《数值分析》复习题14doc.docx
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《数值分析》复习题
一、填空题
1.已知近似数/=-1.28,则其绝对误差限为,相对误差限是
3.9%o
2.测量一支铅笔长是16cm,那么测量的绝对误弟限是一0.5cm,测量的相对
误差限是一3.1%。
3.度量一根杆子长250厘米，则其绝对误差限为,相对误差限是
0.2%
4.在数值计算中，当d是较大的正数时，计算J荷-奶应变成l/（J（a+l）+7a）
5.在数值计算中，计算6-V35应变成一来计算。
6+后
6.在数值计算屮，计算1-cos3°应变为2x（sinl,5）2来计算。
7.若/（X）=2x5-7x4+9x3-2x+100,则/[l?
4l,42?
43,4\45]=…2,
/[1931,3253\34,35,36]=0。
&函数/（X）关于三个节点x0,x19x2的拉格朗口二次插值多项式为
fifx）=f（xO）Kx・x1）（x・x2）/（x0・x1）（x0・x2）]
9.当f（x）=x时，=Sf（k/n）Pk（x）=x。
10.代数式R22（x）=
1Oxj—3兀,—x>—~1
11.已知方程组-2西+7吃+3兀3=2,那么收敛的Jacobi迭代格式为:
X|+2兀r—11兀3=—5
收敛的G-S迭代格式为:
收敛理rh是方程组的系数矩阵为严格对角打优阵
12.已知线性方程组
3-111
9-32
4-18
那么收敛的Jacobi迭代格式:
收敛的G-S迭代格式:
收敛理由是一严格对角占优矩阵，
13.求积公式人=£人/（九）至少有n次代数精度的充要条件是—严格对角占优矩
阵;
当n是偶数时，牛顿■柯特斯公式In=（b-a）^C[,l]f（xk）至少有_卄1次代数精
k=Q
度;
高斯求积公式^f（x）p（x）dx=丈人.心）至少有—2n+l次代数精度。
_7
2
2
7
2
14.设4=
•
■
■
■
■
■
■
■
2
7
2
'k=0
几_7<2「.
gRnxn,则矩阵A的特征值的界为一=>[3,11],
Z—7W4
2
7
矩阵…特征值的界为H，-
3
15.已知>4=,兀二一1,那么制L=_max卜1|+2,|—3|+5}=8_
-3500
L」4
|州=卜1|+|-3|,2+5}=7
||A||2=max{（竺乎=738.97434209=6.243||x|L=max{3,|-1|?
4）=4」|班=
|3|+|-l|+4=8卜|L=,
其屮相等的范数有.
二、判断题
L如果插值节点心舛"，无互不相同，则满足插值条件的〃次插值多项式是存在且唯一。
X
2.迭代改善法能够解决一切方程纟R的病态问题。
（x）
3.
（V）
区间［°,方］上的三次样条插值函数S（x）,在上具有肓到三阶的连续函数。
（x）
■-1
2.5_
~-5~
4.已知A=
-3
-3.5
，x=
1
5.求解何的近似值，我们能用函数逼近的插值法，解方稈的二分法以及迭代法屮的牛顿
法來完成。
（V）
6.插值法是函数逼近、数值微分和微分方穆数值解的基础。
（V）
7.对于数值微分，我们仅仅考察节点处的导数值。
（X）
&在使用松弛法（SOR）解线性代数方稈组AX=b时，若松弛因了0满足|^-1|>1,则
迭代法一定不收敛。
9.求解单变量非线性方稈/（x）=0,弦截法具有1.618阶收敛，抛物线法具有1.840阶收敛,
牛顿法具有2阶收敛。
10.解单变量非线性方稈/⑴=0,牛顿法在单根附近具有2阶收敛，若再用Steffensen迭
代法，则为3阶收敛。
三、计算解答题和证明题
1、已知函数表如下：
X
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0000
1.2214
1.4918
1.8221
2.2255
构造茅分表，用三点牛顿插值多项式，求』2和严2的近似值。
解相应的函数值及差分如下表
一阶差分
二阶差分
三阶差分
四阶差分
2.71282
4.48169
1.76341
7.2S906
2.80737
1.14396
12.18249
4.79343
1.SS606
0.74210
20.08554
7.90305
3.10962
1.22356
0.48146
求f（l.2）用牛顿前插公式，此时xo=l,x=l.2=1+0.4h,故t=0.4,于是
—（1.2）=2>71828+0.4X1.76341+1/2X0.4X（0.4-1）XI.14396-
1/6X0.4X（0.4-1）（0.4-2）X0.74210=3.3338362
求f（2.8）用牛顿后插公式，此时；©二3,x=2.8=3-0.4h,故t=-0.4,于是
—（2.8）=20.08554+（-0.4.）X7.90305+1/2X（-0.4）X（-0.4+1）X3.10962+1/6X（-0.4）X（-0.4+1）（-0.4-2）XI.22356=15.7680872
_0.2624-0.0953
1.3-1.1
=0.8355,
2、用适当的二次插值多项式求lnl.14和In1.88,并估计误羌，函数表如下:
1.1
1.3
1.5
1.7
1.9
Inx
0.0953
0.2624
0.4055
0.5306
0.6419
解：
由题意可知，利用牛顿插值公式可得，/（x0）=0.0953
列出函数及均并表为:
X
In.V
1.1
0.0953
1.3
0.2624
0.8355
-0.3
1.5
0.4055
0.7155
1.7
0.5306
0.6255
-0.225
0.125
1.9
0.6419
0.5565
-0.1725
0.08750.046875
则得到的牛顿插值公式为：
lnx=0.0953+0.8355（兀一1•1）一0.3（兀一1.1）（无一1.3）+0.125（兀一l.l）（x一1.3）（x-1.5）,
故：
hil.l4=0」30928,51.88=0.632759。
而要求的准确值分别为：
In1」4=0.131028262,In1.88=0.631271776。
误差分别为：
e；=0.130928-0.131028262=-0.000100262,
幺；=0.632759-0.631271776=0.001487224
3、试用最小二乘法求一次多项式拟合以上数据,并求出均方误差，某实验数据如下：
（1）
1
3
4
6
1.2
3.5
5
6
（2）
xi
i
2
3
4
5
y>
0
2
2
5
4
（3）
xi
1
3
4
6
y>
1.2
3.5
5
6
（4）
-2
J
1
2
3
x-
7
5
2
1
■1
解：
由所给的数据作图，可以看到图上各点在一育线附近，故选择线性函数作拟合Ml线，即
X
1
1.2
1
1.2
3
3.5
9
10.5
4
5
16
20
6
6
36
36
Z
14
15.7
62
67.5
令：
y=d（）+d］«r。
由题目所给条件可得下表:
则得到线性方程组:
4a+14&=15.7,\a=0.546\54
14a+62b=67.5\b=0.9653846
于是所求的拟合曲线为：
y=0.546154+0.9653846x。
4、二分法求根
⑴方稈x4+x-3=0在［1,2］附近的根，使绝对误差不超过0.01（绝对误差估计式:
2-1
2^
学）;
k
ak
/U,）的符号
0
1
2
1.5
+
1
1
1.5
1.25
+
2
1
1.25
1.125
+
3
1
1.125
1.0625
■
解：
由题意得，要使绝对值谋茅不超过0.01,即
<0.01,解得k>6,即至少要二分6
次才满足题li要求。
其屮，二分法的计算结果如下表:
4
1.0625
1.125
1.09375
5
1.9375
1.125
1.109375
6
1.109375
1.125
1.1171875
■
故F二屁=l.H72o
（2）方程/（x）=x3+x2-3x-3在［1,2］附近的根,使绝对误差不超0.01;
5、用适当的方法解方程组:
（3）方程兀4+2兀一1=0,在卜2厂1］附近的根，使绝对误差不超过0.01。
（1）<+10x2+5x3=11;
4jj+5x2+2*=-9
<4
2
4]
/\
（4]
解：
（1）原线性方程纟R可表示为：
2
10
5
无2
—
11
<4
5
21丿
UJ
<_9>
<4
2
4]
<4>
'2
1
2、
/\
兀1
''I
得，
0
3
1
x2
=
3
，以勺2=3为主元消去勺，得
0
3
1
兀2
=
2
0
-3
7
、0
0
-16
/
2
以du=4为主元消去兀］,
4
解得兀3=_1，兀2=一
‘31
（2）利用追赶法求解：
过程如下：
03
P1
08-3
XXI—7
123
yyy
/
、
o021
4-3H-
--yly2
0011
-
3
Tr
5-
O3-81
---
123
6、写出龙贝格系列公式，并用龙贝格方法计算积分误差限不超过KT—
4X
7、写出复化梯形公式、复化辛普生公式、复化柯特斯公式及龙贝格公式关系式，并计算积
分f/cos感仪，已知T}=-34.778519,T2=-17.389259,
7；=-13.336023,7；=-12.382162
W：
复化梯形公式:
；=-Z[/（-Va.=-+）+/（&）,
式
n-1
2工[/（无）+4/（心+“2）+/（%」=匸/（G）+4工/（S/2）+2工/（"）+/（〃）
k=0
龙贝格公式关系式:
%-人c=4%-S“r=£Q±-£l
4-1，“42-l，“43-l
则所求积分fevcosxdx用龙贝格
&=4><（-17.3892?
[（-34.778519）=j592839
S,=4x（-13.336023）-（-17.389259）=」98494433,
一4-1
=4x（-12.382162）-（-13.336023）=七昨彳彳,
44-1
16x（-11.98494433）-（）.592839）=七小108469
115
R\=
64x（-12.06420833）-（一12.01108469）
=-12.06505157o
故所求积分：
J：
/cosMx=—12.06505157。
7^|~x+2禺一3£=—9
2x}+x9+10x.-xd=6
8、设方程组1o2?
4,写出Jacobi迭代法和G-S迭代法的迭代格式,
_石-8x2+3x,-x4=0
3X]-x2+2x3-9x4=10
并证明它们是收敛的。
9、求J函，至少用三种方法求值，并简要叙述求解过程。
解：
①利用拉格朗口插值法：
因为1卩“21,11.62=134.56。
所以J而在11至11.6
X
121
125.44
129.96
134.56
11
11.2
11.4
11.6
Z间，故
由拉
格朗
口插值公式得
「I你（兀-121）（—125.44）（—134.56）
（129.56-121）（129.56-125.44）（129.56-134.56）
11.6X
（兀一12l）（x—12544）（无一129.96）
（134.56—121）（134.56-125.44）（134.56-129.96）
故Vi乔
②利川牛顿插值法：
列出的函数集均并表为:
121
11
125.44
11.2
0.04505
129.96
11.4
0.04425
-0.000089
134.56
11.6
0.04348
-0.000057
0.0000024
则由牛顿插值公式得
Vx=ll+0.04505x（x-121）+（-0.000089）x（x-12l）（x-125.44）,
③二分法：
设/（x）=x2-129,因为1〃=121,11.6?
=134.56。
所以在11至11.6Z间'为使殊小于。
皿有兽<0.02,解得心，即二分四次即可满足要求。
k
ak
叽
/（心）的符号
0
11
11.6
11.3
1
11.3
11.6
11.45
+
2
11.3
11.45
11.375
+
3
11.3
11.375
11.3375
4
11.3375
11.375
11.33625
+
^V129-X,=11.33625o
10、设力是正交矩阵，证明Cond（A）2=1o
11、证明：
（1）当/（%）=x时，Bn（f,x）=x；
⑵A（fkgk）=fk^gk+gM/^fk;
（3）如果4是正交阵，则ccmd（A）2=10
13、证明：
适当选取待定参数求积公式
"⑶如级⑼+他+肿心—伽的代数精度可达到心3。
14、试证明：
适当选取待定参数4°,人，A2,求积公式
「f（x）dx-Ao/（O）+AJ（h）+A2f（2h）的代数精度可达到m=2.
15、证明Chebyshev多项式Tn（x）,
（1）满足微分方程:
（1-X2）7；；（X）-xT'n（x）+n2Tn（x）=0；
证明：
Tn（X）=cos（/7arccosx）:
Tn（X）=sin（/zarccosx）；
T；（x）=cos（narccosx）—+sin（narccosx）"人、=——-丁Tn（x）HxT
x\-x1-x1-x
等式两边同时乘以（1-x2）并移项，即得到，（1-%2）<（X）-xTn（x）+n2Tn（x）=0o
221
16、已知方阵4=111,
_321
（1）证明：
A不能分解成一个单位下三角阵厶和一个上三角阵U的乘积;
（2）试通过交换4的行，进行LU分解。
（2）先交换2、3两行，交换1、2两行，
1
0
0_
「3
2
1・
「0
0
r
L=
0.6667
1
0
U=
0
0.6667
0.3333
P=
1
0
0
0.3333
0.5
1
0
0
0.5_
0
1
0
二、课本习题
1.每章的“复习与思考题”
2.P48,2,4,8,16;
P94,7,10,13,16,19;
P135,l,14;
Pl76,7,8,9,10,13,19,20;
P209,l,2;
P238,l,3,7,12;
P275,l,2;
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