六年级圆典型试题归纳总结材料.docx
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六年级圆典型试题归纳总结材料
一、认识圆
1、圆的定义：
圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：
将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
一般用字母O表示。
它到圆上任意一点的距离都相等．
3、半径：
连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用字母r表示。
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。
所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的
。
用字母表示为：
d＝2r或r＝
8、轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。
这些图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有：
角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是：
长方形
只有3条对称轴的图形是：
等边三角形
只有4条对称轴的图形是：
正方形;
有无数条对称轴的图形是：
圆、圆环。
二、圆的周长
1、圆的周长：
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
用字母C表示。
2、圆周率实验：
在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。
发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（π）。
3．圆周率：
任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π（pai）表示。
（1）、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。
圆周率π是一个无限不循环小数。
在计算时，一般取π≈3.14。
（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。
（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
4、圆的周长公式：
C=πdd=C÷π
或C=2πrr=C÷2π
5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长：
（1）周长的一半：
等于圆的周长÷2计算方法：
2πr÷2即πr
（2）半圆的周长：
等于圆的周长的一半加直径。
计算方法：
πr＋2r即5.14r
三、圆的面积
1、圆的面积：
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
用字母S表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导：
（1）、用逐渐逼近的转化思想：
体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。
（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。
（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径=长方形的宽
圆的周长的一半=长方形的长
因为：
长方形面积=长×宽
所以：
圆的面积=圆周长的一半×圆的半径
S圆=πr×r
圆的面积公式：
S圆=πr2r2=S÷π
4、环形的面积:
一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。
（R＝r＋环的宽度．）
S环=πR²－πｒ² 或
环形的面积公式：
S环=π（R²－ｒ²）。
5、扇形的面积计算公式：
S扇=πr2×
（n表示扇形圆心角的度数）
6、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如：
在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。
7、两个圆：
半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方。
例如：
两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9
8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：
4∶π
9、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。
反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。
10、确定起跑线：
（1）、每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长+两个直道的长度。
（2）、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。
（因此起跑线不同）
（3）、每相邻两个跑道相隔的距离是：
2×π×跑道的宽度
（4）、当一个圆的半径增加ａ厘米时，它的周长就增加２πａ厘米；当一个圆的直径增加ａ厘米时，它的周长就增加πａ厘米。
11、常用各π值结果：
π=3.14
2π=6.28
3π=9.42
4π=12.56
5π=15.7
6π=18.84
7π=21.98
8π=25.12
9π=28.26
10π=31.4
16π=50.24
25π=78.5
36π=113.04
64π=200.96
96π=301.44
12、常用平方数结果
11²=12112²=14413²=16914²=19615²=22516²=256
17²=28918²=32419²=361
第一讲圆的周长与面积
学习提示：
圆是一种由封闭的曲线围成的平面图形，在日常生活中随处可见。
它的魅力、它的独特的性质使得它在人们生活和生产中的位置是其他形状所无法取代的。
我们每人都经常遇见这样的问题：
为一个圆形桌布绣上花边要买多长的花边；修一个圆形花圃要购买多少草皮；如何用现有的栅栏围成一个尽可能大的菜地等。
这些都涉及到圆的周长和面积。
圆的周长公式是
求圆的周长和面积的必备条件是圆的半径或直径，但有时并不能求出半径，可以把
做为一个条件来求解。
圆是轴对称图形，在计算周长和面积时，还可以运用割补、旋转、平移等方法进行转化。
典型题解
例题1如图，求阴影部分的周长（单位：
米）。
分析如右图，阴影部分的周长分为三部分：
弧AC、线段CB、圆O周长的一半ADB。
△DOB是一个等腰直角三角形、角OBD的度数是45度，所以弧AC的所在圆的半径为20厘米，其长度是这个圆的周长的
。
线段CB的长与线段AB的长相等，都是20厘米。
圆O的直径也是20厘米，其周长的一半可求。
将三部分的长度相加即为阴影部分的周长。
解答：
（1）弧AC的长
（2）圆O周长的一半
（3）阴影部分的周长
15.7+20+31.4=67.1（厘米）
答：
阴影部分的周长67.1厘米
例2、有三根直径都是2分米的圆柱形木材，想用一根绳子把它们捆成一捆，捆三圈最短需要多少分米长的绳子（打结处绳长不计）？
分析用绳子捆三圈的长度就是指周长的3倍。
这个图形的周长可以分为两类：
线段的长度（如线段AB）与弧的长度（如弧BC）。
从下图不难看出：
共有三条线段，每条线段的长度都等于圆的直径的长度：
功有三段弧，三个圆的圆心相连得到一个正三角形，没个内角都是60度，角BOC的度数为360—90×2—60=120。
每段弧的长度等于圆的周长的
，三段弧正好等于一个圆的周长。
解答（3.14×2+2×3）×3
=（6.28+6）×3
=12.28×3
=36.84（分米）
答：
捆三圈最少也要36.分米长的绳子。
例3、根据图中给出的数据，求阴影部分的面积。
分析：
将左边阴影部分沿着半径AO翻转，和右图的阴影部分组成了平行四边形ABCD，计算平行四边形面积即可。
解答2×1=2（平方厘米）
例4、下图是由两个正方形组合成的，其中正方形ABCD的边长4厘米，正方形EFGD的边长是6厘米，求图中阴影部分的面积。
分析扇形EDG是半径6厘米的圆的面积的
，阴影部分是扇形EDG的一部分，但要先求出△HDC的面积，就要先求出线段HD的长度，因此连接HA。
△BAG的面积减去△BAH的面积可得△HAG的底是4+6厘米，反用三角形面积公式，可得线段HD的长度，进而求出△HDC的面积，阴影部分的面积可求。
解答连接HA
（1）、△HAG的面积=△BAG的面积—△BAH的面积可得
（4+6）×4÷2—4×4÷2=12（平方厘米）
（2）、线段HD的长度
12×2÷（4+6）=2.4（厘米）
（3）、△HDC的面积
6×2.4÷2=7.2（平方厘米）
（4）、阴影部分的面积是
3.14×62×
—7.2=21.06（平方厘米）
答：
图中阴影部分的面积21.06平方厘米。
例5如图（单位：
厘米），OA=OB=OC，AB=10。
求图形的面积
分析图形由两部分构成：
扇形COA、△AOB。
连接AC，如下图：
△AOB、△AOC都是等腰直角三角形，所以△ABC也是等腰直角三角形，由于AB=10，10×10÷2=50（平方分米），可得△ABC的面积，除以2可得△AOB、△AOC两个三角形的面积25平方分米。
在△AOC中，OA×OC÷2=25，所以OA×OC=50，既扇形COA所在圆的R2=50。
扇形面积可求。
解答连接AC。
（1）、△ABC的面积：
10×10÷2=50（平方分米）
（2）、△AOB、△AOC的面积：
50÷2=25（平方分米）
（3）、扇形AOB的面积：
R2=OA×OC=25×2=50
3．14×50×
=39.25（平方分米）
（4）、图形的面积：
39.25+25=64.25（平方分米）
答这个图形的面积是64。
25平方分米。
例6、如下图，△ABC是一个等腰直角三角形，AB=BC=10，求图中阴影部分的面积。
（单位：
分米）
分析连接BD，以B点为轴心旋转BC，可以得到一个新的图形（如下图所示）。
从图中可以看出阴影部分正好是直径10分米的圆中减去边长一个最大正方形的面积。
正方形的对角线是10分米，可以用对角线长度的平方再除以2求出正方形的面积。
解答3.14×（10÷2）2—10×10÷2
=3.14×25—50
=78.5—50
=28.5（平方分米）
答：
图中阴影部分的面积28.5平方分米
课后自测
1、一个半圆形的花圃直径10米，在花圃的周围要围上装饰性护栏，护栏长多少米？
2、把半径分别是6厘米、4厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分的周长？
3、有四根直径是1米的圆柱形管子，用一根铁丝紧紧地捆在一起，铁丝的长度最短是多少米？
（打结处铁丝长度不计）
4、把半径都是10分米的两个圆如下图放置，求图形外围的周长是多少分米？
5、求图中阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
6、求图中阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
7、如图：
小正方形的边长是大正方形边长的一半，阴影的面积是50平方厘米，求环形的面积是多少平方厘米？
8、如图，A、B、C是三个圆的圆心，圆的半径都是10分米，求阴影部分的面积。
9、右图是圆心为O，半径是10厘米的圆。
以C为圆心，CA为半径画一条弧。
求阴影部分
的面积。
（广东省1998年复赛题）
10、如图，一个圆心角为450的扇形，其中等腰直角三角形的直角边是6厘米，求阴影部分的面积。
第一讲圆的周长与面积
练习题：
例1.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
这是最基本的方法：
圆面积减去等腰直角三角形的面积，
×
-2×1=1.14（平方厘米）
例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去
圆的面积。
设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以
=7，
所以阴影部分的面积为：
7-
=7-
×7=1.505平方厘米
例3.求图中阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
最基本的方法之一。
用四个
圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，
所以阴影部分的面积：
2×2-π＝0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
同上，正方形面积减去圆面积，
16-π（
）=16-4π
=3.44平方厘米
例5.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，
我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，
π（
）×2-16=8π-16=9.12平方厘米
另外：
此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
例6.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
梯形面积减去
圆面积，
（4+10）×4-
π
=28-4π=15.44平方厘米.
例7.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
正方形面积可用（对角线长×对角线长÷2，求）
正方形面积为：
5×5÷2=12.5
所以阴影面积为：
π
÷4-12.5=7.125平方厘米
（注:
以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形）
例8.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为
圆，
所以阴影部分面积为：
π（
）=3.14平方厘米
例9.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
把右面的正方形平移至左边的正方形部分，则阴影部分合成一个长方形，
所以阴影部分面积为：
2×3=6平方厘米
例10.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
同上，平移左右两部分至中间部分，则合成一个长方形，
所以阴影部分面积为2×1=2平方厘米
（注:
8、9、10三题是简单割、补或平移）
课后练习题：
1.求阴影部分的面积
2.图中圆的周长是12.56cm，圆的面积正好等于长方形的面积，求阴影部分的面积。
3.如图，正方形DEOF在四分之一圆中，如果圆的半径为1厘米，那么，阴影部分的面积是多少平方厘米？
4.三角形ABC是等腰直角三角形，半圆的直径BC长20cm，求阴影面积。
4cm
5.求阴影部分面积。
4cm
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