解析天津市河北省区届高三总复习质量检测二数学理试题.docx

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解析天津市河北省区届高三总复习质量检测二数学理试题

2019年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知集合，，则（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【分析】

利用求出集合，再根据交集定义求得结果.

【详解】由可知：

则

本题正确选项：

【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.

2.若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（）

A.1B.0C.－D.－1

【答案】D

【分析】

利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.

【详解】设z＝bi，b∈R且b≠0，则＝bi，得到1＋i＝－ab＋bi，

∴1＝－ab，且1＝b，解得a＝－1

故选：

D.

【点睛】本题考查复数的运算和纯虚数的概念.

3.命题p：

“∀x∈（-∞，0），3x≥4x”的否定￢p为（）

A.,B.,

C.D.

【答案】C

【分析】

根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可

【详解】命题是全称命题,则：

故选C

【点睛】本题考查含有量词的命题的否定,根据全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键

4.已知，则的大小关系为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【分析】

容易得出，再根据对数函数的性质将b化为与c同底的对数，即可比较出大小.

【详解】解：

，，，所以.

故选A.

【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题.

5.已知双曲线的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则双曲线的方程为

A.B.C.D.

【答案】A

【分析】

根据直角三角形几何性质得坐标原点到交点距离等于c，再根据交点在渐近线上，解得a,b，即得双曲线的方程.

【详解】由题意得因为交点在渐近线上，所以，双曲线的方程为，选A.

【点睛】1.已知双曲线方程求渐近线：

2.已知渐近线设双曲线标准方程

3，双曲线焦点到渐近线距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点.

【此处有视频，请去附件查看】

6.已知四面体的四个面都为直角三角形，且平面，，若该四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【分析】

由已知中的垂直关系可将四面体放入正方体中，求解正方体的外接球表面积即为所求的四面体外接球的表面积；利用正方体外接球半径为其体对角线的一半，求得半径，代入面积公式求得结果.

【详解】且为直角三角形

又平面，平面

平面

由此可将四面体放入边长为的正方体中，如下图所示：

正方体的外接球即为该四面体的外接球

正方体外接球半径为体对角线的一半，即

球的表面积：

本题正确选项：

【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的求解问题，关键是能够通过线面之间的位置关系，将所求四面体放入正方体中，通过求解正方体外接球来求得结果.

7.已知函数，，给出下列四个命题：

①函数的最小正周期为；

②函数的最大值为1；

③函数在上单调递增；

④将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解+析式为．

其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

利用三角恒等变换公式将整理为，根据的图象与性质、平移变换分别判断四个命题，从而得到结果.

【详解】

最小正周期，可知①错误；

，即的最大值为，可知②正确；

当时，，此时不单调，可知③错误；

向左平移个单位，即，可知④正确.

故正确命题个数为个

本题正确选项：

【点睛】本题考查的最小正周期、最值、单调性、平移变换的相关知识，关键是能够首先通过两角和差公式、诱导公式、辅助角公式将函数整理为的形式.

8.已知函数，若函数的最大值不超过1，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【详解】当时，，

绘制函数图象如图所示，观察可得函数的最大值为，满足题意，

据此排除B选项；

当时，，

绘制函数图象如图所示，观察可得函数的最大值为，满足题意，

据此排除CD选项；

本题选择Ａ选项.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

9.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为___

【答案】808

【分析】

由甲社区抽取人数和总人数计算可得抽样比，从而可根据抽取的人数计算得到驾驶员总人数.

【详解】由题意可得抽样比为：

本题正确结果：

【点睛】本题考查分层抽样中抽样比、总体数量的计算，属于基础题.

10.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为______．

【答案】4

【分析】

根据程序框图运行程序，直到时，输出结果即可.

【详解】按照程序框图运行程序，输入：

，，，符合，循环；

，，符合，循环；

，，符合，循环；

，，不符合，输出

本题正确结果：

【点睛】本题考查程序框图中根据循环框图计算输出结果，属于常规题型.

11.若实数，满足条件，则的最小值为__________．

【答案】6

【分析】

根据约束条件得到可行域，将所求最小值问题转化为在轴截距最小的问题，由平移可知过时截距最小，代入求得的最小值.

【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：

将整理为：

则当在轴截距最小时，取最小值

由平移可知，当过点时，截距最小

由得：

本题正确选项：

【点睛】本题考查线性规划求解型的最值问题，关键是能够将问题转化为直线在轴截距最值得求解问题，通过平移求得结果，属于常规题型.

12.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，若直线与圆交于，两点，则线段的长度为__________．

【答案】

分析】

将的参数方程化为普通方程；的极坐标方程化为直角坐标方程，确定圆心和半径；根据直线被圆截得的弦长等于求得结果.

【详解】由得的普通方程为：

由得的直角坐标方程为：

，即

圆的圆心为，半径

则圆心到直线的距离

本题正确结果：

【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长问题的求解，其中涉及到参数方程化普通方程、极坐标与直角坐标的互化问题，属于常规题型.

13.已知首项与公比相等的等比数列中，若，，满足，则的最小值为__________．

【答案】1

【分析】

将写成等比数列基本量和的形式，由可得；从而利用，根据基本不等式求得结果.

【详解】设等比数列公比为，则首项

由得：

则：

则（当且仅当，即时取等号）

本题正确结果：

【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够根据等比数列各项之间的关系，通过等比数列基本量得到满足的等式，从而配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.

14.如图，在平面四边形中，，．若，则的值为__________．

【答案】

【分析】

过D作，则，利用三角形的相似比表示出x，y即可得出结论．

【详解】如图，过D作BC的垂线，交BC延长线于M，

设∠BAC=α，则∠ACD=2α，，

∴，

∴，

∴（为相似比）．

又，

∴,

∴．

【点睛】本题考查对平面向量基本定理的理解和应用，解题时借助平面几何知识求解是解答本题的关键，合理构造相似三角形并由三角形的相似比得到的取值后可得所求．

三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）

15.已知的内角，，的对边分别为，，，满足．

（Ⅰ）求角的值；

（Ⅱ）若，，求的值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【分析】

（Ⅰ）根据正弦定理将边角关系式化为边之间的关系，从而可凑得的形式，得到，进而得到；（Ⅱ）由正弦定理求得，利用同角三角函数关系得到；再利用二倍角公式得到；通过两角和差正弦公式求得结果.

【详解】（Ⅰ）

由正弦定理得：

，化简得：

又

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，

由正弦定理得：

又

【点睛】本题考查正弦定理解三角形、同角三角函数关系、二倍角公式的应用、两角和差正弦公式的应用问题，属于常规题型.

16.某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分．

（Ⅰ）求的分布列及数学期望；

（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

试题分析：

（1）由题意知，的可能取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和；

（2）由表示“甲队得分等于乙队得分等于”，表示“甲队得分等于乙队得分等于”，可知、互斥．利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率．

试题详细分析：

（1）由题意知,的所有可能取值为.;

;

;

.

的分布列为

.

（2）用表示“甲得分乙得分”,用表示“甲得分乙得分”,且互斥,

又,,甲、乙两队得分总和为分且甲获胜的概率为.

考点：

（1）离散型随机变量的期望与方差；

（2）古典概型及其概率计算公式；（3）离散型随机变量及其分布列.

【方法点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，确定随机变量，及其概率．解离散型随机变量的分布列的试题时一定要万分小心，特别是列举随机变量取值的概率时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，尽量注意概率之和为，防止出现错误．

17.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，AA1⊥底面ABCD，∠BAD=120°，AB=2，E，F分别为CD，AA1的中点．

（Ⅰ）求证：

DF∥平面B1AE；

（Ⅱ）若直线AD1与平面B1AE所成角的正弦值为，求AA1的长；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角B1-AE-D1的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解+析（Ⅱ）2

【分析】

（I）取AB1的中点G,连接FG,GE,证明四边形GEDF是平行四边形,可得DFEG,故而DF平面B1AE；

（II）建立空间坐标系,求出平面B1AE的法向量,设AA1=t（t＞0）,令sinα=|cos＜，＞|===,求出t；

（III）求出两半平面的法向量,计算法向量的夹角得出二面角的大小

【详解】（Ⅰ）证明：

取AB1的中点G,连接FG,GE,

∵,FGA1B1,,DEA1B1,

∴FG=DE,FGDE,

∴GEDF是平行四边形,

∴DFEG,

又DF⊄平面B1AE,EG⊂平面B1AE,

∴DF平面B1AE

解：

（Ⅱ）在菱形ABCD中,

∵∠BAD=120°,

∴∠ADC=60°

∴△ACD是等边三角形,

∴AE⊥CD,

∴AE⊥AB,

又AA1⊥平面ABCD,

∴AA1⊥AB，AA1⊥AE,

以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

设AA1=t（t＞0）,

则,

∴,,

设平面B1AE的法向量=（x,y,z）,则,即,

不妨取z=-2,得=（t,0,-2）,

设直线AD1与平面B1AE所成的角为α，

则sinα=|cos＜，＞|===．

解得t=2，即AA1的长为2．

（Ⅲ）设平面D1AE的法向量=（x,y,z）,

∵,

∴