完整word版概率论公式总结.docx
《完整word版概率论公式总结.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《完整word版概率论公式总结.docx(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
完整word版概率论公式总结
第1章随机事件及其概率
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时,P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Q时,P(B)=1-P(B)
乘法公式
乘法公式:
P(AB)P(A)P(B/A)
更一般地,对事件A,A,…A,若P(A1A2…An-1)>0,则有
P(A1A2…An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)......P(An|A1A2…An1)
独立性
1两个事件的独立性
设事件A、B满足P(AB)P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。
若事件A、B相互独立,且P(A)0,则有
P(B|A)P(AB)P(A)P(B)P(B)
P(A)P(A)
2多个事件的独立性
设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
全概公式
P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。
贝叶斯公式
P(Bi/A)nP(Bi)P(A/Bi),i=1,2,.n。
P(Bj)P(A/Bj)
j1
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi),(i1,2,…,n),通常叫先验概率。
P(Bj/A),(i1,2,…,
n),通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了
“由果朔因”的推断。
第二章随机变量及其分布
设F(x)是随机变量X的分布函数,若存在非负函数f(x),对任意实数x,有
x
F(x)f(x)dx
密度函数具有下面性质:
f(X)0
f(x)dx1
离连随量系
散续机的
与型变关
P(Xx)P(xXxdx)f(x)dx。
积分元f(x)dx在连续型随机变量理论
中所起的作用与P(Xxk)Pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
0-1分布P(X=1)=P,P(X=0)=q
设X为随机变量,x是任意实数,则函数F(x)P(Xx)称为随机变量X的分布函数,
本质上是一个累积函数。
P在刃重贝努里试式验中:
b)设事件a)A可以得到概率落入区间事件,bA发生
率。
分布函数F(x)表示随机变量是随区变量,设为内的概率。
能取值为O,1,2,,n。
1.0F(x)1,
(5)八
大分布)
巳项分布3°
F(x0)
随机变量,
PXF
(1)P,0imPF(%)k00,1,2,F(,n,)
F(x),即F(x则是右连续机变量5X服从参X数年衣)
F(x)
X1X其时,有中
limF(x)1;
P的X二(项。
分对于离散记为
xp;加0.1,这
泊松分布
P(X
则称随机变量
者P()°
k
k)—e,k!
畫X服从参数为
0,k0,1,2,
的泊松分布,记为X~()或
超几何分布
P(Xk)
Ckocnkk
CM?
CNMf
_n1
0,1,2,l
CNlmin(M,n)
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布,记为H(n,N,M)°
几何分布
P(Xk)
k1
qP,k1,2,3,
,其中pA0,q=1-p°
随机变量X服从参数为P的几何分布,记为G(P)°
设随机变量
X的值只落在[a,1
b]内,其密度函数f(X)在[a,b]
上为常数—
—,即
b
a
均匀分布
当awX11
awXwb
(为,X2)内的概率为
f(X)b
J
a其他
X2X-i
0,
P(X1XX2)'1
ba
XkX
X-B(n,P)。
当n1时,P(Xk)
Pk;对于连续型随机变量,。
F(X)
就是(0-1)分布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。
设随机变量X的分布律为
f(X)彳
指数分布
正态分布
函数分布
离散型
I0,
其中0,则称随机变量
X的分布函数为
r1ex
F(x)
0,
设随机变量X的密度函数为
X0,
X服从参数为的指数分布。
x<0。
记住积分公式
Xnexdxn!
0
1j
f(x)e2
0为常数,则称随机变量X服从参数为
2
其中
正态分布或高斯(Gauss)分布,记为X~N(,)。
f(X)具有如下性质:
1°f(x)的图形是关于x
对称的;
1
为最大值;
V2
若X~N(,),则X的分布函数为
2°当x时,f()
2
1
F(X)石
(t)2
X2~
e2dt
(X)是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。
12
①(-X)=1-①(X)且①(0)=—。
如果X~N(,2),则
C
X
N(0,1)
P(XiXX2)
。
Xi
已知X的分布列为
X1,X2,,xn,
P(XXi)p1,p2,,pn,
Yg(X)的分布列(yg(Xi)互不相等)如下:
Y
P(YVi)
若有某些g(xi
g(xl),g(x2),,g(Xn),
斤自等,^则则应将对应的'Pi相加作为g(Xi)的概率。
连续型
先利用X的概率密度fx(x)写出丫的分布函数R(y)=P(g(X)<
y),再利用变上下限积分的求导公式求出
fY(y)。
第三章
维随机变量及其分布
连续型
对于二维随机向量(X,Y),如果存在非负函数
f(x,y)(
y),使对任意一个其邻边
分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={(X,Y)|a有
P{(X,Y)
并称f(x,y)
D}f(x,y)dxdy,则称为连续型随机向量;
D
为=(X,Y)的分布密度或称为X和丫的联合分
布密度。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质:
(1)f(x,y)>0;
(2)
f(x,y)dxdy1.
离散型与连续型的关系
边缘分布
P(Xx,Yy)P(xXxdx,yYydy)f(x,y)dxdy
X的边缘分布为
P?
P(XXi)
离散型
连续型
离散型
连续型
随机变量的
函数
Y的边缘分布为
P?
jP(Yyj)
X的边缘分布密度为
fx(X)
Pij(i,j1,2,);
j
Pij(i,j1,2,)。
i
f(x,y)dy;
Y的边缘分布密度为
fY(y)
f(x,y)dx.
PijPi?
P?
j
有零不独立
f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断,充要条件:
①可分离变量②正概率密度区间为矩形
若X1,X2,…XmXm+1,…X.相互独立,h,g为连续函数,则:
h(X1,X2,…Xm)和g(Xm+1,…Xn)相互独立。
特例:
若X与丫独立,则:
h(X)和g(Y)独立。
例如:
若X与丫独立,则:
3X+1和5Y-2独立。
根据定义计算:
Fz(z)P(Zz)P(XYz)
Z=X+Y
态分布的和仍为正态分布(12,22)。
函数分布
Cii,i
n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。
2厂22
Cii
i
Fmin(X)
1[1h(X)]?
[1Fx2(X)][1Fxn(x)]
设n个随机变量X1,X2,,Xn相互独立,且服从标准正态分
布,可以证明它们的平方和
n
WXi2我们称随机变量w服从自由度为n的2分布记为
2分布
i1I1
W2(n)
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量分布中的一个重要参数。
2分布满足可加性:
设Y
2
(ni),则
k
2
nJ
ZYi~(n1n2
i1
t分布
设X,Y是两个相互独立的随机变量,且X~N(0,1),Y~2(n),可
X
以证明函数T我们称随机变量T服从自由度为n的t分布,
(Y/n
记为T〜t(n)。
t1(n)t(n)
F分布
设X~2(n1),Y~2(n2),且X与丫独立,可以证明
X/ni我们称随机变量F服从第一个自由度为ni,第二个
丫/门2
自由度为n2的F分布,记为F〜f(ni,n2).
1
Fl(ni,n2)卞而
(1)
维
机
量
数
特
随变的字征
(2)期的质
第四章
随机变量的数字特征
离散型
连续型
设X是离散型随机变量,
其分布
设X是连续型随机变
期望
律为P(XXk)
=p^,
量,其概率密度为
f(x),
期望就是平均值
k=1,2,…,n,
n
E(X)
xf(x)dx
E(X)XkPk
k1
(要求绝对收敛)
(要求绝对收敛)
Y=g(X)
Y=g(X)
函数的期望
n
E(Y)g(Xk)Pk
k1
E(Y)
g(x)f(x)dx
方差
D(X)=E[X-E(X)]2,
标准差
2
D(X)[XkE(X)]Pk
k
D(X)
[XE(X)]2
(X)
VD(X),
(1)
E(C)=C
(2)
E(CX)=CE(X)
(3)
E(X+Y)=E(X)+E(Y),
nn
E(CiXi)CiE(Xi)
i1i1
(4)
E(XY)=E(X)E(Y),
充分条件:
X和丫独立;充要条件:
X和丫不相关。
f(x)dx
(3)
(1)D(C)=O;E(C)=C
2
(2)D(aX)=aD(X);E(aX)=aE(X)
2
(3)D(aX+b)=aD(X);
E(aX+b)=aE(X)+b
方差
(4)D(X)=E(X2)-E
2(X)
的性
(5)D(X±Y)=D(X)+D(Y):
,充分条件:
X和丫独立;
质
充要条件:
X和丫不相关。
D(X±Y)=D(X)+D(Y)
±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
,无条件成立。
而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。
期望
方差
0-1分布B(1,p)
P
P(1P)
二项分布B(n,p)
np
np(1P)
泊松分布P()
(4)
1
P
1P
2
P
常见分布
几何分布G(p)
的期望和
超几何分布
nM
nM
MNn
*1
方差
H(n,M,N)
N
N
1
NN1
均匀分布U(a,b)
ab
2
(ba)2
12
指数分布e()
丄
丄
正态分布N(,2)
2
2分布
n
2n
t分布
0
—(n>2)n2
n
E(X)
XiPi?
i1
E(X)
xfX(x)dx
期望
n
二维
E(Y)
yjP?
j
E(Y)
yfY(y)dy
随机
j1
变量
E[G(X,Y)]=
E[G(X,Y)]=
函数的期望
ij
G(Xi,yj)Pij
G(x,y)f(x,y)dxdy
——
方差
对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩11为X与丫的协方差
协方差
XY11E[(XE(X))(YE(Y))].
与记号XY相对应,X与丫的方差D(X)与D(Y)也可分别记为XX与
YY。
,则称
对于随机变量X与丫,如果D(X)>0,D(Y)>0
相关系数
0时,称X与丫不相关。
以下五个命题是等价的:
①XY0;
②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤
D(X-Y)=D(X)+D(Y).
COV(X,Y)=cov(Y,X);cov(aX,bY)=abcov(X,Y);cov(X1+X2,Y)=cov(Xi,Y)+cov(X2,丫);cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
若随机变量X与丫相互独立,则XY0;反之不真。
设随机变量X1,的数
X2,…相互独立,服从同一分布,且具有学
中心极限定
2
N(—)
n
常见统计量及其性质
列维―
林德伯
格定理
棣莫弗-拉普拉斯定理
E(Xk)
D(Xk)
Yn
的分布函数
0(k1,2,),
n
Xkn
k1
则随机变量
Fn(X)对任意的实数
n
Xk
k1
limFn(X)limP=
nnVn
X,有
此定理也称为独立同分布的中心极限定理。
设随机变量Xn为具有参数
n,p(0
任意实数
limP
n
X,有
Xnnp
Jnp(1p)
第六章样本及抽样分布
样本均值
样本方差
样本标准差
1n-Xi.
ni1
样本k阶原点矩
样本k阶中心矩
E(X)
其中S*2
,D(X)
X)2
t2
X—
e2dt.
的二项分布,则对于
t2
^dt.
n_
(XiX)2.
i1
4n
1/_\2
—(Xix).
1i1
E(S2)
2
E(S*)
,为二阶中心矩
正态分布
t分布
设X1,X2,,Xr
本函数
为来自正态总体N(,2)的一个样本,则样
def
u—
设X1,X2,,Xn为来自正态总体N(,2)的一个样本,则样
(2)正总体下四大分布
defX
本函数t~t(n1),
s/Jn
其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。
2分布
设X1,X2,,Xn为来自正态总体N(,2)的一个样本,则
2
w塁r_~2(n1),
2
表示自由度为分
n-1的分布
F分布
yi,y2,
函数
yn为来自正态总体
2
N(,2)的一个样本,则样本
fX2/
2
S;/t~f(n11,n2
1),其中
S2
1n1-
LFX)2'E2
1
n21
n2_
(Viy)2;
i1
F(ni
1,门21)表示自由度为ni1,
当总体X为连续型随机变量时,设其分布密度为
f(X;
1,2,,m),其中为未知
参数。
又设X1,X2,,Xn为总体的一个样本,称
为样本的似然函数,简记为Ln.
n
L(1,2,,m)f(Xi;1,2,,m
i1
当总体X
为离型随机变量时,设其分布律为P{Xx}p(x;
1,2,,m),则
L(X1,X2,
n
Xn;1,2,,m)P(Xi;1,2,,m)为样本的似然函数。
若似然函数
i1
m的最大似然估计值,相应的统计量称为最大似然估计量。
InLn
0,i1,2,,m若为的极大似然估.