双曲线d焦点在y轴上的双曲线.docx
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双曲线d焦点在y轴上的双曲线
浙江省余姚中学高二数学试卷（命题人：
王达先）
一、选择题：
（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．过点（0，1），且与直线2x＋y－3＝0垂直的直线方程是（）
（A）2x－y－1＝0（B）x－2y＋2＝0
（C）2x－y＋1＝0（D）x－2y－2＝0
2．椭圆的右焦点到左准线的距离是（）
（A）（B）（C）（D）2
3．如果双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于实半轴长，则其离心率是（）
（A）2（B）（C）（D）
4．方程（ab＜0）的曲线是（）
（A）焦点在x轴上的椭圆（B）焦点在y轴上的椭圆
（C）焦点在x轴上的双曲线（D）焦点在y轴上的双曲线
5．参数方程（为参数）表示曲线是（）
6．过双曲线的右焦点，作直线l交双曲线于A，B两点，若│AB│＝4，则这样的直线l存在（）
（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条
7．异面直线a，b均在平面α外，则a，b在平面α内的射影一定不是（）
A．两条平行直线B．两条相交直线
C．两个点D．一个点和一条直线
8．对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：
①与a是异面直线②与a所成的角为30°③与a的距离为定值。
那么这样的直线b有（）
A．1条B．2条
C．3条D．无数条
9．已知AB是异面直线a、b的公垂线段，AB=2，且a与b成角为30°，在直线a上取AP=4，则点P到直线b的距离为（）
A．B．4
C．D．或
10．圆上到直线x+y+1=0的距离等于的点共有（）
A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
11.下列说法中，正确的是 （）
（A）平行四边形是一个平面 （B）直线AB不能全在平面内
（C）平面α和平面只有一个公共点 （D）圆可以确定一个平面
12.若a与b是异面直线，且a//平面α,那么b与平面α的位置关系是 （）
（A）b//平面α （B）b与平面α相交 （C）b在平面α内（D）不能确定
二、填空题：
（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上．）
13．抛物线y＝x2的焦点坐标是_______．
14．若异面直线a、b所成的角为60°，P是空间一点，则过点P且与a、b所成的角都是40°的直线的条数是___________________
15.设F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，A（1，1）是一定点，则的最大值是____________________。
16．对于椭圆和双曲线有下列命题：
⑴椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点；
⑵双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点；
⑶双曲线与椭圆共焦点；
⑷椭圆与双曲线有两个顶点相同．
其中正确命题的序号_______（把你认为正确的序号都填上）
三、解答题：
（本大题共5小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）
17.（本小题满分6分）
求证：
如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内。
（用数学符号语言写出已知、求证，作出证题说明示意图，给出证明）
18．（本小题满分7分）
如下图3，在空间四边形中，，，于，于．求证：
平面．
19．（本小题满分7分）
过椭圆内一点M（2，－1）引弦AB，若AB恰好被点M平分，求AB所在的直线的方程．
20．（本小题满分7分）
已知圆A的圆心为（，0），半径为1，双曲线C的两条渐近线都过原点，且与圆A相切，双曲线C的一个顶点A'与点A关于直线y＝x对称．
⑴求双曲线C的方程；
⑵设直线l过点A，斜率为k，当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时点B的坐标．
21．（本小题满分9分）
小明家中有两种酒杯，一种酒杯的轴截面是等腰直角三角形，称之为直角酒杯（如图1），另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线，杯口宽4cm，杯深为8cm（如图2），称之为抛物线酒杯．
⑴请选择适当的坐标系，求出抛物线酒杯的方程．
⑵一次，小明在游戏中注意到一个现象，若将一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中，则任何玻璃球不能触及酒杯杯底．但若将这些玻璃球放入抛物线酒杯中，则有些小玻璃球能触及酒杯杯底．小明想用所学过的数学知识研究一下，当玻璃球的半径r为多大值时，玻璃球一定会触及酒杯杯底部．你能帮助小明解决这个问题吗？
⑶在抛物线酒杯中，放入一根粗细均匀，长度为2cm的细棒，假设细棒的端点与酒杯壁之间的摩擦可以忽略不计，那么当细棒最后达到平衡状态时，细棒在酒杯中位置如何？
图1图2
浙江省余姚中学高二数学答案
学校班级考号姓名_________________试场号______________
装订线内不要答题
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一、选择题（每小题4分，共48分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
B
D
D
C
C
D
A
C
D
D
二、填空题（每空4分，共16分）
13.（0,1/2）14.2
15.6+16.⑴，⑵
三．解答题
17.（本小题满分6分）
见课本P17
18．（本小题满分7分）
证明：
取的中点，连结
∵，
∴，
故平面
又平面，则
又，
∴平面
又平面，则
又，
∴平面．
19．（本小题满分7分）
解：
设A（x1，y1），B（x2，y2），依题意设，有x1+x2＝4，
y1＋y2＝－2．…………………………………………2分
，两式相减得．……………2分
所以直线AB的斜率．……………2分
因此直线AB的方程为y＋1＝（x－2），即x－2y－4＝0．…1分
20．（本小题7分）（第一问3分，第二问4分）
解：
⑴设双曲线的渐近线为y＝kx，则
，解得k＝±1．
即渐近线为y＝±x．
又点A关于y＝x的对称点A'的坐标为（0，），
所以，a＝b＝，双曲线的方程为．
⑵直线l：
y＝k（x－），（0＜k＜1）．
依题意设B点在与l平行的直线l'上，且l与l'间的距离为，
设直线l'：
y＝kx＋m，则
，即m2＋km＝2①
把l'代入双曲线方程得：
（k2－1）x2＋2mkx＋m2－2＝0
∵0＜k＜1，∴k2－1≠0．
∴△＝4（m2＋2k2－2）＝0，即m2＋2k2＝2②
解①②，得，．
此时，x＝，，所以B（，）．
21．（本小题满分9分）（第一问3分，第二问3分，第三问3分）
解：
⑴如图1，以杯底中心为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝2py（p＞0）．
将x＝2，y＝8代入抛物线方程，得，
∴抛物线方程为．
⑵设圆心在y轴正半轴上，且过原点的圆的方程为x2＋（y－r）2＝r2，将之代入抛物线方程，
消去x，得y2＋（－2r）y＝0．
∴＝0，＝2r－．
若要使玻璃球在杯中能触及杯底，则要＝2r－≤0．
即当0＜r≤时，玻璃球一定会触及杯底．
⑶如图1，由于细棒的粗细均匀，所以细棒的平衡状态就是细棒的中点M（即细棒的重心）处于最低位置状态．因此问题就转化为长度为2cm的线段AB的两个端点在抛物线x2＝y上移动，当线段AB的中点M到x轴的距离最短时，求点M的坐标．最后求得M的坐标为．
余姚中学高二期中试卷
第一学期
一、选择题（每题3分，共36分）
1、如果直线与直线平行，那么系数为
A）B）–6C）-3D）
2、不等式表示的平面区域在直线的
A）右上方B）右下方C）左上方D）左下方
3、圆截直线所得的弦长等于
A）B）C）D）
4、下面命题正确的是
A）空间三个点可确定一个平面
B）空间的一条直线和一个点可确定一个平面
C）四边形一定是平面图形
D）梯形与三角形一定是平面图形
5、已知是异面直线，直线∥，那么的位置关系是
A）一定是平行直线B）一定是相交直线
C）不可能是平行直线D）不可能是相交直线
6、直线、和平面，∥，，则与的位置关系必定是
A）∥B）与异面C）与相交D）与无公共点
7、曲线与曲线具有相同的
A）长、短轴B）焦距C）离心率D）准线
8、过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，那么等于
A）4B）10C）6D）8
9、已知椭圆上一点P到它的右准线的距离是10，则P点到它的左焦点的距离是
A）14B）12C）10D）8
10、圆与抛物线公共点的个数
A）0B）1C）2D）3
11、圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程可为
A）
B）
C）
D）
12、我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”。
设为优美椭圆，F、A、B分别是它的左焦点、右顶点和短轴的一个端点，则等于
A）B）C）D）
二、填空题（每题3分，共12分）
13、抛物线的准线方程是
14、若在椭圆上，则的最大值为
15、椭圆和斜率为2的直线相交，则截得弦AB的中点轨迹方程为
16、
如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是.
三、解答题（共52分）
17、求和直线垂直且与圆相切的直线方程。
18、以坐标轴为对称轴的双曲线焦距是8，一条渐进线的方程是，求双曲线的方程。
19、已知：
、是的两个顶点，AB、AC边上的中线长之和为30，
（1）求此三角形的重心G的轨迹方程。
（2）求此三角形的顶点A的轨迹方程。
20、已知空间四边形的对角线，，M、N分别是中点，，求异面直线所成的角。
21、已知直线与抛物线相交与点，且满足，求实数的值。
22、已知椭圆的两个焦点为，，离心率
（1）求椭圆的方程
（2）是否存在直线，使与此椭圆交于不同的两点，且线段MN恰好被直线平分？
若存在，求出直线的倾斜角的范围；若不存在，说明理由。
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