概率第三章习题答案.docx

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概率第三章习题答案

习题三

1、设的分布律为

求。

解：

由分布律的性质，得，即，，

解得，。

注：

考察分布律的完备性和非负性。

2、设的分布函数为，试用表示：

（1）；

（2）；（3）．

解：

根据分布函数的定义，得

（1）；

（2）

（3）

3、设二维随机变量的分布函数为，分布律如下：

试求：

（1）；

（2）；（3）．

解：

由的分布律，得

（1）

；

（2）

；

（3）

。

4、设，为随机变量，且

求

解。

注：

此题关键在于理解表示，然后再根据概率的加法公式。

5、只取下列数值中的值：

，且相应概率依次为。

请列出的概率分布表，并写出关于的边缘分布．

解：

（1）根据的全部可能取值以及相应概率，得的概率分布表为

（2）根据的边缘分布与联合分布的关系，得

所以，的边缘分布为

6、设随机向量服从二维正态分布，其概率密度函数为

，

求．

解：

由图形对称性，得

，故。

注：

本题的求解借助与图形的特点变得很简单，否则若根据概率密度函数的性质3进行求解会相对复杂些。

7、设随机变量的概率密度为，

（1）确定常数；

（2）求；

（3）求；（4）求．

分析：

利用

再化为累次积分，其中

解：

（1）由概率密度函数的完备性，得解得。

（2）；

（3）

（4）。

8、已知和的联合密度为

，

试求：

（1）常数；

（2）和的联合分布函数．

解：

（1）由概率密度函数的完备性，得

，解得。

（2）

。

9、设二维随机变量的概率密度为

求边缘概率密度．

解：

10、设在曲线，所围成的区域内服从均匀分布，求联合概率密度和边缘概率密度．

解：

据题意知，区域的面积为，

由于在区域内服从均匀分布，

故的概率密度函数为

。

，

。

注：

此题求解首先必须画出区域的图形。

然后根据图形确定积分上下限。

11、二维随机变量的分布律为

（1）求的边缘分布律；

（2），；（3）判定与是否独立？

解：

（1）由边缘分布与联合分布的关系，知

所以，的边缘分布律为

（2）

，

；

（3）根据二维随机变量的分布律可知其边缘分布律

由于，所以与不独立。

12、设随机变量的概率密度为，

问：

与是否相互独立?

解：

【法一】任意给定

所以，因而与不独立。

【法二】若与相互独立，则对任意，有

，

而，即，

所以，，解得，

或，很显然这是不成立的，故与不是相互独立的。

13、将某一医药公司9月份和8月份的青霉素制剂的订货单数分别记为与。

据以往积累的资料知，和的联合分布律为

（1）求边缘分布律；

（2）求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律．

解：

（1）由联合分布律与边缘分布律的关系，得

（2）

，

，

，

，

8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律为

14、已知的分布律如表所示，

求：

（1）在的条件下，的条件分布律；

（2）在的条件下，的条件分布律．

解：

根据联合分布律可得边缘分布律，如下：

（1）根据上表，可得

（2），

，

，

所以，在的条件下，的条件分布律为

（3）根据上表，可得

（4），

，

，

所以，在的条件下，的条件分布律为

15、已知的概率密度函数为

，

求：

（1）边缘概率密度函数；

（2）条件概率密度函数．

解：

（1）

；

；

（2）当时，

；

当时，

注：

此题求解时最好画出联合密度函数不为零时的区域，以便准确的确定自变量的取值或积分上下限。

16、设与相互独立，其概率分布如表所示，

求的联合概率分布，，．

解：

由于与相互独立，故对任意，有

，

所以，的联合概率分布为

17、某旅客到达火车站的时间均匀分布在早上7：

55~8：

00，而火车这段时间开出的时间的密度函数为，求此人能及时上火车的概率．

解：

令7：

55~看作时刻0，以分为单位，故，即的概率密度函数为

，

而与相互独立，故的联合概率密度函数为

，

所以，此人能及时上火车的概率为。

18、设和是两个相互独立的随机变量，，．

（1）求与的联合概率密度；

（2）设有的二次方程，求它有实根的概率．

解：

因为，所以

；

因为，所以，又相互独立，所以

（1）

（2）所求概率为

19、设随机变量与都服从分布，且与相互独立，求的联合概率密度函数。

解：

据题意知，由于随机变量与都服从分布，所以与的概率密度函数分别为

，，

，，

又由于与相互独立，即，

故的联合概率密度函数为

20、设随机变量与相互独立，且分别服从二项分布与，求证：

．

证：

据题意知，，，故与的分布律分别为

，

，

又由于与相互独立，故

，。

21、设随机变量和相互独立，且都等可能地取为值，求随机变量和的联合分布．

解：

由题意，和的分布律为

可见，下求

（1）当时，

（2）当时，

（3）当时，

所以得到关于，的联合分布律为

22、设

且，

．求和的联合概率分布．

解：

由题意，

，

，

所以，和的联合概率分布为

23、设的联合密度函数为

，求的密度函数。

解：

当时，

当时，

所以，所以

24、设随机变量的概率密度为

（1）问和是否相互独立？

（2）求的密度函数．

解：

（1）

由、的对称性得，

因为，所以和不独立。

（2），由的表达形式知，当时，

即当，也即时，，

所以，。

25、设和为两个随机变量，且

求．

解：

。

26、设随机变量的概率密度为

（1）试确定常数；

（2）求边缘概率密度；（3）求函数的分布函数．

解：

（1）有概率密度函数的性质，得

解得，。

（2）

，

（3）

当时，，

当

当，

所以，的分布函数为

。

27、设和为相互独立的两个随机变量，且服从同一分布，试证明：

．

证：

设，则，

而由于和为相互独立且服从同一分布，所以，

所以

。

28、设的概率密度为，求的概率密度．

解：

由和的分布，得,

被积函数不为零当且仅当，

解得，

所以，

。

注：

被积函数不为零的部分必须画坐标，通过坐标图形确定自变量的取值以及积分上下限