行程问题二相遇问题和追及问题.docx

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行程问题二相遇问题和追及问题

-----行程问题（相遇问题和追及问题）（★★★★）

1.理解和掌握相遇问题和追及问题的公式；

2.用相遇问题和追及问题的公式解决相关的行程问题。

（一）追及问题　　

有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他。

这就产生了“追及问题”。

实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内：

　　甲走的距离-乙走的距离　=甲的速度×时间-乙的速度×时间

　　=（甲的速度-乙的速度）×时间.

通常，“追及问题”要考虑速度差.

追及问题公式：

（快速－慢速）×追及时间=追及路程

（★★★）小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？

　　解：

先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.

　　此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此

　　所用时间=9÷6＝1.5（小时）.

　　小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是

9÷（10÷60）=54

　　面包车速度是54-6＝48（千米/小时）.

　　城门离学校的距离是

　　48×1.5＝72（千米）.

答：

学校到城门的距离是72千米.

（★★★）小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远？

　　解一：

可以作为“追及问题”处理.

　　假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是

　　50×10÷（75-50）＝20（分钟）?

　　因此，小张走的距离是

　　75×20＝1500（米）.

　　答：

从家到公园的距离是1500米.

还有一种不少人采用的方法.

解二：

小张加快速度后，每走1米，可节约时间（1/75-1/50）分钟，因此家到公园的距离是

　　一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？

对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.

一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如果速度是35千米/小时，要40分钟才能追上.问自行车的速度是多少？

　　解一：

自行车1小时走了

　　30×1-已超前距离，

　　自行车40分钟走了

35×

-已超前距离,

　　自行车多走20分钟，走了

　　因此，自行车的速度是

　　答：

自行车速度是20千米/小时.

　　解二：

因为追上所需时间=追上距离÷速度差

　　1小时与40分钟是3∶2.所以两者的速度差之比是2∶3.请看下面示意图：

　　马上可看出前一速度差是15.自行车速度是：

35-15＝20（千米/小时）.

（★★★★）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？

　　解：

画一张简单的示意图：

　　图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了

　　8-4＝4（千米）.

　　而爸爸骑的距离是4＋8＝12（千米）.

　　这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.

　　但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.

　　少骑行24-16＝8（千米）.

　　摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.

　　8＋8＋16＝32.

答：

这时是8点32分.

甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？

　　解：

画示意图如下：

　　如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是

　　40×3÷60＝2（小时）.

　　从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了

　　6×2-2＝10（千米）.小王已走了6＋2=8（千米）.

　　因此，他们的速度分别是

　　小张10÷2＝5（千米/小时），

　　小王8÷2=4（千米/小时）.

答：

小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时.

（二）相遇问题

　　小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么

　　甲走的距离+乙走的距离　=甲的速度×时间+乙的速度×时间

　　=（甲的速度+乙的速度）×时间.

“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和。

相遇问题基本公式：

（甲速＋乙速）×相遇时间=全程

（★★★）小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？

　　解：

走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的36÷12＝3（倍），因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张花费的时间是

　　36÷（3＋1）＝9（分钟）.

答：

两人在9分钟后相遇.

（★★★★）小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.

　　解：

画一张示意图

　　离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了2千米

　　小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是

　　2÷（5-4）＝2（小时）.

　　因此，甲、乙两地的距离是

　　（5＋4）×2＝18（千米）.

本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少？

”岂不是有“追及”的特点吗？

对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.

（★★★★）如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到D是2.5千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.

　　问：

（1）小张和小王分别从A，D同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？

（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米？

　　解：

（1）小张从A到B需要1÷6×60＝10（分钟）；小王从D到C也是下坡，需要2.5÷6×60＝25（分钟）；当小王到达C点时，小张已在平路上走了25-10＝15（分钟），走了

　　因此在B与C之间平路上留下3-1＝2（千米）由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是

　　2÷（4＋4）×60＝15（分钟）.

　　从出发到相遇的时间是

　　25＋15＝40（分钟）.

（2）相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到A点需要走1÷2×60=30分钟，即他再走60分钟到达终点.

　　小张走15分钟平路到达D点，45分钟可走

　　小张离终点还有2.5-1.5=1（千米）.

答：

40分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有1千米.

说明：

本部分为专题测试，学生做完后教师进行评分。

1.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.

解：

第二次相遇两人总共走了3个全程，所以甲一个全程里走了4千米，三个全程里应该走4*3=12千米，

通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B地的3千米，所以全程是12-3=9千米，

所以两次相遇点相距9-（3+4）=2千米。

2.甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？

解：

那2分钟是甲和丙相遇，所以距离是（60+75）×2=270米，这距离是乙丙相遇时间里甲乙的路程差，所以乙丙相遇时间=270÷（67.5-60）=36分钟，所以路程=36×（60+75）=4860米。

3．A，B两地相距540千米。

甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。

设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。

那么两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？

解：

根据总结：

第一次相遇，甲乙总共走了2个全程，第二次相遇，甲乙总共走了4个全程，乙比甲快，相遇又在P点，所以可以根据总结和画图推出：

从第一次相遇到第二次相遇，乙从第一个P点到第二个P点，路程正好是第一次的路程。

所以假设一个全程为3份，第一次相遇甲走了2份乙走了4份。

第二次相遇，乙正好走了1份到B地，又返回走了1份。

这样根据总结：

2个全程里乙走了（540÷3）×4=180×4=720千米，乙总共走了720×3=2160千米。

4、小明每天早晨6：

50从家出发，7：

20到校，老师要求他明天提早6分钟到校。

如果小明明天早晨还是6：

50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。

问：

小明家到学校多远？

解：

原来花时间是30分钟，后来提前6分钟，就是路上要花时间为24分钟。

这时每分钟必须多走25米，所以总共多走了24×25=600米，而这和30分钟时间里，后6分钟走的路程是一样的，所以原来每分钟走600÷6=100米。

总路程就是=100×30=3000米。

5．小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？

　　解：

画示意图如下.

　　第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了

　　3.5×3＝10.5（千米）.

　　从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是

　　10.5-2＝8.5（千米）.

　　每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了

　　3.5×7＝24.5（千米），

　　24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.

　　就知道第四次相遇处，离乙村

　　8.5-7.5=1（千米）.

　　答：

第四次相遇地点离乙村1千米.

6小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：

小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？

　　解：

画一张示意图：

　　图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离，它等于

　　这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是

　　1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟）.

　　这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地需要

　　130÷2=65（分钟）.

　　从乙地到甲地需要的时间是

　　130＋65=195（分钟）＝3小时15分.

　　答：

小李从乙地到甲地需要3小时15分.

7快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：

两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？

　　解：

画一张示意图：

　　设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时，从C到A用了12.5-5=7.5（小时）.我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个单位，快车每小时走3个单位.

　　有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了.

　　慢车从C到A，再加停留半小时，共8小时.此时快车在何处呢？

去掉它在B停留1小时.快车行驶7小时，共行驶3×7=21（单位）.从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-1＝14（单位）.

　　现在慢车从A，快车从D，同时出发共同行走14单位，相遇所需时间是

　　14÷（2＋3）＝2.8（小时）.

　　慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了

　　7.5＋0.5＋2.8＝10.8（小时）.

　　答：

从第一相遇到再相遇共需10小时48分.

【说明】：

本部分为“专题小结”，由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。

先让学生说说本节课的收获，之后是教师寄语。

教师寄语可以是：

需要完成的作业、需要总结的知识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。

方法回顾和教师寄语的图标各选一个

教师：

本专题你有哪些收获和感悟？

说明：

本部分为“专题小结”，由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。

教师寄语可以是：

需要完成的作业、需要总结的知识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。