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教学是一门遗憾的艺术
教学是一门遗憾的艺术
——对两节小学数学课的点评
由于我从事高中数学教育教学研究工作，所以听的课大都是高中的数学课，很少到小学去听课。
前几天因为工作之需，到几所小学检查教育教学工作，听了几节小学数学课，感到很新鲜，给我从事的高中教研工作很多启示。
现就两节比较典型的课堂教学，谈一下我的理解和认识，同时也和这两位做课的老师做个交流。
时间：
2010年12月2日 学校：
头道实验小学 课题：
试商 讲课教师：
何丽娟
1、在“试商”中培养学生的估算能力
运算能力是四大数学能力之一，运算能力的主要要的标志就是估算能力的高低，无论在义务教育阶段，还是高中教等院校招生考试，估算能力都是数学教学重点培养的能力之一。
何老师在课前复习、例题讲解、变式练习中以培养学生估算能力为主线为组织教学，体现了她对课标和教材的深入理解和对学科教学的整体把握。
2、设计开放性问题，培养学生的思维能力
问题是思维的起点，思维能力是数学能力的核心，在每个学段的数学教学中，都必须体现这一点。
何老师在课堂上设计了一个开放性问题：
（大意）学校准备新买140个腰鼓，每个班可以分到26个，根据这些信息，你能提出什么问题。
然后让学生思考并讨论。
学生经过讨论，提出：
可以分给几个班？
还剩多少个？
经过“试商”计算，得出结论：
可以分给5个班，还剩10个腰鼓。
3、在小组合作交流中的过程中，培养学生的合作意识，体会“逼近”方法
一个数学问题往往有很解法，每个解法都源于不同的思维。
“试商”的方法也很多，如上面的问题，有的学生把除数26近似看为25，也有的学生看为30。
在试商的过程中，有的商大了，有的商小了，有的正好。
何教师让学生进行小组合作交流，看看哪些方法比较简单，然后学生说出各自的思维过程。
这既培养了学生的合作意识，又体会了数学“逼近”方法，这种做法的意义是深远的。
当然本课也有一些不足之处，如根据提供的信息“学校准备新买140个腰鼓，每个班可以分到26个”，让学生思考并讨论，能提出什么问题。
这个活动没有充分展开，学生提出的问题也只限于一个（教师预设的）。
显然这个题目没有完全达到利用开放题培养学生思维能力的目的。
实际上，当有的学生试商为6后，应立即追问：
由这个结果，你还能提出什么问题？
1、用问题引入新课
创设问题情境，是引入新课的常用方法之一，也是新课程的教学理念的体现。
石老师在《三角形的面积》一节的教学中一节的教学中就充分利用了这一理念。
她首先出示一个并提出问题，现在要制做一个交通警示图片（如上图），如果每平方米120元，那么制做这样一个交通警示牌需要多少元？
显然，要解决这个问题，必须要求出这个三角形的面积。
从而创设问题情境，激发了学生的求知欲。
2、用类比引导思考
类比法是数学学习常用的方法之一，是数学发现的重要方法。
石教师在本节教学中讲道：
同学们，我们知道平行四边形的的面积=底×高，得到这个公式的方法是，把平行四边形转化为长方形。
也就是把不熟悉的图形转化为熟悉的图形，那么三角形的面积是什么？
我们是否能把三角形的转化为我们原来熟悉的图形呢？
然后学生分组合作，利用课前准备好的三角形纸片，进行“实验”，来发现三角形的面积公式。
3、由实验进行探索发现
由于小学数学的特点所限，很多结论都是通过动手“实验”方法得到的。
石老师充分利用这一方法，把学生分组，利用课前准备好的三角形纸片，进行“实验”，并填写“实验报告单”有点像科学家做实验的味道。
学生把三角形分为三类：
锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，通过实验，得出结论三角形面积=（底×高）÷2。
如果说在学生的学习过程要强调重视其主体地位，那么石老师这一作法就是学生主体地位的重要体现。
4、用数学思想来体现数学
数学思想是数学教学的精髓，化未知为已知，化复杂为简单是数学教学常用的方法。
平行四边形化为长方形，本节求三角形面积，又把三角形转化为平行四边形，就是这一思想的重要体现。
一位小学教师对数学教学能理解到这一点，实在难得。
和上一节一样，石老师这一节课，也有遗憾之处：
一是在标记三角形的底和高时不能像下图（左）那样，而应像下图（右）那样才行；二是让学生课前准备三角形纸片过于特殊，都是正三角形、直角三角形或等腰三角形，为了体现其一般性，还应该有一般三角形。
教学是一门遗憾的艺术，任何人上的课都不可能完美无缺。
正是每一节课存在的这些“遗憾”，来促使我们反思，从而改进我们的教学，任何事物的发展都是这样一个道理。
最后，笔者引用荀子《劝学》中的话，与二位老师共勉：
积土成山，风雨兴焉；积水成渊，蛟龙生焉；积善成德，而神明自得，圣心备焉。
故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。
骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍。
锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。
看”还是主要的，透过眼睛的观察，既有语言和行为，又有课堂的情境和氛围，还有课堂的故事和细节，师生的状态与精神等等，而且不仅仅是感官的感受，还有心灵的体悟。
吴正宪是一个重感情、充满人情味的老师。
课堂上，她不仅是用数学的真谛来拨亮孩子们的心灵，更是用她对孩子的爱心和真情来感染他们，用自己人格的魅力来塑造他们。
她的课，知情交融，师生互动，她的课，充满了童趣、乐趣。
课伊始，趣已生，课继续，情更深，课已完，意未尽。
40分钟的数学课，像磁铁那样把每一个孩子的心紧紧地吸在一起，把时空有限的课堂变为人人参与、个个思考的无限空间。
巧妙地创设各种问题情境，最大限度地激发孩子的求知欲，这是吴老师课堂教学的一大特色。
“商不变性质”课上，一开始她就给大家讲述了“猴王分桃”的故事：
花果山上风景秀丽，气候宜人。
一天，猴王给小猴们分桃子。
猴王说：
“给你6个桃子，平均分给3只小猴吃。
”小猴听了连连摇头说：
“太少了，太少了！
”猴王又说：
“好！
给你60个桃子，平均分给30个小猴，怎么样？
”小猴子还得寸进尺，试探地说：
“大王，再多给点行吗？
”猴王一拍桌子，显得很慷慨大度地样子说：
“那好吧！
给你600个桃子，平均分给300只小猴，你总满意了吧！
”小猴子高兴地笑了，猴王也笑了。
听完故事，班上的孩子们也情不自禁地笑了。
此时此刻，吴老师意味深长地问大家：
“你们说，谁的笑是聪明的一笑？
为什么？
”抓住契机，恰到好处地引导学生自己去“发现”商不变性质的奥秘。
师善于把一些枯燥的数学内容变为情趣多而意味深的故事或游戏，以情导知，以知促情。
在“求平均数”课刚一开始，她便别开生面地向全班提出：
“咱们分两组来做拍球比赛好吗？
”孩子们自然喜出望外。
“怎么比？
”眼看每人都来拍球时间来不及，大家提议“选代表”，于是每组派4人（这里蕴含着统计中的“抽样”），并当场根据每一代表的拍球个数作了统计。
不一会儿，甲组发现本组拍球总数超过乙组，高兴地欢呼起来。
此时，吴老师自告奋勇也参加比赛，并把她的拍球数加入乙组之中，顿时乙组的总数明显增多，孩子们很不服气，喊道：
“这不公平！
”（甲组4人，乙组5人）那么，怎样才能公平呢？
有的说：
“甲组也再加1人。
”如果不允许加人呢？
矛盾激化了，有个孩子站起来用手比划着说：
“把每组几个人拍球的个数匀乎匀乎……。
”这一“匀乎”，表明孩子们已从实际问题的困惑中产生了“求平均数”的迫切需求，吴老师便水到渠成地引入了“平均数”，随即与大家共同探索求平均数的方法。
这种创造性的教学，使学生能真正感悟到平均数的统计意义（当然还是初步的，但是是有价值的），充分体现了数学课程改革的新理念。
数学，对小学生说来，是自己对生活经验中数学现象的一种“解读”。
在一次“年、月、日”的课上，当吴老师知道学生对这一内容并不陌生时，就提出了挑战性的问题：
“你们能结合自己的生活经验，说一说一年有多长？
一个月有多长吗？
”有的说“我今年过生日，到明年再过生日正好是一年”，有的说“爸爸这个月领工资，到下次再领工资正好是一个月”。
多好的“解读”！
把十分抽象的时间观念，通过学生自己的贴身经验活生生地“物化”出来，让他们来体验，来感受，从而感到生活中处处有数学。
充分信任学生、尊重学生，把学习的主动权交给学生，这是吴老师课堂教学的又一特色。
教是为学服务的。
在吴老师的课中，教师的指导作用是潜在而深远的，学生的主体作用是外显而巨大的。
她为学生创设各种不平衡的问题情境，放手让他们自己去尝试、探究、猜想、思考，给学生留下了足够的思维空间。
例如学习分数时，一开始就鼓励学生用自己喜欢的方法表示“半个”（有的用“一半”、“0.5”等，还有的用画图表示），让学生尝试给分数命名（有把分数叫“均分线”的，有受分母名称的影响把分子叫“分父”的）……吴老师放手让学生自己去探索，她“放”得那么真心，那么实在。
探索，往往是要走弯路的，但是毕竟是学生亲自经历和体验了学习过程，这就是他们用自己理解的方式实现数学的“再创造”。
吴老师很了解儿童的心理特点。
在她的课上有疑问，有沉思，有比喻，有赞许，有笑声，还有争辩。
争辩是思维最好的触媒剂，我们看到过孩子们对“被除数与除数之间的变化是同扩同缩还是同增同减”，争得面红耳赤，也看到对问题“小明身高130厘米，跳进平均水深120厘米的小河中去游泳，有危险吗？
”辩得不可开交。
伴随着这些波澜迭起的教学过程，全体学生自始至终地参与了学习的全过程，通过交流、发现、辨析、整合，大家终于获得了共识。
值得一提的是，争辩和交流的过程，同时也使学生学会倾听、接纳与评析，这对完善学生的人格，意义是深远的。
吴老师尊重每一个学生，她允许学生用不同的速度去探索和获取知识，允许学生用自己喜欢的方法学数学，她从不轻易否定学生的选择和判断，也从不强迫学生去认同。
正如有的孩子说：
“我们最喜欢上数学课，上课时想说就说，说错了也没关系。
” 吴老师总是这样，以热情的鼓励、殷勤的期待、巧妙的疏导与孩子们思维共振，情感共鸣。
她用那真诚的爱心感染了孩子们，贴近了孩子们的心。
在先进的教育思想引导下，她以自己独特的教学艺术，把学生推到自主学习的舞台上，使他们真正成为学习的小主人
特级教师吴正宪“平均数”课堂教学实录及赏析
（一）
在仙桃市教科院举办的"全国著名小学数学特级教师新课程教学艺术展示暨教学专题报告会"的活动中，全国著名特级教师吴正宪老师执教了“平均数”一课，听后深有感触。
吴老师上的“平均数”一课，充分体现了一切为了学生的可持续性发展的新理念。
她从学生熟悉的，喜爱的拍球比赛活动入手，激发学生的探究欲望与热情，让学生“在怎样比才公平”的问题情景中，从解决问题出发，初步建立平均数的概念，再联系实际感悟生活中的“平均数”这一数学现象，向听课教师充分展现了传授知识、启迪智慧、完善人格三者有机结合的教学思想和教学特色。
一、课前谈话，流露真情
师：
小朋友们好！
（深深地鞠躬）
生：
（学生可能好奇和陌生，也可能等的时间稍长了些，一时没反应。
）
师：
（诚挚地，真情地）亲爱的小朋友们，你们好！
（再次深深地鞠躬）
生：
老师好！
师：
终于睡醒了，小朋友们，我姓吴，来自北京，见你们的第一句话应该说，对不起了，原谅我。
生：
没关系！
师：
这么宽宏大量！
谢谢你们！
今天吴老师上午从北京赶过来，北京的天气大雾蒙蒙，所以飞机稍稍延迟了一会才起飞，到这里晚了，让你们等这么久，这是不应该出现的事，请你们原谅我！
生：
好！
师：
谢谢,让我跟老师们说一句话。
尊敬的各位老师,大家好，非常高兴能有这样一个机会能应我们仙桃市教科院的邀请,特别是秦院长多次电话跟我联系,让我来向老师作汇报,那么今天呢,不管是什么原因,迟到了,真的对不起,我再说一次,原谅我吧!
（深深地鞠躬）谢谢老师们,谢谢!
[赏析：
作为一位全国著名的特级教师，吴老师展现在我们面前的是谦逊，平和，真情，看不出丝毫的娇柔做作，一切发自内心，令听者强烈感受到大师高尚的人格魅力。
而对孩子们，更是一种平等的态度。
]
师:
上课的铃声马上就要拉响了,大声地告诉老师们,上课好,还是玩好?
生:
上课好.
师:
好,玩好不好?
生:
不好.
师:
你们说的是实话吗?
（不相信的看着学生微笑）让我说呀,玩最好,上课好不好呢,这事我们得体验体验,40分钟以后你再来谈你的体会,好吗?
生:
好.
师:
时间已经很晚了,我就不再多介绍了，那么一会呢,小朋友就会了解吴老师,吴老师呢也会认识我们
在座的每一位小朋友,那么现在,我们商量商量，可以上课了吗？
生:
可以.
师：
批准啦？
生：
（面带笑容,高兴地说）批准了!
师:
上课!
生：
老师好!
师:
小朋友们好!
（深深的鞠躬）请坐。
[赏析：
多新鲜的事！
老师和学生商量，可以上课了吗？
还要批准呢！
学生心中是如何的喜悦和自豪。
寥寥数语，体现了老师“以人为本”的理念，把学生看成发展中的人来看待，师、生、听课者都感受到：
学生是课堂的主体。
]
二、创设情景，激发兴趣
师：
我们从这里一分为二,这边的算一队,这边的同学算一队.（用手示意左边3行同学）这边的同学是甲队，甲队的同学向老师挥挥手！
师：
好极了！
（用手示意右边3行同学）那这边的同学是乙队，乙队的同学向老师点点头！
板书：
甲队乙队
师：
记住了，好啦。
我们首先要举行一个拍球比赛，在规定的时间里看看哪一队拍的球的总数最多，哪一个队为胜利队。
听清楚了吗？
生：
听清楚了。
师：
假如把球给了你，你拍完了怎么办？
生：
我拍完了给我后面一位同学。
师：
就传呀传呀，然后把你们的总数怎么办？
生：
加起来。
师：
求出来，对吗？
（面露困惑）可是小朋友们，一节课只有40分钟，但是这样拍呀拍，时间可就不够用了，有没有更好的办法？
师：
你有什么办法？
生：
可以选一个人拍。
师：
你看看，选代表，可以吗？
生：
可以。
[赏析：
老师巧妙地在问题的生成中拉开学生思维的帷幕，既帮助学生明确了活动规则，又找到了解决问题的办法，让我们看到课堂教学师生互动的动态生成过程。
]
师：
我建议每边出3个代表，好吗？
谁愿意来？
（甲队选3人，乙队选3人，每队再选1人作裁判，为对方队员记数，每位选手时间只有5秒钟，老师拿秒表帮助记时，在黑板上记录，学生兴致盎然地开始拍球活动）
根据拍球情况教师板书：
甲队乙队
5119847
[赏析：
数学是数学活动的教学。
怎样让活动有趣，有序，有效，是一线教师苦苦追寻的问题。
从吴老师的教学中可以看到，教师作为教学活动的组织者，让学生明确活动的规则，程序等非常重要，这样能保证活动有序开展，从而达成实效。
]
三、引发问题，促使探究
师：
同学们用最快的速度把自己队的总数求出来。
甲队多少个？
生：
25个。
师：
乙队多少个？
生：
19个。
师：
（板书）通过比总数，甲队拍了25个，乙队拍了19个，那我来宣布，胜利队为我们的甲队。
甲队同学欢呼！
师：
同学们，吴老师有个小小的请求，我特别想加入乙队，不知你们是否欢迎啊？
乙队同学高兴地说欢迎。
师：
好，那我也拍5秒钟，我请这个小姑娘来帮我数。
开始！
师拍球9个，学生看老师努力拍球的样子开心地笑。
师：
9个就跑了，是不是？
那乙队再加上9个，看看一共多少个了？
板书：
8+4+7+9=28
[赏析：
没有老师的高高在上，充当活动的首席法官。
老师是其中的一员，参与到活动中来，真正体现了教师是教学活动的组织者，是学生学习的引导者和合作者，当然，也为后面矛盾的激发作好准备。
]
师：
我重新宣布，比比总数，乙队拍了28个，甲队拍了25个，吴老师宣布，胜利队为我们的乙队，祝贺你们！
（乙队同学欢呼雀跃，高喊“耶！
”。
师看甲队同学。
）
师：
什么想法都没有？
甲队有学生不服气地举起手。
师：
这位小朋友，你有什么想法？
生1：
我觉得您不跟乙队拍，为什么不替甲队拍呢？
师：
对我提出质疑！
对这个结果，你有什么意见？
生2：
我觉得应该不必帮助，要靠自己的实力。
师：
哎哟,靠自己的实力！
那你们说，我这样比，你们觉得怎么样？
生：
我觉得不公平！
四、感受概念，建立模型
师：
好厉害也！
向吴老师说不公平。
但是在我们生活中，学习中，经常遇到这样的事情，比如说，三
（1）班和三
（2）班人数并不相等，那我们就没有办法比较出这两个班某一项成绩的高低吗？
你有没有更好的招？
生：
那就可以到里面同样选几个人出来。
师：
我明白了，你还是要让人数一样多。
听懂老师的问题。
人数同样多的时候，用总数进行比较，大家心服口服，人数不一样，比总数不行了，还有没有别的比较方法？
生：
就是把它们平均分成。
师：
你说的怎么平均分？
譬如？
生：
分成他有几人来打，就分成几人。
师：
那么你说，28分成几份？
生：
分成4份。
师：
那你的意思是把28要平均分成4份。
板书：
284
师：
是这个意思吗？
生：
（大声）是。
师：
那么25怎么办呢？
生：
平均分成3份。
甲队乙队
5+11+98+4+7=25÷3=28÷4
师：
好，这是你的意见。
我们一起来看算式，用等号连接，25除以3了，上面这几个数的和怎么办？
生：
上面把他们平均分了。
师：
你补充！
怎么平均分？
生：
我觉得不应该平均分，到算式后面加上等于，然后把得数写出来，再到下面列一个算式。
师：
我明白你的意思。
你再列个算式来算是吗？
那个小朋友你有什么意见？
生：
把5+11+9加上括号再除以3。
师：
那现在上下能不能用等号连接了？
生：
可以。
师：
那这边怎么办？
（指向8+4+7）
生：
（齐）括号除以4。
[赏析：
教师怎样做一个引导者，做学生学习的促进者，吴老师用具体的课堂作了很好的解释。
当学生表达不够明确，表达有困难时，教师要善于捕捉学生闪现的灵感火花，予以引导，帮助学生理清思路，从而掀起学生思维的高潮。
]
师：
好，我们先不说这个结果是什么意思。
我先请同学们用最快的速度把结果算出来，好不好？
开始吧！
师：
带计算器了，太好了。
出现问题了，是不是？
（师巡查）
生：
有余数。
师：
有余数了。
得到多少？
生：
253=8.333......
师：
哎呀，别着急，那么多的3，我们没有碰到过它对吗，我告诉你，这个结果是个小数，你们现在还没有学，没有关系的。
8.333......，那你说，它是接近8这个整数呢，还是接近9这个整数？
生：
接近8。
师：
好，那我们就说它大约是8个，可以吗？
生：
可以。
师：
好,用了约等号来表示。
28除以4？
生：
7个。
师：
口算也可以出来了。
同学们，我们以乙队这个题为例，（手指向284的得数7）这个7何许人也？
师：
是谁拍的呀？
那个同学出了个主意，28除以4了，那这个7是什么？
（学生面露疑惑。
过了一会，有人举起手。
）
生：
是每个人拍的数。
师：
好，（指着8）我请乙队1号选手起立。
你拍了几个？
生：
我拍了8个。
师：
你的同学说你只拍了7个，他说你们每人拍了7个呢！
生：
（接着）我知道了，他是把数平均分。
师：
怎么平均分？
你多的那一个哪里去了？
生：
（继续）就是给后面几个少的同学了。
师：
2号选手请站起来，你拍了几个？
生：
我拍了4个。
师：
那你现在你的同学说你拍了7个，（手势）你那上面的那几个哪里来的？
生：
是其他的，其他的。
师：
你很着急，别激动！
生：
是其他同学剩下几个给我，变成我的了。
师：
变成你的了！
其中还有我的一份呢！
我拍了9个，那我就把我多的那部分给了。
生：
我！
师：
那你应当说一声。
生：
谢谢！
师：
这时候，我可你们长的一边。
（鼓励学生大声说出自己的想法）
[赏析：
教师热情的鼓励学生说出自己的想法，小心的呵护学生的情感，细心捕捉学生思维跳跃的火花。
]
生：
就一条船了。
师：
（伸出大拇指）就一条船了，语言好丰富啊！
那你们的意思就是说，把多的给了少的，少的说，给我吧！
我就慢慢涨高了，我和你们就一条船了，（向发言的那个同学）是这个意思吧？
一条船了，也就是我们拍的数量……
生：
（大声齐）一样了。
师：
用今天的新词来说，就是……
生：
平均分。
师：
平均了，对吗？
同学们的理解和感受非常到位，我告诉大家，7就是8、4、7、9这一组数的平均数。
板书：
平均数
师：
叫什么名字？
生：
平均数。
师：
这个平均数它就比较好的反映了这一组数据的一个总体的水平，（指向板书）就是同学们刚才讲的，平均每个人拍了多少个呢？
师：
那你看看，甲队平均每个人拍了几个？
生：
8个。
师：
比一比，甲队和乙队哪个队的总体水平稍稍的高一些呀？
生：
甲队。
师：
哎呀，尽管吴老师很努力了，我也在使劲地拍呀拍，但是我并没有挽救我们乙队失败的下场。
你们想一想，如果吴老师怎样，我们就有可能战胜他们？
你设想一下！
生1：
可能不拍就会比他们。
师：
（不服气地神情）你算了吧，你！
（笑）不拍的时候你们比人家少多了呀！
师：
你设想设想，如果吴老师怎么样。
生2：
乙队也除以3那就好了。
师：
哪有这么好的便宜事啊！
4人拍除以3！
你说呢？
生3：
吴老师至少还要拍2个。
师：
听一听，听她说的话，至少还要拍几个？
你的意思我明白，就是吴老师如果拍的再多一点，说不定我们就有可能战胜了甲队。
生：
还可以要后面的两个同学多拍几个就行了。
师：
后面的同学再加点油，我们的平均数也就……
生：
（插嘴）长高了！
[赏析：
“等待是尊重,等待是艺术,等待是策略。
”吴老师是这样说，也是这样做的。
]
师：
平均数就长高了，（向插嘴的同学）真可爱也！
你要说什么？
生：
平均数就应该升高了。
师：
平均数就应该升高了，我们能战胜他们了，好极了，同学们。
太聪明了，吴老师真的喜欢你们！
刚才我们比总数，大家认为当人数不相等的时候，还来比总数，不公平！
这个小姑娘跟老师抗议了，那么在这种情况下，你们说，是谁，来到
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