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复杂网络调研

关于复杂网络的调研

—陈维唐玲玲

一．复杂网络理论概述

复杂网络的研究背景：

近年来，学界关于复杂网络的研究正方兴未艾。

特别是,国际上有两项开创性工作掀起了一股不小的研究复杂网络的热潮。

一是1998年Watts和Strogatz在Nature杂志上发表文章，引入了小世界（Small-World）网络模型，以描述从完全规则网络到完全随机网络的转变。

小世界网络既具有与规则网络类似的聚类特性,又具有与随机网络类似的较小的平均路径长度。

（Watts＆Strogatz,p.440-442）。

二是1999年Barabasi和Albert在Science上发表文章指出，许多实际的复杂网络的连接度分布具有幂律形式。

由于幂律分布没有明显的特征长度,该类网络又被称为无标度（Scale-Free）网络。

（Barabasi&Albert,p.509-512）而后科学家们又研究了各种复杂网络的各种特性。

（Strogatz，p.268-276）国内学界也已经注意到了这种趋势，并且也开始展开研究。

（吴金闪、狄增如,第18-46页）加入复杂网络研究的学者主要来自图论、统计物理学、计算机网络研究、生态学、社会学以及经济学等领域，研究所涉及的网络主要有：

生命科学领域的各种网络（如细胞网络、蛋白质－蛋白质作用网络、蛋白质折叠网络、神经网络、生态网络）、Internet/WWW网络、社会网络，包括流行性疾病的传播网络、科学家合作网络、人类性关系网络、语言学网络，等等；所使用的主要方法是数学上的图论、物理学中的统计物理学方法和社会网络分析方法。

概念：

钱学森给出了复杂网络的一个较严格的定义：

具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的网络称为复杂网络。

表现：

　　复杂网络简而言之即呈现高度复杂性的网络。

其复杂性主要表现在以下几个方面：

　　1）结构复杂，表现在节点数目巨大，网络结构呈现多种不同特征。

　　2）网络进化：

表现在节点或连接的产生与消失。

例如world-widenetwork，网页或链接随时可能出现或断开，导致网络结构不断发生变化。

　　3）连接多样性：

节点之间的连接权重存在诧异，且有可能存在方向性。

　　4）动力学复杂性：

节点集可能属于非线性动力学系统，例如节点状态随时间发生复杂变化。

　　5）节点多样性：

复杂网络中的节点可以代表任何事物，例如，人际关系构成的复杂网络节点代表单独个体，万维网组成的复杂网络节点可以表示不同网页。

6）多重复杂性融合：

即以上多重复杂性相互影响，导致更为难以预料的结果。

例如，设计一个电力供应网络需要考虑此网络的进化过程，其进化过程决定网络的拓扑结构。

当两个节点之间频繁进行能量传输时，他们之间的连接权重会随之增加，通过不断的学习与记忆逐步改善网络性能。

内容：

目前，复杂网络研究的内容主要包括：

网络的几何性质，网络的形成机制，网络演化的统计规律，网络上的模型性质，以及网络的结构稳定性，网络的演化动力学机制等问题。

其中在自然科学领域，网络研究的基本测度包括：

度（degree）及其分布特征，度的相关性，集聚程度及其分布特征，最短距离及其分布特征，介数（betweenness）及其分布特征，连通集团的规模分布。

复杂网络理论的发展：

复杂网络研究是在复杂性科学发展到一定程度后才出现的，是复杂性科学研究中一种新的研究方法。

复杂网络理论借助网络理论、统计物理学、不确定性理论等方法，对于复杂系统的网络特性、演化机制与规律、动力学特性等方面进行研究。

为能从整体上研究复杂系统的结构、发展与功能提供了十分有利的研究工具。

鉴于复杂网络在复杂系统研究中表现出越来越多的优势，复杂网络的研究正处于蓬勃发展的阶段，越来越多的学者将其研究的重点转移到这一复杂性科学的新方向。

复杂网络将大多数的复杂系统抽象为复杂网络，将复杂系统中的个体视为网络中的顶点，将个体之间的联系或是相互作用关系视为网络中的顶点之间的边，建立起一个可抽象表征复杂系统的复杂网络，在此基础上，从复杂系统的网络结构出发，对复杂系统进行研究。

如今，复杂网络的分析方法已经应用于各个领域，被用来描述系统中个体之间的关系以及系统的集体行为。

复杂网络中的一些重要研究成果如下特性：

　　第一，小世界。

它以简单的措辞描述了大多数网络尽管规模很大但是任意两个节（顶）点间却有一条相当短的路径的事实。

以日常语言看，它反映的是相互关系的数目可以很小但却能够连接世界的事实，例如，在社会网络中，人与人相互认识的关系很少，但是却可以找到很远的无关系的其他人。

正如麦克卢汉所说，地球变得越来越小，变成一个地球村，也就是说，变成一个小世界。

　　第二，集群即集聚程度（clusteringcoefficient）的概念。

例如，社会网络中总是存在熟人圈或朋友圈，其中每个成员都认识其他成员。

集聚程度的意义是网络集团化的程度；这是一种网络的内聚倾向。

连通集团概念反映的是一个大网络中各集聚的小网络分布和相互联系的状况。

例如，它可以反映这个朋友圈与另一个朋友圈的相互关系。

第三，幂律（powerlaw）的度分布概念。

度指的是网络中顶（节）点（相当于一个个体）与顶点关系（用网络中的边表达）的数量；度的相关性指顶点之间关系的联系紧密性；介数是一个重要的全局几何量。

顶点u的介数含义为网络中所有的最短路径之中，经过u的数量。

它反映了顶点u（即网络中有关联的个体）的影响力。

无标度网络（Scale-freenetwork）的特征主要集中反映了集聚的集中性。

复杂网络理论基础:

复杂网路的基本模型

现实世界中各种领域的许多复杂系统都已用复杂网络来进行描述，虽然建模的方式各不相同，但其最基本的方法却相同：

即将网络中个体与个体之间联系的建立为一个复杂网络。

任何复杂网络都能够用这一构造方法建模，且许多复杂网络的基本特征指标就是在这种最简单网络图的基础上提出的。

这种复杂网络的建模方法的具体过程为：

将复杂网络中基本元素定义为节点，根据建模的目的考察两节点之间的关系，若两节点之间存在直接的关联则认为两节点之间存在一条边相连，若没有直接关联，则认为不存在将两节点直接相连的边。

例如：

在社会关系网的建模中，每一个人是网络的基本元素，因此将其定义为节点，而将人与人之间是否相识，定义为判断两节点之间是否存在边的依据，通过这个建模方式得到的就是基本的复杂网络模型。

在数学上，网络是用图（Graph）来表示的，即采用图论的语言和符号来对网络进行精简的描述，因此不同复杂网络的建模最终是根据具体构造算法的不同得到不同的描述网络的图。

虽然复杂网络构造得到的图存在着多样性，但是从根本上来说，无论用何种构造算法，其得到的复杂网络的图可以分为两类：

即关系图和空间图。

这两类图都能够描述介于有序与无序两个极端之间的复杂网络，但关系图往往描述的正是复杂网络的最基本结构。

根据复杂网络的最基本的建模方法得到的是一个由节点的集合V和边的集合E组成的关系图，图中节点数为N=︱V︱，边数为M=︱E︱，其中E中每条边都与V中的一对节点相对应。

对于建模得到的关系图，根据不同复杂网络的特性，还可以将网络分为有向网络（Directednetwork）和无向网络（Undirectednetwork）或是无权网络（Unweightednetwork）和加权网络（Weightednetwork）。

无向网络指的是：

图中任一对节点的边（i，j）与边（j，i）指的都是同一条边，否则称为有向网络。

例如，在学术文献引用网中，一篇文献可能被另一篇文献引用，被引用的文献不能反过来引用这一篇文献，两者之间的关系只能是从一个节点指向另一个节点的，指向相反的边并不存在。

而如果给每条边都赋予与联系程度相关的权值，那么该网络就称为加权网络，否则就称为无权网络，无权网络也可以看作权值为1的有权网络。

通过网络的加权，可以更详细的描述；两节点之间的关系。

在本文中所称的网络均为无权网络。

复杂网络拓扑构造模型：

复杂网络模型的提出经历了一个从简单到复杂的过程，随着人们对复杂网络研究的不断深入，最开始提出的规则网络模型和随机网络模型被发现越来越不适用于描述现实网络，同时，伴随着越来越多新特性的发现，以前网络模型所用到的许多统计特征指标也不再符合实际观察到的复杂网络。

在对现存不同领域复杂网络的大量实际结构进行研究后，越来越多的复杂网络模型相继被提出。

然而规则网络模型和随机网络模型并未被研究者们完全放弃，由于它们是两种典型特征完全相反的网络模型，因此仍常被用于进行复杂网络模型特性的对比研究。

下文对现有的常用关键复杂网络模型进行介绍，它们包括：

规则网络模型、随机网络模型、小世界网络模型、无标度网络模型、等级网络模型和确定性模型等。

1.规则网络模型

规则网络模型是指节点间连接数量为固定数目的一种网络结构，常用的规则网络模型有：

全局耦合网络模型，其构造方式为任意两个点之间都有边直接相连；

最近邻耦合网络模型，其构造方式为每个节点只和周围的邻节点相连具有周期边界条件；

星形网络模型，它是一种特殊的耦合网络模型，网络中存在一个中心点，其余的所有节点都只和该中心点相连，互相之间则不相连。

这三种网络的结构示意图如下：

2随机网络模型

随机网络是在给定一个概率p的情况下，对于网络中的任何两节点间的可能连接，都尝试以概率P的连接。

随机网络模型的经典模型是Erdos和Renyi提出的ER模型，该模型的定义为：

在由N个节点和Cn2=N（N-1）/2条边构成的网络中，随机连接m条边，将形成的随机网络记为GN,m，可知这种构成法得到的网络存在CmN（N-1）/2种，所有可能存在的网络构成一个概率空间，其中每一个网络出现的概率是相等的。

此外，与ER模型等价的二项式模型应用也十分广泛，其定义为：

在给定节点N的情况下，假定任意节点对之间存在有条边的连接概率为p，则将形成的随机网络记为GN,p。

在ER模型中，网络中固定数量的节点彼此完全随机地连接在一起，且每个节点具有相同数量的连接，其结构示意图如下：

若定义网络中有m条边，其中m=pCN2，由ER模型得到的随机网络GN,m的种类数为CmN（N-1）/2=CpCN2N（N-1）/2,其中每种网络的出现概率与由二项式模型得到的随机网络GN,p的概率pm（1-p）N（N-1）/2-m相同，实际两种模型构成法所得到的随机网络完全等价。

3小世界网络模型

随着大量数据的产生和计算机的应用，人们发现在现实世界里真实的网络与ER模型相差甚远，真实的网络既不是概率为零的绝对规则连接的网络，也不是概率为1的完全随机连接的网络，而是介于这两者之间的一种网络，这一类网络被称为“小世界网络”。

最早的小世界网络模型WS模型是Watts和Strogatz于1998年提出的。

WS模型是由一个N节点的环状网开始，网络上的每一个节点都与两侧各有m条边相连，这m条边以概率p随机进行重连，节点的自我连接和自我重复的边连接除外，得到的网络为一小世界网络。

连接概率由0变为1时得到的是随机网络：

4无标度网络

天然的网络结构大多是随机的，而人造的网络结构大多是规则的。

在随机的网络结构中，节点与其他节点的连接的数量呈正态分布；在规则的网络结构中，节点与其他节点的连结数量是固定的。

以上两类网络中，节点与其他节点的连结的数量分布都有规律可循，是有尺度的网络。

而无标度网络则是网络通过增添新节点而连续扩张，同时新节点择优连接到具有大量连接的节点上，且满足网络节点度服从幂律分布。

无标度网络中不存在代表性的节点，但受少数集散节点的支配，并具有一些可预期的行为特性，即无标度网络节点度的极度不均衡性导致了无标度网络具有鲁棒性和脆弱性，如：

无标度网络遇到随机攻击时有惊人的承受力，而遭到对特定节点的恶意打击时承受力却很脆弱等。

下图是一个无标度网络的结构示意图：

最原始的无标度网络模型是BA模型，该模型假设形成初期网络中已有少量的节点，以后每过一段时间新增一个节点，该节点与其他节点连接的概率和被连接节点的节点度成正比。

可知BA网络模型最终演化为节点度服从度指数为3的幂律分布的网络，具有大规模的高度自组织特性。

此外，还有学者提出如何在不完全信息情况下，确定增长网络的连接机制，来构成无尺度演化模型。

5等级网络模型

许多真实系统中存在同时具有模块性、高团簇性和无标度的拓扑特性的网络，通常先探测出真实网络中的模块，然后假设模块以某种迭代的方式生成，最终得到的网络模型就是等级网络。

下图是一个等级网络的结构示意图：

6确定性网络模型

确定性网络模型是指以确定的网络方式构造小世界网络和无标度网络，不同于新节点以不同概率与系统中已存在节点连接的随机性网络模型，这一类模型有着确定性的网络建模法，可以通过解析计算网络的特征指标，只要设定了输入和各个输入之间的关系，其输出也是确定的，而与实验次数无关。

确定性模型事实上是一种简化了的随机性模型。

最早提出的确定性小世界网络模型是Comellas等提出的确定性小世界通讯网络，此后他们又提出了两种有固定节点度和可变节点度的确定性小世界模型的生成方法。

而最早的确定性无标度网络模型是由Barabasi等提出的。

二．电力系统复杂网络模型研究概况：

对具有十分重要的技术和经济价值的电力网的研究已经有很长的历史。

研究人员在对电力网的性质和模型的研究中特别注重电力网系统的独特性质，旨在寻求解决某些或某个具体问题的途径，例如电力网运行的稳定性、电力网各处的电流或电压分布、电力网的安全性和控制对策以及电力网的扩展规划等等。

如果把电力网看作许多高压输电线路的集合，这些高压输电线的连接点就是对电网输电或耗电的“电站”，或者是理想情况下不输电也不耗电、仅仅改变或分配电能的“变电站”。

如果不加区分地把它们都成为“顶点”，并且把各种高压输电线都成为“边”，电力网就抽象、简化为一张普遍意义上的“复杂网络”。

1．中国电力网的复杂网络共性

电力系统是一个典型的复杂系统，其主要特征包括：

（1）电力系统具有大规模性和统计特性，现在电力系统的互联使电网成为一个超大规模的网络，具有大量的节点和线路，其行为具有统计特性；

（2）实际电网的线路连接具有稀疏性和复杂性。

实际电网不是一个全局耦合结构的网络，它的连接数目通常为O（N）。

实际系统的连接结构的复杂性主要体现在网络的连接结构既非完全规则也非完全随机，但却具有内在的特征规律，即现在的研究表明大部分电网都具有的小世界特性；（3）电网节点的动力学行为具有复杂性，实际上每个节点都是发电机、电站及负荷点，故每个节点本身也是非线性系统（可以用离散的和连续微分方程描述），具有分岔和混沌等非线性动力学行为，故其节点具有动态行为复杂性；（4）电网具有时空复杂性，复杂电力网络在空间上体现出一个大规模的超大型网络，在时间上体现为一个高维的非线性复杂网络。

2电力系统复杂网络的建模

基于复杂网络的网络特征，同时考虑到电力系统的特征，在建立实际系统的网络模型时从简化分析的角度出发，采取以下的简化标准：

1）只考虑电压在110KV以上的电力输配电网络，对于低压配电网部分考虑为等效负荷进行简化。

2）将节点进行合并，对于同一变电站内同一电压等级的母线上节点进行合并。

3）虽然电力系统的线路从物理上来说都可双向通过能量，当能量的流通方向变化时其物理参数一般都不随之发生变化，因此在进行复杂系统的网络建模时，并没有考虑采用双向边的形式，而是认为网络中的边均为无向边。

在此简化的基础上，得到含有节点与边的最基本关系的电力系统网络拓扑结构图，建立最基本的电力系统复杂网络模型。

然而，将复杂网络的研究方法引入电力系统的网络特性研究，会过多地简化电力系统，忽略过多电力系统的特征，因此需要寻找并引入可表征电力系统特性的参量，建立具有电力系统特性的网络模型。

为此，研究人员提出了电力系统复杂网络的改进模型。

在复杂网络的基本建模中，节点的关系仅用节点i到节点j所经过的边数，即节点i到节点j的距离来表征：

实际上对于电力系统来说，节点间的关系不仅仅是潮流是否能从节点i到达节点j的关系，还存在着节点间的电气耦合强度的问题。

在电力系统传统的网络稳定研究中，电气距离不仅包含了电力系统网络中物理参数的信息，还能很好地表示节点间电压偶和强度。

因此，改进模型中引用电气距离来替换原模型中节点间距离的定义，从改进基本定义出发，建立具有电力系统特征的电力系统复杂网络模型。

通过改进前后网络特性的对比分析，及改进对小世界特性分析的影响研究，证明改进后的建模方法为基于复杂网络理论的电力系统研究提供了一种更能表征物理特性的模型。

该模型得到的特征指标同改进前一样，可直接用于节点度分布特性分析，同时在对得到的特征指标进行适当变换后，该模型还可用于电力系统网络小世界特性分析。

3复杂网络理论在电力系统中的运用

1）连锁故障模型

一些研究人员提出了基于负荷转移的CASCADE模型，基于“近似”直流潮流和隐故障机理的隐故障（HiddenFailure）模型，基于负荷切除和交流潮流的Manchester模型和基于直流最优潮流的OPA模型等各种模型来模拟电力系统连锁故障和大停电。

其中，CASCADE模型是一个抽象概率模型，主要对连锁故障进行一个理论化的解释；隐故障模型基于近似直流潮流和隐故障机理，可以有效模拟电力系统在发生故障后导致的系统连锁故障；Manchester模型立足于电力系统交流模型，利用切除负荷和解潮流方程来确定系统的运行方式，从而模拟电力系统的连锁故障过程。

目前，已有把无功、电压特性与连锁故障模型结合起来研究和考虑频率特性的连锁故障，有基于直流、交流和最优潮流的OPA模型，直流潮流只考虑有功对系统的影响，交流和最优潮流的计算速度还需要改进。

在连锁故障模型中如何考虑过电压、低电压以及励磁对设备的影响，这些模型都只考虑了系统的静态稳定。

2）小世界模型

小世界电网所特有的较小特征路径长度和较高聚类系数等特性，对故障的传播起到推波助澜的作用。

这是由于，一般的聚类系数对应着故障传播的广度，特征路径长度代表着故障传播的深度，而特征路径越小，故障在网络中传播的深度越大。

小世界网络兼具大的深度和宽的广度，所以传播的速度和影响范围大大高于相应的规则网络和随机网络。

目前，已有学者把电网线路的权重特性和复杂网络理论联系起来，即将线路阻抗作为线路的权重，使网络成为了一个有权无向的网络，这样更能体现出电网的小世界模型，从而复杂网络的小世界的特性就能更好的运用在电力网络中。

3）线路的脆弱性评估

对电力系统的脆弱性分析一直建立在微分方程理论的基础上，即通过对系统中各元件建立详细数学模型，以时域仿真的形式对系统进行动态分析。

这种分析方法对故障模拟，寻找系统脆弱环节起到了很好的作用。

事实上，电网本身的拓扑结构是电网所具有的内在、本质的特性，一旦确定下来，必然对电网的性能产生深远的影响。

目前，研究人员主要从网络的拓扑结构提出线路的脆弱性指标，而电力网络的特性不仅体现在网络的拓扑结构上，而且电网的运行状态、动态行为也是电力网络的主要特性。

如何把实际电网的物理特性与复杂网络的特征结合，以及如何有效地将网络拓扑和电网的运行行为状态两者联系起来作为线路脆弱性的评估是值得研究的内容。

4）临界自组织性

自组织临界性概念的基本立场是：

电力系统总是处于持续的非平衡状态，由于系统内部和外部诸多要素之间的相互作用，它们可以组织成为一种临界稳定的状态，即临界状态。

在自组织临界状态下，一个小事件会引发一个大事件乃至突变。

电力系统大停电是系统处于临界状态时，在微小的扰动下触发连锁反应并导致灾变的过程现象。

自组织临界性的概念可望成为用来揭示包括大停电现象在内的复杂电力系统整体行为特征的有效工具之一。

一些学者将电力系统向临界状态演化的过程与沙堆模型的形成过程进行了类比：

电力负荷的增长类似于沙堆模型中坠落的沙子，负荷增长到一定水平时会使电力系统进入临界状态，正如沙堆某处坡度过陡后沙粒发生滑坡、引起大小不等的雪崩一样，进入临界状态的电力系统在负荷继续增长的过程中一定会发生规模不等的停电事故。

在物理学（平衡统计力学）中，临界点是系统行为或结构发生急剧变化的地方。

对于电力系统而言，其临界点指大停电前的系统状态。

如果能够判断出系统运行正处于临界自组织状态，那么就可以采取措施加强该系统的安全稳定运行。

然而，目前没有具体的指标和系统的方法来判断电力系统的临界自组织状态。

基于复杂网络的临界状态是利用连锁故障模型判断系统停电规模和停电频率的关系，一旦其成幂律分布，则系统正处于临界自组织状态。

但是这种方法需要大量的统计数据、仿真时间长、抽样次数多，只适合于离线判断系统的自组织临界状态。

能否减少判断自组织临界状态的时间、快速而有效的判断出系统的临界自组织状态，并分析在这种状态下系统的运行轨迹是目前研究的重点。

三．总结与展望

现实世界中许多复杂系统都可用各种各样的复杂网络来描述，复杂网络的应用领域涉及到军事、通信、电力、政治、经济管理和社会生活等众多领域。

复杂网络研究成为复杂系统研究的重要课题，具有极端重要性的普遍意义。

然而，就复杂网络在电力系统中的研究和应用来说，虽然国内外众多的专家学者们取得了很大的成绩，但整个研究工作仍然处于起步阶段，在该领域还有很多问题需要研究。

在此，谨提出几个需要进一步研究的方向：

（1）由于复杂网络理论尚未完善，很多规律和统计模式尚待研究和开发，电力系统中很多物理特征没能在复杂网络理论中既明确又准确的反映出来。

（2）电网应该找到更好的模型描述更加复杂的系统和网络结构，然而目前却只有小世界模型被广泛接受和运用。

（3）尽管研究人员已经在许多实际电网中发现一些统计模式和规律，但没有建立系统性的方法识别网络结构，无法准确判断相关的参数。

（4）随着电力系统规模的扩大，更需要加快网络之间的数据和信息的交换，优化模型，尽量减少时滞。

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