届高三理科数学圆锥曲线与方程总复习.docx

1、届高三理科数学圆锥曲线与方程总复习2012届高三理科数学圆锥曲线与方程总复习 第九圆锥曲线与方程高考导航考试要求重难点击命题展望1了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；3了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；4了解圆锥曲线的简单应用；理解数形结合的思想；6了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系本重点：1椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；2直线与圆锥曲线的位置关系问题；3求曲线的方程或曲线的轨迹；4数形结合的思想，方程的思想，函数的思想，坐标法本难点：1对圆锥曲

2、线的定义及性质的理解和应用；2直线与圆锥曲线的位置关系问题；3曲线与方程的对应关系圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型极有可能以一小一大的形式出现，小题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法运用；解答题常作为数学高考的把关题或压轴题，综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能力知识网络 91椭圆典例精析题型一求椭圆的标准方程【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为43和23，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程【解析】由椭圆的定义知，2a43232，故a，由勾股定理得，(

3、43)2(23)242，所以23，b2a22103，故所求方程为x232101或3x21021【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：x2n21(0，n0且n)；(2)在求椭圆中的a、b、时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识【变式训练1】已知椭圆1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线2的顶点在原点、焦点在x轴上小明从曲线1，2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，)由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆1上，也不在抛物线2上小明的记录如下：据此，可推断椭圆1的方程为【解析】方法一

4、：先将题目中的点描出，如图，A(2,2)，B(2，0)，(0，6)，D(2，22)，E(22，2)，F(3，23)通过观察可知道点F，D可能是抛物线上的点而A，E是椭圆上的点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上显然半焦距b6，则不妨设椭圆的方程是x2261，则将点A(2,2)代入可得12，故该椭圆的方程是x212261方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些不妨设有两点212px1，222px2，2122x1x2，则可知B(2，0)，(0，6)不是抛物线上的点而D(2，22)，F(3，23)正好符合又因为椭圆的交点在x轴上，故B(2，0)

5、，(0，6)不 可能同时出现故选用A(2,2)，E(22，2)这两个点代入，可得椭圆的方程是x212261题型二椭圆的几何性质的运用【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260(1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关【解析】(1)设椭圆的方程为x2a22b21(ab0)，|PF1|，|PF2|n，在F1PF2中，由余弦定理可知422n22ns 60，因为n2a，所以2n2(n)22n4a22n，所以424a23n，即3n4a242又n(n2)2a2(当且仅当n时取等号)，所以4a2423a2，所以2a214，即e12，所以e的取值范

6、围是12，1)(2)由(1)知n43b2，所以 12nsin 6033b2，即F1PF2的面积只与椭圆的短轴 长有关【点拨】椭圆中F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1|•|PF2|(|PF1|PF2|2)2，|PF1|a【变式训练2】已知P是椭圆x22291上的一点，Q，R分别是圆(x4)2214和圆(x4)2214上的点，则|PQ|PR|的最小值是【解析】设F1，F2为椭圆左、右焦点，则F1，F2分别为两已知圆的圆心，则|PQ|PR|(|PF1|12)(|PF2|12

7、)|PF1|PF2|19所以|PQ|PR|的最小值为9题型三有关椭圆的综合问题【例3】(2010全国新标)设F1，F2分别是椭圆E：x2a22b21(ab0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且 |AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|43al的方程为x，其中a2b2设A(x1，1)，B(x2，2)，则A，B两点坐标满足方程组 化简得(a2b2)x22a2xa2(2b2)0，则x1x22a2a2b2，x

8、1x2a2(2b2)a2b2 因为直线AB斜率为1，所以|AB|2|x2x1|2(x1x2)24x1x2，即43a4ab2a2b2，故a22b2，所以E的离心率eaa2b2a22(2 )设AB的中点为N(x0，0)，由(1)知x0x1x22a2a2b223，0x03由|PA|PB|ͤPN1，即01x01ͤ3从而a32，b3，故E的方程为x218291【变式训练3】已知椭圆x2a22b21(ab0)的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若|PF1|PF2|e，则e的值是()A32B3322D63【解析】设F1(,0)，F2(,

9、0)，P(x0，0)，则椭圆左准线xa2，抛物线准线为x3，x0(a2)x0(3)ͤ2a213ͤe33故选B总结提高1椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏确定椭圆需要三个条，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a、 b的值(即定量)，若定位条不足应分类讨论，或设方程为x2n21(0，n0，n)求解2充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理3焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆

10、离心率的范围92双曲线典例精析题型一双曲线的定义与标准方程【例1】已知动圆E与圆A：(x4)222外切，与圆B：( x4)222内切，求动圆圆心E的轨迹方程【解析】设动圆E的半径为r，则由已知|AE|r2，|BE|r2，所以|AE|BE|22，又A(4,0)，B(4,0)，所以|AB|8,22|AB|根据双曲线定义知，点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支因为a2，4，所以b22a214，故点E的轨迹方程是x222141(x2)【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支【变式训练1】P为双曲线x292161的右支上

11、一点，N分别是圆(x)224和(x)221上的点，则|P|PN|的最大值为()A6B78D9【解析】选D题型二双曲线几何性质的运用【例2】双曲线：x2a22b21(a0，b0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若上存在一点P，使 0，求此双曲线离心率的取值范围【解析】设P(x，)，则由 0，得APPQ，则P在以AQ为直径的圆上，即 (x3a2)22(a2)2，又P在双曲线上，得x2a22b21，由消去，得(a2b2)x23a3x2a4a2b20，即(a2b2)x(2a3ab2)(xa)0，当xa时，P与A重合，不符合题意，舍去；当x2a3ab2a2b2时，满足题意的点P存在，需x2a3

12、ab2a2b2a，化简得a22b2，即3a222，a62，所以离心率的取值范围是(1，62)【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法【变式训练2】设离心率为e的双曲线：x2a22b21(a0，b0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为，则直线l与双曲线的左、右两支都相交的充要条是()A2e21B2e21e221De221【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率只需满足baba，即2b2a22a2a2e21，故选题型三有关双曲线的综合问题【例3】(2010广东)已知双曲线x2221的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，1)，

13、Q(x1，1)是双曲线上不同的两个动点(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；(2)若过点H(0，h)(h1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1l2，求h的值【解析】(1)由题意知|x1|2，A1(2，0)，A2(2，0)，则有直线A1P的方程为1x12(x2)，直线A2Q的方程为1x12(x2)方法一：联立解得交点坐标为x2x1，21x1，即x12x，12x，则x0，|x|2而点P(x1，1)在双曲线x2221上，所以x212211将代入上式，整理得所求轨迹E的方程为x2221，x0且x2方法二：设点(x，)是A1P与A2Q的交点，得221x212(x22)又点P(x1

14、，1)在双曲线上，因此x212211，即21x2121代入式整理得x2221因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合故点A1和A2均不在轨迹E上过点(0,1)及A2(2，0)的直线l的方程为x220解方程组 得x2，0所以直线l与双曲线只有唯一交点A2故轨迹E不过点(0,1)同理轨迹E也不过点(0，1)综上分析，轨迹E的方程为x2221，x0且x2(2)设过点H(0，h)的直线为xh(h1)，联立x2221得(122)x24hx2h220令162h24(122)(2h22)0，得h21220，解得1h212，2h212由于l1l2，则12h2121，故h3过点A1，A2分别引直线l1，l2通过轴上的点H(0，h)，且使l1l2，因此A1HA2H，由h2(h2)1，得h2此时，l1，l2的方程分别为x2与x2，它们与轨迹E分别