完整word版概率论公式总结.docx

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完整word版概率论公式总结

第1章随机事件及其概率

加法公式

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）当P（AB）=0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

减法公式

P（A-B）=P（A）-P（AB）

当BA时，P（A-B）=P（A）-P（B）

当A=Q时，P（B）=1-P（B）

乘法公式

乘法公式：

P（AB）P（A）P（B/A）

更一般地，对事件A,A,…A,若P（A1A2…An-1）>0,则有

P（A1A2…An）P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）......P（An|A1A2…An1）

独立性

1两个事件的独立性

设事件A、B满足P（AB）P（A）P（B），则称事件A、B是相互独立的。

若事件A、B相互独立，且P（A）0，则有

P（B|A）P（AB）P（A）P（B）P（B）

P（A）P（A）

2多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P（AB）=P（A）P（B）;P（BC）=P（B）P（C）;P（CA）=P（C）P（A）

并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

全概公式

P（A）P（B1）P（A|B1）P（B2）P（A|B2）P（Bn）P（A|Bn）。

贝叶斯公式

P（Bi/A）nP（Bi）P（A/Bi），i=1，2,.n。

P（Bj）P（A/Bj）

j1

此公式即为贝叶斯公式。

P（Bi）,（i1,2，…，n）,通常叫先验概率。

P（Bj/A）,（i1,2，…，

n）,通常称为后验概率。

贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了

“由果朔因”的推断。

第二章随机变量及其分布

设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f（x），对任意实数x，有

x

F（x）f（x）dx

密度函数具有下面性质：

f（X）0

f（x）dx1

离连随量系

散续机的

与型变关

P（Xx）P（xXxdx）f（x）dx。

积分元f（x）dx在连续型随机变量理论

中所起的作用与P（Xxk）Pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

0-1分布P（X=1）=P，P（X=0）=q

设X为随机变量，x是任意实数，则函数F（x）P（Xx）称为随机变量X的分布函数,

本质上是一个累积函数。

P在刃重贝努里试式验中:

b）设事件a）A可以得到概率落入区间事件,bA发生

率。

分布函数F（x）表示随机变量是随区变量，设为内的概率。

能取值为O,1,2，，n。

1.0F（x）1,

（5）八

大分布）

巳项分布3°

F（x0）

随机变量,

PX

F

（1）P,0imPF（%）k00,1,2,F（,n,）

F（x），即F（x则是右连续机变量5X服从参X数年衣）

F（x）

X1X其时，有中

limF（x）1;

P的X二（项。

分对于离散记为

xp;加0.1，这

泊松分布

P（X

则称随机变量

者P（）°

k

k）—e,k!

畫X服从参数为

0,k0,1,2,

的泊松分布，记为X~（）或

超几何分布

P（Xk）

Ckocnkk

CM?

CNMf

_n1

0,1,2,l

CNlmin（M,n）

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H（n,N,M）°

几何分布

P（Xk）

k1

qP,k1,2,3,

，其中pA0,q=1-p°

随机变量X服从参数为P的几何分布，记为G（P）°

设随机变量

X的值只落在［a,1

b］内，其密度函数f（X）在［a,b］

上为常数—

—，即

b

a

均匀分布

当awX1

1

awXwb

（为，X2）内的概率为

f（X）b

J

a其他

X2X-i

0,

P（X1XX2）'1

ba

XkX

X-B（n,P）。

当n1时，P（Xk）

Pk;对于连续型随机变量，。

F（X）

就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

设随机变量X的分布律为

f（X）彳

指数分布

正态分布

函数分布

离散型

I0,

其中0，则称随机变量

X的分布函数为

r1ex

F（x）

0,

设随机变量X的密度函数为

X0,

X服从参数为的指数分布。

x<0。

记住积分公式

Xnexdxn!

0

1j

f（x）e2

0为常数，则称随机变量X服从参数为

2

其中

正态分布或高斯（Gauss）分布，记为X~N（，）。

f（X）具有如下性质:

1°f（x）的图形是关于x

对称的；

1

为最大值;

V2

若X~N（,），则X的分布函数为

2°当x时，f（）

2

1

F（X）石

（t）2

X2~

e2dt

（X）是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

12

①（-X）=1-①（X）且①（0）=—。

如果X~N（,2），则

C

X

N（0,1）

P（XiXX2）

。

Xi

已知X的分布列为

X1,X2,,xn,

P（XXi）p1,p2,,pn,

Yg（X）的分布列（yg（Xi）互不相等）如下:

Y

P（YVi）

若有某些g（xi

g（xl）,g（x2）,,g（Xn）,

斤自等，^则则应将对应的'Pi相加作为g（Xi）的概率。

连续型

先利用X的概率密度fx（x）写出丫的分布函数R（y）=P（g（X）<

y），再利用变上下限积分的求导公式求出

fY（y）。

第三章

维随机变量及其分布

连续型

对于二维随机向量（X,Y）,如果存在非负函数

f（x,y）（

y），使对任意一个其邻边

分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={（X,Y）|a

有

P{（X,Y）

并称f（x,y）

D}f（x,y）dxdy,则称为连续型随机向量;

D

为=（X，Y）的分布密度或称为X和丫的联合分

布密度。

分布密度f（x,y）具有下面两个性质:

（1）f（x,y）>0;

（2）

f（x,y）dxdy1.

离散型与连续型的关系

边缘分布

P（Xx,Yy）P（xXxdx,yYydy）f（x,y）dxdy

X的边缘分布为

P?

P（XXi）

离散型

连续型

离散型

连续型

随机变量的

函数

Y的边缘分布为

P?

jP（Yyj）

X的边缘分布密度为

fx（X）

Pij（i,j1,2,）;

j

Pij（i,j1,2,）。

i

f（x,y）dy；

Y的边缘分布密度为

fY（y）

f（x,y）dx.

PijPi?

P?

j

有零不独立

f（x,y）=fX（x）fY（y）直接判断，充要条件：

①可分离变量②正概率密度区间为矩形

若X1,X2,…XmXm+1,…X.相互独立，h,g为连续函数，则：

h（X1,X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。

特例：

若X与丫独立，则：

h（X）和g（Y）独立。

例如：

若X与丫独立，则：

3X+1和5Y-2独立。

根据定义计算：

Fz（z）P（Zz）P（XYz）

Z=X+Y

态分布的和仍为正态分布（12,22）。

函数分布

Cii,i

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

2厂22

Cii

i

Fmin（X）

1[1h（X）]?

[1Fx2（X）][1Fxn（x）]

设n个随机变量X1,X2,,Xn相互独立，且服从标准正态分

布，可以证明它们的平方和

n

WXi2我们称随机变量w服从自由度为n的2分布记为

2分布

i1I1

W2（n）

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

2分布满足可加性：

设Y

2

（ni）,则

k

2

nJ

ZYi~（n1n2

i1

t分布

设X,Y是两个相互独立的随机变量，且X~N（0,1）,Y~2（n）,可

X

以证明函数T我们称随机变量T服从自由度为n的t分布,

（Y/n

记为T〜t（n）。

t1（n）t（n）

F分布

设X~2（n1）,Y~2（n2），且X与丫独立，可以证明

X/ni我们称随机变量F服从第一个自由度为ni，第二个

丫/门2

自由度为n2的F分布，记为F〜f（ni,n2）.

1

Fl（ni，n2）卞而

（1）

维

机

量

数

特

随变的字征

（2）期的质

第四章

随机变量的数字特征

离散型

连续型

设X是离散型随机变量,

其分布

设X是连续型随机变

期望

律为P（XXk）

=p^,

量，其概率密度为

f（x）,

期望就是平均值

k=1,2,…,n,

n

E（X）

xf（x）dx

E（X）XkPk

k1

（要求绝对收敛）

（要求绝对收敛）

Y=g（X）

Y=g（X）

函数的期望

n

E（Y）g（Xk）Pk

k1

E（Y）

g（x）f（x）dx

方差

D（X）=E[X-E（X）]2，

标准差

2

D（X）[XkE（X）]Pk

k

D（X）

[XE（X）]2

（X）

VD（X），

（1）

E（C）=C

（2）

E（CX）=CE（X）

（3）

E（X+Y）=E（X）+E（Y），

nn

E（CiXi）CiE（Xi）

i1i1

（4）

E（XY）=E（X）E（Y），

充分条件：

X和丫独立；充要条件：

X和丫不相关。

f（x）dx

（3）

（1）D（C）=O；E（C）=C

2

（2）D（aX）=aD（X）；E（aX）=aE（X）

2

（3）D（aX+b）=aD（X）；

E（aX+b）=aE（X）+b

方差

（4）D（X）=E（X2）-E

2（X）

的性

（5）D（X±Y）=D（X）+D（Y）:

，充分条件：

X和丫独立；

质

充要条件：

X和丫不相关。

D（X±Y）=D（X）+D（Y）

±2E[（X-E（X））（Y-E（Y））]

，无条件成立。

而E（X+Y）=E（X）+E（Y），无条件成立。

期望

方差

0-1分布B（1,p）

P

P（1P）

二项分布B（n,p）

np

np（1P）

泊松分布P（）

（4）

1

P

1P

2

P

常见分布

几何分布G（p）

的期望和

超几何分布

nM

nM

MNn

*1

方差

H（n,M,N）

N

N

1

NN1

均匀分布U（a,b）

ab

2

（ba）2

12

指数分布e（）

丄

丄

正态分布N（,2）

2

2分布

n

2n

t分布

0

—（n>2）n2

n

E（X）

XiPi?

i1

E（X）

xfX（x）dx

期望

n

二维

E（Y）

yjP?

j

E（Y）

yfY（y）dy

随机

j1

变量

E[G（X,Y）]=

E[G（X,Y）]=

函数的期望

ij

G（Xi,yj）Pij

G（x,y）f（x,y）dxdy

——

方差

对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩11为X与丫的协方差

协方差

XY11E[（XE（X））（YE（Y））].

与记号XY相对应，X与丫的方差D（X）与D（Y）也可分别记为XX与

YY。

，则称

对于随机变量X与丫，如果D（X）>0,D（Y）>0

相关系数

0时，称X与丫不相关。

以下五个命题是等价的：

①XY0；

②cov（X,Y）=0;③E（XY）=E（X）E（Y）;④D（X+Y）=D（X）+D（Y）;⑤

D（X-Y）=D（X）+D（Y）.

COV（X,Y）=cov（Y,X）;cov（aX,bY）=abcov（X,Y）;cov（X1+X2,Y）=cov（Xi,Y）+cov（X2,丫）；cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）.

若随机变量X与丫相互独立，则XY0；反之不真。

设随机变量X1,的数

X2,…相互独立，服从同一分布，且具有学

中心极限定

2

N（—）

n

常见统计量及其性质

列维―

林德伯

格定理

棣莫弗-拉普拉斯定理

E（Xk）

D（Xk）

Yn

的分布函数

0（k1,2,）,

n

Xkn

k1

则随机变量

Fn（X）对任意的实数

n

Xk

k1

limFn（X）limP=

nnVn

X,有

此定理也称为独立同分布的中心极限定理。

设随机变量Xn为具有参数

n,p（0

任意实数

limP

n

X,有

Xnnp

Jnp（1p）

第六章样本及抽样分布

样本均值

样本方差

样本标准差

1n-Xi.

ni1

样本k阶原点矩

样本k阶中心矩

E（X）

其中S*2

，D（X）

X）2

t2

X—

e2dt.

的二项分布，则对于

t2

^dt.

n_

（XiX）2.

i1

4n

1/_\2

—（Xix）.

1i1

E（S2）

2

E（S*）

，为二阶中心矩

正态分布

t分布

设X1,X2,,Xr

本函数

为来自正态总体N（,2）的一个样本，则样

def

u—

设X1,X2,,Xn为来自正态总体N（,2）的一个样本，则样

（2）正总体下四大分布

defX

本函数t~t（n1）,

s/Jn

其中t（n-1）表示自由度为n-1的t分布。

2分布

设X1,X2,,Xn为来自正态总体N（,2）的一个样本，则

2

w塁r_~2（n1）,

2

表示自由度为分

n-1的分布

F分布

yi,y2,

函数

yn为来自正态总体

2

N（,2）的一个样本，则样本

fX2/

2

S；/t~f（n11,n2

1）,其中

S2

1n1-

LFX）2'E2

1

n21

n2_

（Viy）2;

i1

F（ni

1,门21）表示自由度为ni1,

当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为

f（X；

1,2,,m），其中为未知

参数。

又设X1,X2,,Xn为总体的一个样本，称

为样本的似然函数，简记为Ln.

n

L（1,2,,m）f（Xi；1,2,,m

i1

当总体X

为离型随机变量时，设其分布律为P{Xx}p（x；

1,2,,m），则

L（X1,X2,

n

Xn；1,2,,m）P（Xi；1,2,,m）为样本的似然函数。

若似然函数

i1

m的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。

InLn

0,i1,2,,m若为的极大似然估.