M08A28 证明一.docx

M08A28 证明一.docx

《M08A28 证明一.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《M08A28 证明一.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

M08A28证明一

第二十八节证明

（一）

【知识要点】

1．定义、命题、真命题、假命题、公理、证明、定理、推论？

2．平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：

相交和平行。

3．两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。

即，两条直线相交有且只有一个交点。

4．垂直是相交的特殊情况。

有关两直线垂直，有两个重要的结论：

（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。

【典型例题】

例1如图，直线a与b平行，∠1＝（3x+70）°,∠2=（5x+22）°,求∠3的度数。

例2已知：

如图，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，

∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。

例3如图，已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB的度数。

例4如图所示，AA1∥BA2，求∠A1-∠B1+∠A2．

（2）这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题．

问题1如图所示．∠A1+∠A2=∠B1，问AA1与BA2是否平行？

问题2如图所示．若∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn-1，问AA1与BAn是否平行？

例5已知锐角三角形ABC的三边长为a，b，c，而ha，hb，hc分别为对应边上的高线长，求证：

ha+hb+hc＜a+b+c

例6如图，直线AB与CD相交于O，EFAB于F，GHCD于H，求证：

EF与GH必相交。

【大展身手】

一、填空题:

（本题共5个小题，共20分）

1、把命题“对顶角相等”的条件和结论互换得到的新命题是，

它是一个命题（填“真”或“假”）

2、有一正方体，将它各面上分别标出a、b、c、d、e、f。

有甲、乙、丙三个同学站在不同角度观察结果如图，问这个正方体各个面上的字母的对面各是什么字母，即a的对面为，b的对面为，c的对面为.

3、如图，∵DE∥BC（已知）

∴∠1=,∠2=.（）

又∵∠1=∠2（已知）

∴∠B=∠C（）

∵∠3=∠B（已知）

∴∠3=∠C（）

∴DF∥AC（）

4、把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，然后再沿着BF折叠，使得BE也与BC边重合，展开后如图1所示，则∠DFB=.

（1）

（2）（3）

5、如图2，已知AB∥EF,∠C=90°，则α+β-γ=_____.

二、选择题:

（本题5个小题，共20分）

1.下列命题中为假命题的是（）

（A）内错角不相等，两直线不平行;

（B）同一平面内两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补;

（C）钝角的补角必是锐角;

（D）经过两点有且只有一条直线.

2、举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题时，下列反例中不正确的是（）

（A）设这个角是45°，它的余角是45°，但45°=45°

（B）设这个角是30°，它的余角是60°，但30°＜60°

（C）设这个角是60°，它的余角是30°，但30°＜60°

（D）设这个角是50°，它的余角是40°，但40°＜50°

3、如图3所示，用两只相同的三角形按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是（）

（A）同位角相等，两直线平行;（B）同旁内角互补，两直线平行

（C）内错角相等，两直线平行;（D）平行于同一条直线的两直线平行

4、如图4，直线AB∥CD，则∠1、∠2、∠3度数的的比可能为（）

（A）1：

1：

1;（B）1：

2：

3;（C）2：

3：

1;（D）3：

2：

3

5、如图5,∠CGE=α，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（）

（A）360°-∠α;（B）270°-∠α;（C）180°+∠α;（D）2∠α

（4）（5）

三、解答题:

（本题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明或演算步骤）

1、如图，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF=∠F，则EC与DF平行吗？

若平行，试证明：

若不平行，说明理由.

2、如图,著名的比萨斜塔建成于12世纪,从建成之日起就一直在倾斜,目前它与坚直方向夹角为5°,∠EFD=52°,求∠ABC的度数.（其中BC与EF平行）

3、如图，∠3+∠4=180°，求证：

∠2=∠5.

4、如图,长方形台球桌上，选择适当的方向击打白球，使白球两次撞击桌面边缘后将红球撞入袋中，此时，∠1=∠2，∠3=∠4.

求证：

白球第二次反弹后的方向与开始击打白球方向平行，即：

AB∥CD.

5、在△ABC中，∠B=∠C，AB垂直平分线与AC所在直线相交所得锐角为50°，求∠B的大小.

【小试锋芒】

一、填空题（每空5分，共35分）

1．命题“末位数是0或5的整数能被5整除”中，条件是，结论是.

2．阅读下列语句：

⑴若a∥b，b∥c，则a∥c；⑵对顶角相等；⑶相等的角是对顶角；⑷若a·b=0，则a=0；⑸两直线平行，同旁内角互补.在上述语句中，属于真命题的是（填序号）.

3．如图1，直线a、b均与c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共8个角，请你填上你认为适当的一个条件：

，使得a∥b.

4．请用“如果…，那么…”的形式写一个命题：

.

5．在△ABC中，若任何一个内角小于其他两个内角之和，则△ABC一定是三角形.

6．如图2，∠1∠2∠3∠4.

二、选择题（每题6分，共30分）

1．下列语句是命题的是（）.

（A）作线段AB的垂直平分线（B）在直线AB上取一点C

（C）∠C是直角吗？

（D）相似三角形的对应边成比例

2．下列命题，是真命题的是（）.

（A）同位角相等（B）相等的角是同位角

（C）对顶角相等（C）相等的角是对顶角

3．如图3，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）.

（A）∠3∠4（B）∠1∠2

（C）∠D∠DCE（D）∠D∠ACD180°

4．如图4，∠x的两边被一直线截得∠、∠，则x用、表示的式子是（）.

（A）（B）

（C）180°（D）180°

5．如图5，D是△ABC中AC边上一点，E是BD边上一点，则关于∠A、∠1、∠2之间的说法，正确的是（）.

（A）∠A>∠1>∠2（B）∠2>∠1>∠A

（C）∠1>∠2>∠A（D）无法判断

三、（8分）如图6，AB∥CD，∠B=∠C，求证：

AC∥BD.

四、（8分）如图7，已知D为△ABC内任一点，求证：

∠BDC>∠ABD.

五、（9分）一个零件的形状如图8，按规定∠A应等于90°,∠B、∠C应分别是21和32.现测量得∠BDC148°，你认为这个零件合格吗？

为什么？

六、（10分）如图9，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得四个关系中任意选取一个加以证明.

证明

（二）（备用）

一、选择题

1．如果一个三角形的角平分线是中线，则该三角形是（）

A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．任意三角形

2．下列命题中真命题的个数是（）

（1）如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边．

（2）如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段，那么延长线段的两个端点与顶点的距离相等．

（3）等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等．

（4）等腰三角形高上一点到底边的两端点的距离相等．

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．等腰三角形的底边长为a，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（）

A．

aD．

a

4．以Rt△ABC的斜边AB为斜边，另作一个Rt△ABD，如果BC=1，AC=b，AD=2，那么BD等于（）A．

5．如果△ABC的∠A、∠B的外角的平分线分别平行于BC、AC，则△ABC是（）

A．等边三角形B．等腰三角形而非等边三角形

C．直角三角形D．等腰直角三角形

6．如图1，AB=AC，AE=AF，AD⊥BC，则图中共有（）对全等三角形．

A．1B．2C．3D．4

7．如图2，在△ABC中，∠A=80°，AB=AC，D、E、F分别是BC、AB、CA边上的点，且BD=BE，CD=CF，∠EFD：

∠FED=3：

2，那么∠AEF的度数是（）

A．78°B．63°C．52°D．37°

8．三角形中有一条边是另一条边的2倍，并且有一个内角为30°，则这个三角形是（）

A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形D．形状不能确定

9．如图3中的△BDC′是将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠得到的，图中（包括实线虚线在内）共有全等三角形（）

A．2对B．3对C．4对D．5对

10．如图4，一牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A、B处距河岸的距离分别为AC=500m和BD=700m，且C、D两地间距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（）

A．100

mB．1200mC．1300mD．1700m

（4）（5）（6）

11．设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示他们之间关系的是（）

12．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）

A、4cmB、6cmC、8cmD、10cm

13．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）

A、30°B、36°C、45°D、70°

14．如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件可以是（）

A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′C

（第12题图）（第13题图）（第14题图）（第15题图）

15．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则ABC的大小是（）

A、40°B、45°C、50°D、60°

16．小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是（）

A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm

二、填空题

17．有这样一个命题：

全等三角形中的两条边以及其中一边的对角对应相等，则这个命题的逆命题是__________．逆命题是_____命题（填“真”或“假”）

18．△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在BC上，且BD=BE，DE=CE，则∠A的度数为________．

19．如图5，AE是∠BAC的角平分线，AE的中垂线PF交BC的延长线于点F，若AE=AF，∠CAF=50°，则∠B=________．

20．如图6，P是∠AOB的平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，PC∥OB°交OA于点C，若∠AOB=30°，PD=2cm，则CP=_______cm．

21．如图7，△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于D，若AB=12cm，AC=8cm，则△ACD的周长为________．

（7）（8）（9）

22.下列命题①对顶角相等；②等腰三角形两个底角相等；③两直线平行，同位角相等。

其中逆命题为真命题的有（填序号）。

23.等腰三角形的底角为15°，腰长为10，则三角形的面积为。

24.如图5，□ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=cm。

25.如图6，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△ABD的周长为18cm，则△ABC的周长为cm。

26.平地上有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米。

三、计算及证明题

27．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45º。

翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E。

若AD=2，BC=8，求：

（1）BE的长。

（2）CD：

DE的值。

28．如图1-73所示，在河岸同侧有A、B两村，C为河岸上一供水站，CA、CB为供水管道，现测得CA=12km，CB=5km，两村距离为13km，∠a=30°，若有一人从C处出发，沿河岸行走，速度为3km/h，问多长时间后距A最近？

29．已知如图1-74所示，△ABC中，延长BA到D，使AD=AC，连结CD，AE是△ACD的高．

（1）若∠BAC=80°，求∠CAE、∠D的度数；

（2）若AB=AC，求证AE∥BC．

30．已知，如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=

AB，点E、F分别为BC、AC的中点．求证；

（1）DF=BE；

（2）过点A作AG∥BC交DF于G，求证：

AG=DG．

31．如图，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220kmB处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15km/h的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心，风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．

（1）该城市是否受到这次台风的影响？

请说明理由．

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？

（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？