奥数复习纲要4.docx

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奥数复习纲要4

9.排列组合 

1.乘法原理 

 一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，….，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有

N=m1×m2×…×mn

种不同的方法。

 加法原理 

 一般地，如果完成一件事有K类方法，第一类方法中有m1种不同方法，第二类方法中有m2种不同的方法，…..，第K类方法中有mk种不同的方法，则完成这件事共有

N=m1+m2+….+mk种不同的方法。

2.排列 

一般地，从n个不同的元素中任取m个元素（m≤n），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。

 一般地，从n个不同的元素中任取m个元素（m≤n）的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，我们把它叫做Pnm.

3.组合 

一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。

一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，记作Cnm.

4.排列组合 

运用这两个基本原理时要注意：

不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立的把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数。

不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数。

解决排列组合，主要有两种方法：

捆绑法、插空法。

9.数学游戏 

1.轮流报数，最后致胜策略 

2.数阵图 

I.一般地说，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表叫做n阶幻方。

这个和叫做幻和，n叫阶。

（九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出） 

九子排列 上、下对易 左右相更

9.统筹规划 

1.串行性 

2.并行性 

9.整数问题 

1.约数和倍数：

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

记作：

b|a

2.如果bc|a,则b|a,c|a.

3.如果b|a且c|a,且（b,c）=1,那么bc|a.

4.数的整除特征：

（2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，29）

定理一：

能被2或5整除的特征，是它的末位数字能被2（或5）整除。

定理二：

能被4（或25）整除的特征，是它的末两位数字能被4（或25）整除。

定理三：

能被8（或125）整除的特征，是它的末三位数字能被8（被125）整除。

定理四：

能被11整除的特征，是这个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字的和的差能被11整除。

定理五：

能被7（11或13）整除特征，是奇位千进位的总和与偶位千进位的总和的差（或者反过来）能被7（11或13）整除。

定理六：

能被17整除特征，是末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除。

定理七：

能被19整除的特征，是末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除。

定理八：

能被23（或29）整除的特征，是末四位与前面5倍的隔出数的差能被23（或29）整除。

1.质数（素数）、合数、质因数、分解质因数 

一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

注意：

1不是质数，也不是合数。

如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

2.约数个数的判断：

36=22×32 约数的个数=（2+1）×（2+1） 

3.所有约数的和：

 36=22×32 约数的和=（1+2+4）×（1+3+9） 

4.最大公约数和最小公倍数 

I.熟练运用辗转相除法 

II.定理：

两个数最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。

（a,b）x[a,b]=axb 

III.两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。

IV.两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

9．带余除法

I.方法一 

例如：

一个数除以3余款，除以5余额，除以7余款，求适合这条件的最小的数。

解：

先分别求出被5和7整除而被3除余1的数（70），能被3和7整除而被5整除余1的数（21），能被3和5整除而被7整除余1的数（15）

70 × 2 + 21 × 3 +15 × 2 –3 ×5 ×7 ×n=233-105n=23

II.方法二 

III.方法三 

8.同余性质 

定理一：

若a≡b（mod m）,c≡d（mod m）,那么ac≡bd（mod m）可乘性

定理二：

若a≡b（mod m）,那么an≡bn（mod m）其中n为自然数

定理三：

若ac≡bc（mod m）,（c,m）=1,那么a≡b（mod m）

定理四：

对于模n同余的两个整数a和b，它们的差一定能被n整除。

定理五：

被除数扩大（或缩小）n倍，除数不变，则商和余数也相应扩大（或缩小）相同的倍数。

9.数的进位制（各种进制的互化、与计算机相关部分的了解、基数、数码） 

10.完全平方数 

I.完全平方数的个位数字只可能是0、1、4、5、6、9 。

II.一个完全平方数的约数的个数必是奇数，反之，一个自然数的约数的个数是奇数，这个数是完全平方数：

一个非完全平方数的约数的个数必是偶数。

III.完全平方数的个位数字为奇数时，它的十位数字必是偶数；完全平方数的个位数字是6 时，它的十位数字一定是奇数。

IV.一个完全平方数的质因数分解因式中，每个质因数的冥指数都有是偶数。

V.完全平方数被4整除或被4整除余1. 

VI.相邻两个整数a 和（a+1）的平方a2与（a+1）2之间，不存在完全平方数。

8.把一个整数拆成几个自然数的和，使得所有数的积最大的原则：

I.拆出的数不能有1 

II.拆出的数中以2和3最好 

III.既能拆成若干个2，又能拆成若干个3时，应当拆成3 

12．数的分类扩展（数的表示方法及各种不同的进制表示方法、奇偶性）

9.分数问题 

I.加成分数 

II.单位分数 

1/n=1/x+1/y

1/n=1/x+1/y+1/z

4/n=1/x-1/y

III.循环小数与分数（判断有限小数及小数位数、无限小数、纯循环小数、混循环小数及循环节最少位数和不循环部分位数、循环小数化分数的两种方法） 

循环小数：

一个数的小数部分，如果从某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的数就叫做循环小数。

循环小数是无限小数，它的位数是无限的。

循环小数的小数部分中，依次不断重复的数字，叫做它的一个循环节。

如果循环节从小数部分第一位（十分位）开始的，叫做纯循环小数；循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。

定理一：

如果最简分数的分母除2、5质因数外，不含其它质因数，这个分数能化成有限小数。

将能化成有限小数的最简分数的分母进行质因数分解，看质因数2和5的冥指数，较大的那个指数的大小就是有限小数的位数。

定理二：

如果最简分数的分母除2、5质因数外，含其它质因数，这个分数不能化成有限小数。

一个最简分数的分母里，如果只含有2,5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数，这个纯循环小数循环节的最少位数，等于9、99、999、9999 ……诸数中能被分母整除的最小那个数里9的个数 。

一个最简分数的分母里，如果除含有2或5质因数外，还含有其它质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数。

这个不纯循环部分里的数字的个数，等于2、5中较多的一个数的个数。

循环节的最少位数等于9、99、999、9999 ……诸数中能被分母2、5以外的质因数（或质因数的乘积）整除的最小那个数里9的个数。

循环小数化分数有以下三种方法：

（1）纯循环小数化分数，分子是一个循环节的数字所组成的数，分母各位都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同。

混循环小数化分数，分子是小数点后面第一个数字到第一人循环节末的数字减去不循环数字所组成的数的差；分母的头几位数字都是9，末几位数字都是0,9的个数与循环节中的数字的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同 。

（2）采用方程法。

（3）循环小数化分数，也可以运用无穷递缩等比数列的求和公式。

[S=a1/（1-q）

]，设有一无穷递缩等比数列：

a1,a1q,a1q2,…….（公比|q|<1）,各项和为：

S=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1q4+a1q5+….., 

（1）

两边同乘以q得：

Sq=a1q+a1q2+a1q3+a1q4+a1q5+a1q6……. 

（2）

（1）-

（2）,得

S（1-q）=a1

 所以：

IV.巧化分母是7的分数为小数 

V.

分数数列的求和 

VI.裂项求和 

 一般地，可得用下面的等式，巧妙的计算一些分数求和的问题：

VII.繁分数和连分数（掌握运算规则、分数化边分数） 

一个分数的分子部分或分母部分仍含有分数或含有四则运算，这样的数叫做繁分数（或繁分式）。

繁分数的化简方法：

一般先把繁分数的分子和分母部分分别计算出来，再用分子除以分母进行化简。

VIII.分数大小的比较（小数法、倒数法、观察法、差1法、通分法、对角相乘法、 

性质法、作商法）

9.抽屉原理：

如果把（n+1）个元素放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放有不止一个这样的元素。

1.建立抽屉的基本方法

同余法构造抽屉

分割图形构造抽屉

状态分析构造抽屉

2.扩展抽屉原理：

一个（正）数，分放于几个抽屉里，必有一个抽屉里存放的数大于或等于平均值。

（应用于解关于求整数解的不定方程）

10.时钟问题 

1.时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题。

分针速度是时针速度的12倍， 

分针每走60÷

这里列出一个基本公司，在初始时刻需追赶的格数÷（1-1/12）=追及时间（分钟），其中，1-1/12为分针每分钟比时钟多走的格数。

9.逻辑推理 

10.

容斥原理 

11.递推方法 

1.有序思考 

I.定理一：

在十个连续的自然数中，每个数字都出现一次，而在一百个连续的自然数中，每个数字都出现十次。

同样的道理，在一百个连续的自然数中，十位上也将出现十个同样的数字。

II.汉洛塔问题解决策略。

9.最佳选择 

1.站点的选择 

2.图论（一笔画）