八年级数学上册第一二章知识点整理.docx

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八年级数学上册第一二章知识点整理

八年级数学上册第一、二章知识点整理

八年级数学上册第一、二章知识点整理

勾股定理

一、思维导图

二、易错题

1、满足a²+b²=c²的三个正整数，称为＿＿＿，比如：

5,12,＿＿＿。

解：

勾股数；√5²+12²=13

2、在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是＿＿＿。

解：

应分两种情况说明：

（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√（AB²-AD²）=√（15²-12²）=9，

在Rt△ACD中，CD=√（AC²-AD²）=√（13²-12²）=5，∴BC=5+9=14

∴△ABC的周长为：

15+13+14=42；

（2）当△ABC为钝角三角形时，高AD交BC延长线于D

在Rt△ABD中，BD=√（AB²-AD²）=√（15²-12²）=9．

在Rt△ACD中，CD=√（AC²-AD²）=√（13²-12²）=5

∴BC=9-5=4∴△ABC的周长为：

15+13+4=32

综上，当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；

当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．

3、在一个圆柱形灯罩侧面上缠绕彩带，如图（灯罩的俯视图），已知灯罩高108cm，底面周长为36cm，如果在灯罩侧面缠绕彩带4圈，最少需要彩纸多长？

那么绕n圈呢？

解：

（1）∵缠绕灯罩4圈，且高108cm∴一圈高：

108÷4=27cm

∴一圈彩带长：

√27²+√36²=45cm∴四圈彩带总长：

45×4=180cm

（2）∵绕n圈，且高108cm∴一圈高：

108÷n（cm）

∴一圈彩带长：

√（108÷n）²+36²∴彩带总长：

n×√（108÷n）²+36²=36×√n²+9

4、在正方形ABCD中，E是BC中点，F为CD上一点，且DF=3CF，判断AE和EF的位置关系。

证：

连AF。

设DF=3x，CF=x

∴AD=AB=DC=BC=x+3x=4x∴BE=EC=2x∵∠B=∠C=∠D=90°

∴AE²=（2x）2+（4x）2=20x²EF²=x²+（2x）²=5x²

AF²=（3x）²+（4x）²=25²∴AE²+EF²=AF²∴AE⊥EF

5、如图，在△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P，使P到各边距离相等。

与AC，CB，AB的交点为G，F，E。

则这个距离为＿＿＿。

解：

∵∠B=90°

∴AC=√AB²+BC²=√7²+24²=25连CP，PA，BP，设GA=x，则EA=x

BE=7-x=EB，CF=CG=17+x∴17+x+x=25x=4∴这个距离为7-4=3

6、在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=60°，AB的垂直平分线交BC于D，BD²=72，AE⊥BC于E，求EC²。

解：

∵AB的中垂线为FD

∴∠B=22.5°=∠BAD，∴∠ADC=45°，∴DE=EA

BD²=AD²=72，∵AE⊥DC，∴AE²+DE²=72

∴AE²=DE²=36∵∠C=60°，∴∠EAC=30°

设EC²=x²，则AC²=（2EC）²=4x²

X²+36=4x²X²=12∴EC²=12

7、正方形ABCD的边长为8，M在AB上，BM=2，对角线AC上有一动点P，求PM+PB的最小值。

解：

连接MD。

做M关于AC的对称点E交AD于E。

∵MB=2∴ED=2

最小值为BE。

∵∠A=90°∴BE=√（8-2）²+8²=10∴PM+PB最小值为10

8、一个梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上。

这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子向右水平滑动0.5m停在DE位置上，求梯子顶端A向下滑动了多少米？

解∵∠C=90°，

∴AB²=AC²+BC²，DE²=EC²+CD²

∴2.5²=AC²+1.5²，2.5²=EC²+（1.5+0.5）²，

∴AC=2m，EC=1.5m，∴AE=AC-EC=2-1.5=0.5（m），

9、将一根长24cm的筷子置于底面直径5cm，高12cm的圆柱形水杯中。

设筷子露在杯子外的长度为h（cm），则h的取值范围是＿＿＿。

解：

当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24-12=12cm．

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，此时，杯内筷子长=√5²+12²=13cm

∴h=24-13=11cm．

∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm

10、一张矩形纸片ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，折叠后，使得点D与点B重合，C与G重合，求折叠后BE的长和折痕EF的长。

解：

∵折叠后D与B重合∴ED=BE

CF=CG，AB=DC=3cm

设FC=x（cm），则BF=9-xcm，GF=x（cm）

∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠G=90°

∴BF²=BG²+GF²（9-x）²=3²+x²∴x=4BF=9-4=5cm

又∠BEF=∠DEF=∠EFB∴BE=BF=5cm

作FH⊥AD交AD于H，FC=HD=3，EH=9-3-5=1cm∵∠FHE=90°

∴EF=√1²+3²=√10（cm）

三、思考题

1、如图，△ABC为等腰三角形，C为直角顶点，D1，D2，D3......Dn-1是CB边上的n等分点，从C作AD1的垂线，分别交AD1，AD2，AD3........ADn-1AB于P1，P2，P3，......Pn-1,Pn点，连接PnDn-1，求证:

∠AD1C=∠BDn-1Pn。

2、如图,等边三角形ABC的边长a=25+12根号3,P是三角形ABC内的一点,若PA2+PB2=PC2。

若PC=5，求PA、PB的长。

3、如图大小两个半圆它们的直径在同一直线上弦AB与小半圆相切且与直径平行弦AB长12厘米图中阴影部分面积是多少？

4、已知P,Q均为质数，切满足5P2+3Q=59.则以P+3，1-P+Q，2P+Q-4为边长的三角形是什么三角形？

5、如图，△ABC中三条角平分线交于点O，已知AB＜BC＜CA，求证：

OC＞OA＞OB。

6、将长为2n（n为自然数且n≥4）的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记（a，b，c）为三边长分别是a，b，c且满足a＜b＜c的一个三角形，就n=6的情况，分别写出所有满足题意的（a，b，c）所构成的三角形是什么三角形？

7、如图，RT△ABC中，D是AC中点，DE⊥AB与E，求证：

BE2-AE2=BC2

实数

一、思维导图

1.无理数定义：

无限不循环小数

2.实数的分类：

分为有理数和无理数。

有理数分为：

正有理数、负有理数、零

3.算术平方根：

若一个正数x的平方等于a，即x²=a，则这个正数x为a的算术平方根。

a的算术平方根记作，读作“根号a”，a叫做被开方数。

规定：

0的算术平方根为0。

4.平方根：

如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x就叫做a的平方根。

5.二次根式的定义：

一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数，被开方数必须大于或等于0。

6.最简二次根式满足：

①.分母中不含根号=根号下没有分母=根号下没有分数

②．根号下不含可以开得尽方的数

7.同类二次根式：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

8.（）2=a（a≥0）=a（a≥0）

①二次根式的乘法法则：

×（a≥0，b≥0）

两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．

②积的算术平方根的性质：

（a≥0，b≥0）

两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积．

③二次根式的除法法则：

=（a≥0，b＞0）

两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．

④商的算术平方根的性质：

=（a≥0，b＞0）

二、易错题

1.已知：

y=x－+2，求－.

解：

∵x－2≥0,2－x≥0

∴x=2,y=×2－0+0=1

将x=2，y=1代入所求式，得

原式==3-3=0

2、下列说法：

①只有正数才有平方根；②－2是4的平方根；③5的平方根是；④±都是3的平方根；⑤的平方根是－2，其中正确的是（）

A.①②③B.③④⑤C.③④D.②④

解：

错误原因①：

0的平方根为0

③：

5的平方根为±

⑤：

的平方根是2（任何非负数的平方根为非负数）

故选D

3、若与互为相反数，求的值.

解：

∵≥0，≥0.

又∵、互为相反数

∴==0

即a-b+2=0b=

a+b-1=0解得a=-

代入原式，得

原式===-2

答：

所求式的值为-2

4、已知0

解：

原式可化为

∵01

∴x-∴原式=x++x－=2x

5、先化简，再求值.－，其中x=4,y=27.

解：

原式=6

=-

6、已知，2m+1的平方根是±3，的算数平方根是2，求m+2n的平方根.

解：

由题意，得

2m+1=

=

解得，m=4，n=18

∴m+2n=40

故m+2n的平方根为.

7、使＋有意义的x的取值范围是（）

A.x≥0B.x≠2C.x>2D.x≥0且x≠2

解：

使有意义的x的取值范围是x≥0，

使有意义的x的取值范围是x-2≠0，x-2>0.

综上，使＋有意义的x的取值范围是x>2.

8、已知，且，求x+y的值.

解：

∵≥0，≥0

又∵

∴=2，=1

又∵，即x-y≤0

∴或.

∴x+y=－1或2

9、下列各式计算正确的是（）

A、

B、

C、

D、（x>0，y≥0）

解：

错因：

A.应为B.应为C.应为故选D

10、是否存在正整数a、b（a

解：

存在.

，因为只有同类二次根式才能合并，所以是同类二次根式.

设

所以m+n=6，又a，b，a

解得

即

可得.

三、思考题

1.设x、y为正有理数，，为无理数，求证：

+为无理数。

2.设x，y及+为整数，证明：

，为整数。

3.若实数x，y满足3+5︱y︱=7，求S=2-3︱y︱的取值范围。

4.有下列三个命题：

（甲）若a，b是不相等的无理数，则ab+a-b是无理数。

（乙）若a，b是不相等的无理数，则是无理数。

（丙）若a，b是不相等的无理数，则+是无理数。

其中正确命题的个数为（）

（A）0（B）1（C）2（D）3

5．2=

6．计算

7.计算

8.已知整数x，y满足，那么整数对（x，y）的个数是

9.已知a，b，c为正整数，且为有理数，证明：

为整数。

10.已知实数x，y满足（，求证：

x+y=0。