[程序]P1_1abs.m如下。
%超越方程的迭代算法
clear%清除变量
x0=30;%初始值
xx=[];%空向量
while1%无限循环
x=100/(2*log(x0)-3);%迭代运算
xx=[xx,x];%连接结果
iflength(xx)>1000,break,end%如果项数太多则退出循环(暗示发散)
ifabs(x0-x)<1e-4,break,end%当精度足够高时退出循环
x0=x;%替换初值
end%结束循环
figure%创建图形窗口
plot(xx,'.-','LineWidth',2,'MarkerSize',12)%画迭代线'.-'表示每个点用.来表示,再用线连接
gridon%加网格
fs=16;%字体大小
title('超越方程的迭代折线','fontsize',fs)%标题
xlabel('\itn','fontsize',fs)%x标签
ylabel('\itx','fontsize',fs)%y标签
text(length(xx),xx(end),num2str(xx(end)),'fontsize',fs)%显示结果
[图示]用下标作为自变量画迭代的折线。
如P0_20_1图所示,当最大误差为10-4时,需要迭代19次才能达到精度,超越方程的解为27.539。
[算法]方法二:
用求零函数和求解函数。
将方程改为函数
MATLAB求零函数为fzero,fzero函数的格式之一是
x=fzero(f,x0)
其中,f表示求解的函数文件,x0是估计值。
fzero函数的格式之二是
x=fzero(f,[x1,x2])
其中,x1和x2表示零点的范围。
另外MATLAB还有求解函数solve,计算非线性方程和方程组的符号解。
[程序]P1_2fzero.m如下。
%超越方程的求法
clear%清除变量
x=10:
0.1:
100;%自变量向量
f=inline('2*log(x)-3-100./x')%定义内线函数用的是字符窜
figure%创建图形窗口
plot(x,f(x),'LineWidth',2)%画曲线
gridon%加网格
x0=fzero(f,[20,30]);%求方程的零点
%x0=fzero(f,20);%求方程的零点
holdon%保持图像
plot(x0,f(x0),'.')%画零点
title('超越方程的解','fontsize',16)%标题
xlabel('\itx','fontsize',16)%x标签
ylabel('\itf','fontsize',16)%y标签
text(x0,0,num2str(x0),'fontsize',16)%标记零点
x0=solve('2*log(x)-3-100./x')%求超越方程的符号解
plot(double(x0),0,'o')%再画零点(double是把字符转化成数字)
P1_1图P1_2图
2.导数的计算
正弦函数y=sinx的导数是余弦函数y'=cosx,余弦函数的导数是负的正弦函数,用MATLAB的数值导数和符号导数求正弦函数的一阶和二阶导数,并与其解析解进行比较。
[程序]P2diff.m如下。
%正弦函数导数的计算方法
clear%清除变量
dx=0.01*2*pi;%间隔
x=0:
dx:
2*pi;%自变量向量
y=sin(x);%原函数
f1=diff(y)/dx;%通过差分求导数
f1=[f1
(1),(f1(1:
end-1)+f1(2:
end))/2,f1(end)];%求平均值
figure%创建图形窗口
plot(x,cos(x),x,f1,'.')%画一阶导数和数值差分曲线
%plot(x,cos(x),x(1:
end-1),f1,'.')%数值导数(点)偏左
%plot(x,cos(x),x(2:
end),f1,'.')%数值导数(点)偏右
symssx%定义符号变量
y=sin(sx);%建立符号函数
dy_dx=diff(y);%求符号导数
df1=subs(dy_dx,sx,x);%符号替换数值
holdon%保持图像
plot(x,df1,'ro')%画符号导数曲线
gridon%加网格
legend('解析导数','数值差分','符号导数',4)%图例
title('正弦函数的一阶导数','FontSize',16)%加标题
f2=diff(f1)/dx;%通过差分求导数
f2=[f2
(1),(f2(1:
end-1)+f2(2:
end))/2,f2(end)];%求平均值
d2y_dx2=diff(y,2);%求二阶符号导数
df2=subs(d2y_dx2,sx,x);%符号替换数值
figure%创建图形窗口
plot(x,-sin(x),x,f2,'.',x,df2,'o')%画二阶导数和差分以及符号导数曲线
gridon%加网格
legend('解析导数','数值差分','符号导数',4)%图例
title('正弦函数的二阶导数','FontSize',16)%加标题
[图示]
(1)如P2a图所示,正弦函数的一阶导数的数值解(点)与解析解(线)符合得很好。
(2)如P2b图所示,正弦函数的二阶导数的数值解(点)和符号解(圈)与解析解(线)符合得很好,不过二阶数值导数在端点与精确值有一点偏离。
P2a图P2b图
3.积分的计算
求证:
函数y=eaxsinbx的积分为
其中a=-0.5,b=2。
积分下限为0。
上限为x,画出定积分的函数曲线。
[证明]利用分部积分得
即
由此可证不定积分。
当x=0时,S应该为零,所以
因此,从0开始的积分为
利用复数积分的方法更简单。
由于
其中C'表示复常数。
根据欧拉公式eix=cosx+isinx,上式两边取虚部即可证明同一结果。
上式两边取实部还可证明
[算法]设被积函数为y=f(x),取间隔为Δx,取上限为x=nΔx,则积分可用求和公式近似表示
积分既能用上式近似计算,也能用积分的解析式计算,还能用数值积分和符号积分计算。
[程序]P3quad.m如下。
%数值积分和符号积分方法
clear%清除变量
a=-0.5;%指数的常数
b=2;%正弦函数的常数
dx=0.1;%间隔
xm=6;%上限
x=0:
dx:
xm;%自变量向量
s1=(exp(a*x).*(-b*cos(b*x)+a*sin(b*x))+b)/(a^2+b^2);%积分的解析解
y=exp(a*x).*sin(b*x);%被积函数
s2=cumtrapz(y)*dx;%梯形法积分
figure%创建图形窗口
plot(x,s1,x,s2,'.')%画积分曲线
gridon%加网格
s=['exp(',num2str(a),'*x).*sin(',num2str(b),'*x)'];%被积分函数字符串
f=inline(s);%化为内线函数,才可以被调用(画成)
s3=0;%第1个积分值
fori=2:
length(x)%按自变量循环
s3=[s3,quad(f,0,x(i))];%连接积分quad对f积分下限0,上限x(i)
end%结束循环
holdon%保持图像
plot(x,s3,'or')%画数值积分曲线
symssasbsx%定义符号变量
ss=exp(sa*sx)*sin(sb*sx);%被积符号函数
sy=int(ss,sx)%对sx进行符号积分
ssy=subs(sy,{sa,sb},{a,b});%替换常数
s4=subs(ssy,sx,x);%替换向量因为sx与sa,sb的长度不一样,不能同时替代
plot(x,s4-s4
(1),'ko','MarkerSize',10)%画符号积分曲线
tit=['\ity\rm=e^{',num2str(a),'}\it^x\rmsin',num2str(b),'\itx'];%形成数学公式:
^表示上标
title([tit,'\rm的积分'],'FontSize',16)%标题
legend('公式法','梯形法','数值法','符号法',4)%加图例(4表示右下角,0表示电脑选择最佳位置,-1把图例放到外面)
[图示]如P3图所示,梯形法积分(点)与积分的解析解(线)符合得很好,
4.微分方程的求解方法
(1)求一阶微分方程的解
当x=0时,y=2,这是初始条件。
用微分方程的数值解和符号解画出函数曲线,并与解析解进行比较。
(2)求二阶微分方程的解
P3图
初始条件为y(0)=1,y'(0)=2。
用微分方程的数值解和符号解画出函数曲线和导数的曲线,并与解析解进行比较。
[解析]
(1)分离变量得
积分得
lny=2ln(x+1)+C
利用初始条件可得C=ln2,因此
y=2(x+1)2
[程序]P4_1ode.m如下。
%一阶常微分方程的解析解,数值解和符号解
clear%清除变量
x=linspace(0,2,50);%自变量向量
y1=2*(x+1).^2;%解析解
f=inline('2*y/(x+1)');%微分方程右边化为内线函数
[x2,y2]=ode45(f,x,2);%求微分方程的数值解(ode常微分方程)
ys=dsolve('Dy-2*y/(x+1)','y(0)=2','x')%求微分方程的符号特解dsolve(初始条件决定)Dy=dy_dx
y3=subs(ys,'x',x);%将符号改为向量求数值解
figure%创建图形窗口
plot(x,y1,x,y2,'.',x,y3,'o')%画曲线
gridon%加网格
legend('解析解','数值解','符号解',4)%图例
xlabel('\itx','FontSize',16)%横坐标
ylabel('\ity','FontSize',16)%纵坐标
title('一阶常微分方程的解','FontSize',16)%标题
[图示]如P4_1图所示,一阶微分方程的数值解(点)和符号解(圈)与解析解(线)符合得很好。
P4_1图P4_2图
[解析]
(2)由于y'=dy/dx,分离变量得
积分得
lny'-ln(x2+1)=C1
当x=0时,y'=2,所以C1=ln2,因此
y'=2(x2+1)
再积分
当x=0时,y=1,所以C2=1,因此
设y
(1)=y,y
(2)=dy/dx,可得两个一阶微分方程
,
将两个一阶微分方程设计成函数文件,以便求数值解。
[程序]P0_23_2ode.m如下。
%二阶常微分方程的解析解,数值解和符号解
clear%清除变量
x=linspace(0,3,30);%自变量向量
y1=1+2*x+2*x.^3/3;%解析解
dy1=2*x.^2+2;%解析解的导数
[x2,Y]=ode45('p4_2fun',