最新北师大版七年级数学下第二章相交线与平行线教案.docx
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最新北师大版七年级数学下第二章相交线与平行线教案
2．1 两条直线的位置关系
第1课时 对顶角、补角和余角
1．理解并掌握对顶角的概念及性质，会用对顶角的性质解决一些实际问题；
2．理解并掌握补角和余角的概念及性质，会运用其解决一些实际问题．（重点，难点）
一、情境导入
如图，若把剪刀看成是两条相交的直线构成的，那么形成的角中小于平角的角有几个，你能发现它们之间的联系吗？
二、合作探究
探究点一：
对顶角及其性质
【类型一】对顶角的概念
下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
变式训练：
本课时练习第2题
【类型二】直接运用对顶角的性质求角度
如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数．
方法总结：
两条相交直线构成对顶角，这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论．在图形中正确找到对顶角，利用角的和差及对顶角的性质找到角的等量关系，然后结合已知条件进行转化．
变式训练：
本课时练习第3题
探究点二：
补角和余角
【类型一】利用补角和余角计算求值
已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数．
方法总结：
此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程来解决．
变式训练：
本课时练习第6题
【类型二】补角、余角和角平分线的综合计算
如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝90°，OM、ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．
方法总结：
本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合．
变式训练：
本课时练习第7题
【类型三】补角和余角的性质
如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）如图①，若CE是∠ACD的角平分线，那么CD是∠ECB的角平分线吗？
并简述理由；
（2）如图②，若∠ECD＝α，CD在∠BCE的内部，请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等？
并简述理由；
（3）在
（2）的条件下，请问∠ECD与∠ACB的和是多少？
并简述理由．
方法总结：
此题主要查考了角的计算，关键是根据图形分清角之间的和差关系．
变式训练：
本课时练习第10题
三、板书设计
1．对顶角相等；
2．同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等．
本节课学习了对顶角及其性质．教学中可让学生自己画这些角，结合图形说出对顶角的特征．对顶角的识别是易错点，可以结合例题进行练习，让学生在学习中不断纠错，不断进步
2．1 两条直线的位置关系
第2课时 垂 线
1．理解并掌握垂线的概念及性质，了解点到直线的距离；
2．能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题．（重点，难点）
一、情境导入
如图是教室的一幅图片，黑板相邻两边的夹角等于多少度？
这样的两条边所在的直线有什么位置关系？
二、合作探究
探究点一：
垂 线
【类型一】运用垂线的概念求角度
如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
方法总结：
（1）由两条直线互相垂直可以得出这两条直线相交所成的四个角中，每一个角都等于90°；
（2）在相交线中求角度，一般要利用垂直、对顶角相等、余角、补角等知识．
变式训练：
本课时练习第2题
【类型二】运用垂线的概念判定两直线垂直
如图所示，已知OA⊥OC于点O，∠AOB＝∠COD.试判断OB和OD的位置关系，并说明理由．
方法总结：
由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角，反过来，由两条直线相交构成的角为直角，可得这两条直线互相垂直．判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这两条直线的夹角等于90°.
变式训练：
本课时练习第3题
探究点二：
垂线的性质（垂线段最短）
如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？
画出线路图，并说明理由．
方法总结：
与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是“垂线段最短”．
变式训练：
本课时练习第7题
探究点三：
点到直线的距离
如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5.
（1）试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离；
（2）点C到直线AB的距离是多少？
方法总结：
点到直线的距离是过这一点作已知直线的垂线，垂线段的长度才是这一点到直线的距离．
变式训练：
本课时练习第8题
三、板书设计
1．垂线的概念：
两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
2．垂线的作法
3．垂线的性质：
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
本节课学习了垂线的概念和垂线的性质，垂直是相交的一种特殊情况，要说明两条相交线的位置关系，一般都是垂直．垂线的两条性质中，不要遗漏条件“在同一平面内”，以保证定理的精确性．对于垂线的概念和性质，要让学生理解记忆
2．2 探索直线平行的条件
第1课时 利用同位角判定两条直线平行
1．理解并掌握同位角的概念，能够判定同位角并确定其个数；
2．能够运用同位角相等判定两直线平行；（重点，难点）
3．理解并掌握平行公理及其推论，能够运用其解决实际问题．
一、情境导入
数学来源于生活，生活中处处有数学，观察下面的图片，你发现了什么？
以上的图片中都有直线平行，这将是我们这节课学习的内容．
二、合作探究
探究点一：
同位角
【类型一】判断同位角
下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）
方法总结：
判断两个角是否是同位角的有效方法——描图法：
①把两个角在图中“描画”出来；②找到两个角的公共直线；③观察所描的角，判断所属“字母”类型是否为“F”型．
变式训练：
本课时练习第1题
【类型二】数同位角的个数
如图，直线l1，l2被l3所截，则同位角共有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
方法总结：
数同位角的个数时，应从各个方向逐一观察，避免重复或漏数．
变式训练：
本课时练习第2题
探究点二：
利用同位角判定两直线平行
如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：
AB∥CD.
方法总结：
本题考查的是平行线的判定，熟知“同位角相等，两直线平行”是解答此题的关键．
变式训练：
本课时练习第5题
探究点三：
平行公理及其推论
【类型一】应用平行公理及其推论进行判断
有下列四种说法：
（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（2）同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直；（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（4）平行于同一条直线的两条直线平行．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
方法总结：
平行线公理和垂线的性质两者比较相近，特别注意，对于平行公理中，必须是过直线外一点可以作已知直线的平行线，过直线上一点不能做已知直线的平行线．但垂线的性质中，无论点在平面内何处都能作出已知直线的唯一垂线．
变式训练：
本课时练习第7题
【类型二】应用平行公理进行推论论证
四条直线a，b，c，d互不重合，如果a∥b，b∥c，c∥d，那么直线a，d的位置关系为________．
方法总结：
平行公理的推论是证明两条直线相互平行的理论依据．
变式训练：
本课时练习第9题
【类型三】平行公理推论的实际应用
将一张长方形的硬纸片ABCD对折后打开，折痕为EF，把长方形ABEF平摊在桌面上，另一面CDFE无论怎样改变位置，总有CD∥AB存在，为什么？
方法总结：
利用平行公理的推论进行证明时，关键是找到与要证两条直线都平行的第三条直线进行说明．
三、板书设计
1．同位角的概念
2．运用同位角判定两条直线平行：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
3．平行公理及其推论：
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．
解决几何题时，重在分析，应结合图形熟识题目给出的已知条件．本节课的易错点是学生对同位角的识别，对同位角个数的计算，应多加强练习，在不断纠错中提高
2．2探索直线平行的条件
第2课时 利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
1．理解并掌握内错角和同旁内角的概念，能够识别内错角和同旁内角；
2．能够运用内错角、同旁内角判定两条直线平行．（重点，难点）
一、情境导入
观察下列图形：
猜想其中任意两条直线的位置关系，想想如何证明你的猜想．
二、合作探究
探究点一：
内错角与同旁内角
【类型一】判断内错角、同旁内角
如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠A与∠B是同旁内角
B．∠3与∠1是同旁内角
C．∠2与∠3是内错角
D．∠1与∠2是同位角
方法总结：
在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”型，内错角的边构成“Z”型，同旁内角的边构成“U”型．
变式训练：
本课时练习第3题
【类型二】一个角的内错角、同旁内角不唯一的图形问题
如图所示，直线DE与∠O的两边相交，则∠O的内错角是________，∠8的同旁内角是________．
易错点拨：
找某角的内错角、同旁内角时，应从各个方位观察，避免漏数．
探究点二：
利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
【类型一】内错角相等，两直线平行
如图所示，若∠ACE＝∠BDF，那么CE∥DF吗？
变式训练：
本课时练习第7题
【类型二】同旁内角互补，两直线平行
如图，已知点E在AB上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，且∠DEC＝90°，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
方法总结：
本题考查的是平行线的判定，熟知“同旁内角互补，两直线平行”是解答此题的关键．
变式训练：
本课时练习第6题
【类型三】灵活运用判定方法判定平行
如图，有以下四个条件：
①∠B＋∠BCD＝180°，②∠1＝∠2，③∠3＝∠4，④∠B＝5.其中能判定AB∥CD的条件有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
变式训练：
本课时练习第5题
【类型四】平行线的判定的应用
一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为（ ）
A．第一次右拐60°，第二次右拐120°
B．第一次右拐60°，第二次右拐60°
C．第一次右拐60°，第二次左拐120°
D．第一次右拐60°，第二次左拐60°
方法总结：
利用数学知识解决实际问题，关键是将实际问题正确地转化为数学问题，即画出示意图或列式表示等，然后再解决数学问题，最后回归实际．
变式训练：
本课时练习第9题
三、板书设计
1．内错角和同旁内角的概念
2．利用内错角、同旁内角判定两直线平行：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
平行线的判定是平行线内容的进一步拓展，是进一步学习平行线的有力工具，为学习平行线的性质、三角形、四边形等知识打下坚实的基础，在整个初中几何中占有非常重要的作用，是本章的重难点之一，更在整个初中教学的数学学习中占有举足轻重的作用．学生已经学了平行线的定义、平行公理，具备了探究直线平行的条件的基础，但学生在文字语言、符号语言和图形语言之间的转换能力比较薄弱，在逻辑思维和合作交流的意识方面发展不够均衡
2．3 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
1．理解平行线的性质；（重点）
2．能运用平行线的性质进行推理证明．（重点、难点）
一、情境导入
窗户的内窗的两条竖直的边是平行的，在推动过程中，两条竖直的边与窗户外框形成的两个角∠1、∠2有什么数量关系？
二、合作探究
探究点：
平行线的性质
【类型一】两直线平行，同位角相等
如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1＝∠2，∠3＝70°，则∠4的度数是（ ）
A．35°B．70°C．90°D．110°
方法总结：
此题主要考查了平行线的判定方法与性质1，关键是掌握平行线的判定定理与性质定理，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
变式训练：
本课时练习第1题
【类型二】两直线平行，内错角相等
如图，∠A＝∠D，如果∠B＝20°，那么∠C为（ ）
A．40°B．20°C．60°D．70°
变式训练：
本课时练习第4题
【类型三】两直线平行，同旁内角互补
如图，已知∠1＝85°，∠2＝95°，∠4＝125°，则∠3的度数为（ ）
A．95°B．85°C．70°D．55°
变式训练：
本课时练习第6题
【类型四】平行线性质的实际应用
一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝________度．
【类型五】平行线性质与判定中的探究型问题
如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD之间的两点，且∠BAF＝2∠EAF，∠CDF＝2∠EDF.
（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并说明理由；
（2）求出∠AFD与∠AED之间的数量关系．
方法总结：
无论平行线中的何种问题，都可转化到基本模型中去解决，把复杂的问题分解到简单模型中，问题便迎刃而解．
变式训练：
本课时练习第10题
三、板书设计
平行线的性质：
性质1：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
性质2：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
性质3：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
平行线的性质是几何证明的基础，教学中注意基本的推理格式的书写，培养学生的逻辑思维能力，鼓励学生勇于尝试．在课堂上，力求体现学生的主体地位，把课堂交给学生，让学生在动口、动手、动脑中学数学
2.3平行线的性质
第2课时平行线性质的应用
熟练应用平行线的性质和判别直线平行的条件解决问题。
教学重点：
平行线的三个性质
教学难点：
怎样区分性质和判定，及应用．
第一环节：
复习回顾，夯实基础
活动内容：
通过以下问题带领学生复习平行线的性质和判别直线平行的条件。
问题1:
平行线的性质有哪几条？
问题2：
判别直线平行的条件有哪几个？
你现在一共有几个判定直线平行的方法？
问题3：
在应用二者时应注意什么问题？
第二环节：
层层递进，推理论证
活动内容：
问题1：
（1）若∠1=∠2，可以判定哪两条直线平行？
根据是什么？
（2）若∠2=∠M，可以判定哪两条直线平行？
根据是什么？
（3）若∠2+∠3=180°，可以判定哪两条直线平行？
根据是什么？
问题2：
如图2.3—3，AB∥CD，如果∠1=∠2，那么EF与AB平行吗？
说说你的理由．
第三环节：
独立探究，步骤规范
活动内容：
问题1：
如图2.3—4，已知直线a∥b，直线
c∥d，∠1=107°，求∠2，∠3的度数.
问题2：
如图2.3—5，AE∥CD，若∠1=37°，∠D=54°，求∠2和∠BAE的度数.
第四环节：
及时巩固，深化提高
活动内容：
问题1：
如图2.3—6,选择合适的内容填空。
（1）因为AB//CD
所以∠1=∠2（）
（2）因为∠3＝∠1
所以//__（同位角相等，两直线平行）
（3）因为∠1＋∠＝180︒
所以AB//CD（）
问题2：
如图2.3—7，∠1=∠3，那么，∠1和∠2的大小有何关系？
∠1和∠4的大小有何关系？
为什么？
由此你得到什么结论？
问题3：
如图2.3—8，平行直线AB,CD被直线EF所截，分别交直线AB,CD于点G,M。
GH和MN分别是∠EGB和∠EMD的角平分线。
问：
GH和MN平行吗？
第五环节：
归纳小结，反思提高
活动内容：
本节课是对我们上节课所学知识的应用和提高。
那么
1、本节课主要应用了哪些知识？
2、在应用它们时，你认为应该注意哪些问题？
3、在写几何推理的过程中，因为和所以分别表达的意义是什么？
根据是什么？
布置作业：
课本习题2.6.
板书设计：
2.3平行线的性质（第2课时）
教学反思：
1．本节课在第一课时的基础上，依据学生的认知基础，恰当确立教学起点。
从课的一开始，教师就从学生的认知基础上进行建构，充分体现了以学生为主体，以培养学生思维能力为重点的教学思想。
在练习的设置过程中，从易到难，由简单的平行线性质的应用到两步或三步的推理，层层递进，学生容易接受。
而且，还设计了知识的拓展提高环节，加深了学生对推理论证的理解。
2．本节课的重点是能熟练运用平行线的性质和判定直线平行的条件解决实际问题，并培养学生的推理能力和有条理的表达能力，为后面学习证明打下基础。
因此要启发学生用推理的方法，进一步发展空间观念。
但是因为学生初次接触正规的推理，有的还不能理解它的意义，哪个放前提哪个放结论还不能充分的理解，导致出现错误。
应加强这方面的训练。
同时，学生对基本图形的认识能力仍有待提高。
2．4 用尺规作角
1．理解并掌握尺规作图的相关概念及作法；（重点）
2．能够运用尺规作角，并运用其解决问题．（难点）
一、情境导入
怎样用尺规作一个角等于已知角？
二、合作探究
探究点：
用尺规作角
【类型一】尺规作图的判断
下列作图属于尺规作图的是（ ）
A．画线段MN＝3cm
B．用量角器画出∠AOB的平分线
C．用三角尺作过点A垂直于直线l的直线
D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α
方法总结：
尺规作图的判断方法：
看作图时所使用的作图工具是否为没有刻度的直尺和圆规，如果作图工具是没有刻度的直尺和圆规，那么就属于尺规作图，否则就不是尺规作图．
变式训练：
本课时练习第1题
【类型二】用尺规作一个角等于已知角
如图，已知∠AOB和射线O′B′，用尺规作图法作∠A′O′B′＝∠AOB（要求保留作图痕迹）．
变式训练：
本课时练习第1题
【类型三】利用尺规作角的和或差
已知∠AOB，用尺规作图法作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB.
变式训练：
本课时练习第2题
三、板书设计
1．尺规作图
2．用尺规作角
本节课学习了有关尺规作图的相关知识，课堂教学内容以学生动手操作为主，在学生动手操作的过程中要鼓励学生大胆动手，培养学生的动手能力和书面语言表达能力
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