7参数方程教师版 全国卷123解答题分类汇编.docx

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7参数方程教师版全国卷123解答题分类汇编

参数方程全国卷真题汇编

1、【2018数学全国1】22.[选修4-4：

坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的方程为以以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

（1）求的直角坐标方程；

（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.

【答案】

（1）

（2）

【解析】

（1）,，化简得：

（2）时，的方程为；时，的方程为

与有且仅有三个公共点，易得时，的方程为与圆相切。

则圆心到直线的距离等于半径，解得（舍去）或，故的方程为：

【点评】本题第一问考查极坐标方程与直角坐标方程，属于基础题；第二问考查考察直线与圆的数形结合问题，难度适中。

2、【2017数学全国1】[选修4―4：

坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为

.（为参数）

（1）若，求与的交点坐标；

（2）若上的点到的距离的最大值为，求.

22.[选修4-4：

坐标系与参数方程]（10分）

解：

（1）曲线的普通方程为.

当时，直线的普通方程为.

由解得或.

从而与的交点坐标为，.

（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为

.

当时，的最大值为.由题设得，所以；

当时，的最大值为.由题设得，所以.

综上，或.

3、【2016数学全国1】（本小题满分10分）选修44：

坐标系与参数方程

在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（为参数）。

以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.

（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求的最小值及此时P的直角坐标.

【答案】见解析

【解析】

（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.……5分

（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，

即为到的距离的最小值，.

………………8分

当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.

………………10分

4、【2015数学全国1】在直角坐标系xOy中,直线C1：

圆C2：

以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求C1,C2的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为,设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积．

解：

（1）根据极坐标与直角坐标系转化公式，可得的极坐标方程为；的极坐标方程为；

（2）将代入到，可解出，，因此，因为的半径为1，因此的面积为．

5、【2014数学全国1】（10分）已知曲线，直线：

（为参数）.

（）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；

（）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．

【解析】（）曲线C的参数方程为（为参数）．直线的普通方程为．

（）曲线C上任意一点到的距离为．则

．其中为锐角，且．

当时，取到最大值，最大值为．

当时，取到最小值，最小值为．

6、【2013数学全国1】（10分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）把的参数方程化为极坐标方程；

（2）求与交点的极坐标（）.

【解析】

（1）先利用参数方程得到C1的一般方程，进而得到极坐标方程；

（2）联立求出交点坐标，进而求出极坐标.

（1）因为，消去参数，得，即，

故极坐标方程为；

（2）的普通方程为，联立、的方程，解得或，所以交点的极坐标为.

方法二：

可以极坐标方程联立，解出

7、【2018数学全国2】22．[选修4－4：

坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．

（1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

解：

（1）曲线的直角坐标方程为．

当时，的直角坐标方程为，

当时，的直角坐标方程为．

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

．①

因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．

又由①得，故，于是直线的斜率．

8、【2017数学全国2】[选修:

坐标系与参数方程]（10）

在直角坐标系中，以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足,求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值

【解析】

（1）设点

点在线段上，直线与直线斜率相同

依题意得：

可得：

............

又可得..............

整理可得直角坐标方程为:

即（）

方法二：

极坐标思想：

设，则，可得直角坐标方程为:

（2）点极坐标为，点直角坐标为

由

（1）可知：

曲线的参数方程：

（为参数方程）

直线点到直线的距离

的最大值为

9、【2016数学全国2】（本小题满分10分）选修4—4：

坐标系与参数方程

在直线坐标系中,圆的方程为.

（I）以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程；

（II）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，,求的斜率.

（I）由可得的极坐标方程

（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为

由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得

于是

由得，

所以的斜率为或.

10、【2015数学全国2】在直角坐标系中，曲线（t为参数,且），其中,在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线

（Ⅰ）求与交点的直角坐标；

（Ⅱ）若与相交于点A,与相交于点,求最大值.

【解析】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程是

联立解得所以交点的直角坐标为，．

（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，因此点的极坐标为，点的极坐标为，

所以

当取得最大值，最大值为

11、【2014数学全国2】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为．

（1）求得参数方程；

（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据

（1）中你得到的参数方程，确定的坐标．

【解析】

（1）的普通方程为．可得的参数方程为（为参数，）．

（2）设．由

（1）知，是以为圆心，1为半径的上半圆．因为在点处的切线与垂直，所以直线与的斜率相同．．故D的直角坐标为，即．

12、【2013数学全国2】已知动点，都在曲线C：

（β为参数）上，对应参数分别为

与（），为的中点．

（Ⅰ）求的轨迹的参数方程

（Ⅱ）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．

【解析】（Ⅰ）由题意有,,,

因此,

的轨迹的参数方程为,（为参数,）.

（Ⅱ）点到坐标原点的距离为

，

当时，，故的轨迹过坐标原点.

13、【2018数学全国3】22．[选修4—4：

坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．

（1）求的取值范围；

（2）求中点的轨迹的参数方程．

解：

（1）的直角坐标方程为．

当时，与交于两点．

当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．

综上，的取值范围是．

（2）的参数方程为为参数，．

设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．

于是，．又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程是为参数，．

14、【2017数学全国3】[选修44：

坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：

ρ（cosθ+sinθ）-=0，M为l3与C的交点，求M的极径．

【解析】

（1）由直线l1的参数方程（t为参数）消去参数t可得直线l1的直角坐标方程，

由直线l2的参数方程消去参数m可得直线l2的直角坐标方程．

由l1与l2的交点为P，联立消k可得点P的轨迹方程为：

.

（2）由C的普通方程可得其极坐标方程为，化简可得.

由l3：

ρ（cosθ+sinθ）-=0变形可得l3：

ρ（cosθ+sinθ）=，即.

联立并消可得，故M的极径为.

【点评】本题考查了直线参数方程直角坐标系方程的转化、交点轨迹方程的求解及直线与双曲线交点的求解，总体难度不大，求动点轨迹过程中要注意特殊位置的检验，在利用极坐标求解交点极径过程中要充分利用二倍角公式及同角三角函数基本关系，要注意对基本公式的理解与考查。

15、【2016数学全国3】（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．

（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

【解析】解：

（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），

移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，

即有椭圆C1：

+y2=1；

曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，

即有ρ（sinθ+cosθ）=2，

由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，

即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；

（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，

|PQ|取得最值．

设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，

联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，

由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，

解得t=±2，

显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，

即有|PQ|==，

此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，

即为P（，）．