录如下：

据此，可推断椭圆1的方程为　　　　　

【解析】方法一：

先将题目中的点描出，如图，A（－2,2），B（－2，0），（0，6），D（2，－22），E（22，2），F（3，－23）

通过观察可知道点F，，D可能是抛物线上的点而A，，E是椭圆上的点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上

显然半焦距b＝6，则不妨设椭圆的方程是x2＋26＝1，则将点

A（－2,2）代入可得＝12，故该椭圆的方程是x212＋26＝1

方法二：

欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些

不妨设有两点21＝2px1，①22＝2px2，②2122＝x1x2，

则可知B（－2，0），（0，6）不是抛物线上的点

而D（2，－22），F（3，－23）正好符合

又因为椭圆的交点在x轴上，故B（－2，0），（0，6）不可能同时出现故选用A（－2,2），E（22，2）这两个点代入，可得椭圆的方程是x212＋26＝1

题型二　椭圆的几何性质的运用

【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°

（1）求椭圆离心率的范围；

（2）求证：

△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关

【解析】

（1）设椭圆的方程为x2a2＋2b2＝1（a＞b＞0），|PF1|＝，|PF2|＝n，在△F1PF2中，

由余弦定理可知42＝2＋n2－2ns60°，

因为＋n＝2a，所以2＋n2＝（＋n）2－2n＝4a2－2n，

所以42＝4a2－3n，即3n＝4a2－42

又n≤（＋n2）2＝a2（当且仅当＝n时取等号），

所以4a2－42≤3a2，所以2a2≥14，

即e≥12，所以e的取值范围是[12，1）

（2）由

（1）知n＝43b2，所以＝12nsin60°＝33b2，

即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关

【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义（或性质）与不等式的联合使用，如|PF1|•|PF2|≤（|PF1|＋|PF2|2）2，|PF1|≥a－

【变式训练2】已知P是椭圆x22＋29＝1上的一点，Q，R分别是圆（x＋4）2＋2＝14和圆

（x－4）2＋2＝14上的点，则|PQ|＋|PR|的最小值是　　　　

【解析】设F1，F2为椭圆左、右焦点，则F1，F2分别为两已知圆的圆心，

则|PQ|＋|PR|≥（|PF1|－12）＋（|PF2|－12）＝|PF1|＋|PF2|－1＝9

所以|PQ|＋|PR|的最小值为9

题型三　有关椭圆的综合问题

【例3】（2010全国新标）设F1，F2分别是椭圆E：

x2a2＋2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列

（1）求E的离心率；

（2）设点P（0，－1）满足|PA|＝|PB|，求E的方程

【解析】

（1）由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43a

l的方程为＝x＋，其中＝a2－b2

设A（x1，1），B（x2，2），则A，B两点坐标满足方程组

化简得（a2＋b2）x2＋2a2x＋a2（2－b2）＝0，

则x1＋x2＝－2a2a2＋b2，x1x2＝a2（2－b2）a2＋b2

因为直线AB斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝2[（x1＋x2）2－4x1x2]，

即43a＝4ab2a2＋b2，故a2＝2b2，

所以E的离心率e＝a＝a2－b2a＝22

（2）设AB的中点为N（x0，0），由

（1）知x0＝x1＋x22＝－a2a2＋b2＝－23，0＝x0＋＝3

由|PA|＝|PB|ͤPN＝－1，即0＋1x0＝－1ͤ＝3

从而a＝32，b＝3，故E的方程为x218＋29＝1

【变式训练3】已知椭圆x2a2＋2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若|PF1||PF2|＝e，则e的值是（　　）

A32B3322D63

【解析】设F1（－,0），F2（,0），P（x0，0），则椭圆左准线x＝－a2，抛物线准线为x＝

－3，x0－（－a2）＝x0－（－3）ͤ2a2＝13ͤe＝33故选B

总结提高

1椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏确定椭圆需要三个条，要确定焦点在哪条坐标轴上（即定位），还要确定a、b的值（即定量），若定位条不足应分类讨论，或设方程为x2＋n2＝1（＞0，n＞0，≠n）求解

2充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理

3焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围

92　双曲线

典例精析

题型一　双曲线的定义与标准方程

【例1】已知动圆E与圆A：

（x＋4）2＋2＝2外切，与圆B：

（x－4）2＋2＝2内切，求动圆圆心E的轨迹方程

【解析】设动圆E的半径为r，则由已知|AE|＝r＋2，|BE|＝r－2，

所以|AE|－|BE|＝22，又A（－4,0），B（4,0），所以|AB|＝8,22＜|AB|

根据双曲线定义知，点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支

因为a＝2，＝4，所以b2＝2－a2＝14，

故点E的轨迹方程是x22－214＝1（x≥2）

【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支

【变式训练1】P为双曲线x29－216＝1的右支上一点，，N分别是圆（x＋）2＋2＝4和

（x－）2＋2＝1上的点，则|P|－|PN|的最大值为（　　）

A6B78D9

【解析】选D

题型二　双曲线几何性质的运用

【例2】双曲线：

x2a2－2b2＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，x轴上有一点Q（2a,0），若上存在一点P，使＝0，求此双曲线离心率的取值范围

【解析】设P（x，），则由＝0，得AP⊥PQ，则P在以AQ为直径的圆上，

即（x－3a2）2＋2＝（a2）2，①

又P在双曲线上，得x2a2－2b2＝1，②

由①②消去，得（a2＋b2）x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，

即[（a2＋b2）x－（2a3－ab2）]（x－a）＝0，

当x＝a时，P与A重合，不符合题意，舍去；

当x＝2a3－ab2a2＋b2时，满足题意的点P存在，需x＝2a3－ab2a2＋b2＞a，

化简得a2＞2b2，即3a2＞22，a＜62，

所以离心率的取值范围是（1，62）

【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法

【变式训练2】设离心率为e的双曲线：

x2a2－2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为，则直线l与双曲线的左、右两支都相交的充要条是（　　）

A2－e2＞1B2－e2＜1

e2－2＞1De2－2＜1

【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率只需满足－ba＜＜ba，即2＜b2a2＝2－a2a2＝e2－1，故选

题型三　有关双曲线的综合问题

【例3】（2010广东）已知双曲线x22－2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P（x1，1），Q（x1，－1）是双曲线上不同的两个动点

（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；

（2）若过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值

【解析】

（1）由题意知|x1|＞2，A1（－2，0），A2（2，0），则有

直线A1P的方程为＝1x1＋2（x＋2），①

直线A2Q的方程为＝－1x1－2（x－2）②

方法一：

联立①②解得交点坐标为x＝2x1，＝21x1，即x1＝2x，1＝2x，③

则x≠0，|x|＜2

而点P（x1，1）在双曲线x22－2＝1上，所以x212－21＝1

将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为x22＋2＝1，x≠0且x≠±2

方法二：

设点（x，）是A1P与A2Q的交点，①×②得2＝－21x21－2（x2－2）③

又点P（x1，1）在双曲线上，因此x212－21＝1，即21＝x212－1

代入③式整理得x22＋2＝1

因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合故点A1和A2均不在轨迹E上过点（0,1）及A2（2，0）的直线l的方程为x＋2－2＝0

解方程组得x＝2，＝0所以直线l与双曲线只有唯一交点A2

故轨迹E不过点（0,1）同理轨迹E也不过点（0，－1）

综上分析，轨迹E的方程为x22＋2＝1，x≠0且x≠±2

（2）设过点H（0，h）的直线为＝x＋h（h＞1），

联立x22＋2＝1得（1＋22）x2＋4hx＋2h2－2＝0

令Δ＝162h2－4（1＋22）（2h2－2）＝0，得h2－1－22＝0，

解得1＝h2－12，2＝－h2－12

由于l1⊥l2，则12＝－h2－12＝－1，故h＝3

过点A1，A2分别引直线l1，l2通过轴上的点H（0，h），且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由h2×（－h2）＝－1，得h＝2

此时，l1，l2的方程分别为＝x＋2与＝－x＋2，

它们与轨迹E分别