待定系数法与一元二次方程.docx

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待定系数法与一元二次方程

一、例题精析

1、一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，所以，我们把________________________叫做二次函数的一般式。

例1已知二次函数的图象过（1，0），（－1，－4）和（0，－3）三点，求这个二次函数解析式。

小结：

此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：

（1）熟悉待定系数法；

（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。

2、二次函数y＝ax2＋bx＋c用配方法可化成：

y＝a（x＋h）2＋k，顶点是（－h，k）。

配方:

y＝ax2＋bx＋c＝__________________＝___________________＝__________________＝a（x＋）2＋。

对称轴是x＝－，顶点坐标是（－，）,h＝－，k=,所以，我们把_____________叫做二次函数的顶点式。

例2已知二次函数的图象经过原点，且当x＝1时，y有最小值－1，求这个二次函数的解析式。

小结：

此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。

3、一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。

所以，已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：

y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1，x2为两交点的横坐标。

例3已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=－3，x2=1，且与y轴交点为（0，－3），求这个二次函数解析式。

二、应用迁移巩固提高

1、根据下列条件求二次函数解析式

（1）已知一个二次函数的图象经过了点A（0，－1），B（1，0），C（－1，2）；

（2）已知抛物线顶点P（－1，－8），且过点A（0，－6）；

（3）二次函数图象经过点A（－1，0），B（3，0），C（4，10）；

（4）已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当x=3时有最大值4；

（5）已知二次函数的图象经过一次函数y＝－—x+3的图象与x轴、y轴的交点，且过（1，1）；

（6）已知抛物线顶点（1，16），且抛物线与x轴的两交点间的距离为8；

2、如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）（0，4），求这个抛物线的解析式。

三、总结反思突破重点

1、二次函数解析式常用的有三种形式：

（1）一般式：

_______________（a≠0）

（2）顶点式：

_______________（a≠0）

（3）交点式：

_______________（a≠0）

2、选择解析式的规律

（1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。

（2）当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a（x－h）2＋k形式。

（3）当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a（x－x1）（x－x2）。

四、基础训练

1、已知二次函数的图象经过（0，0），（1，2），（-1，-4）三点，那么这个二次函数的解析式是_______________。

2、已知二次函数的图象顶点是（-1，2），且经过（1，-3），那么这个二次函数的解析式是_______________。

3、已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点是（5，－2），那么这个二次函数解析式是_______________。

4、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A（0，－5），B（5，0）两点，它的对称轴为直线x＝2，那么这个二次函数的解析式是_______________。

5、已知二次函数图象与x轴交点（2,0）（-1,0）与y轴交点是（0，-1），那么这个二次函数的解析式是_______________。

6、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标为-1和3，与y轴的交点C的纵坐标为3，那么这个二次函数的解析式是_______________。

7、已知直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象经过A、B两点，且对称轴方程为x=1，那么这个二次函数的解析式是_______________。

8、已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8），那么这个二次函数的解析式是_______________。

9、在平面直角坐标系中，AOB的位置如图所示，已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（－3,1）。

（1）求点B的坐标。

（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；

（3）设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求ΔAB1B的面积。

基础练习:

1.不与x轴相交的抛物线是（）

Ay=2x2–3By=-2x2+3

Cy=-x2–3xDy=-2（x+1）2-3

2.若抛物线y=ax2+bx+c,当a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是（）

A无交点B只有一个交点

C有两个交点D不能确定

3.如果关于x的一元二次方程x24.已知抛物线y=x2–8x+c的顶点在x轴上,则c=＿＿＿＿.

4.-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.

5.抛物线y=2x2-3x-5与y轴交于点＿＿＿＿,与x轴交于点　　　　　　.

6、如果关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有

个交点。

7、抛物线y=x2-kx+k-2与x轴交点个数为（）

A、0个B、1个C、2个D、无法确定

8.抛物线y=2x2-3x-5与y轴交于点＿＿＿＿,与x轴交于点　　　　　　.

9.一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2,x2=5/3,那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿.

归纳：

一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是（x1,0）,（x2,0）

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与a、b、c的关系：

例：

如图,抛物线，请判断下列各式的符号：

①a0；②b0；③c0；

④0；⑤0；

⑥0；⑦0；

⑧0；⑨0