小学比例初步.docx
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小学比例初步
比例
1．比例：
是数量之间的对比关系，或指一种事物在整体中所占的分量。
在工作中还是技术制图中的一般规定术语，是指图中图形与其实物相应要素的线性尺寸之比。
在数学中，比例是各个部分的数量占总体数量的比重，用于反映总体的构成或者结构。
是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。
2．要点
A．表示两个比相等的式子叫做比例，如3：
4=9：
12；7：
9=21：
27
比例有四个项，分别是两个内项和两个外项。
在3：
4=9：
12中，3与12叫做比例的外项，4与9叫做比例的内项。
在7：
9=21：
27中，7与27叫做比例的外项，9与21叫做比例的内项。
B．比例写成分数的形式后，那么，左边的分母和右边的分子是内项，左边的分子和右边的分母是外项。
在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。
C．正比例与反比例的区别：
正比例：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中，相对应的两个数的比值一定，两种量就叫做正比例的量，他们的关系叫做正比例的关系。
如果用字母x、y表示两种关联的量，用k表示它们的比值正比例关系可以用下面是子表示：
y/x=k（一定）。
反比例：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中，相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做反比例的量他们的关系叫做反比例关系。
如果用字母x、y表示两种关联的量，用k表示它们的乘积反比例关系可以用下面是子表示：
xy=k（一定）。
D．比和比例。
比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重，用于反映总体的构成或者结构。
比例分为比例尺和比例.表示两个比相等的式子叫做比例。
判断两个比能不能组成比例，要看它们的比值是不是相等。
组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这是比例的基本性质。
求比例的未知项，叫做解比例。
3．解比例
比例分为比例尺和比例.表示两个比相等的式子叫做比例。
判断两个比能不能组成比例，要看它们的比值是不是相等。
组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
求比例的未知项，叫做解比例。
解比例都是运用比例的基本性质来解的，因为两外项的积等于两内项的积，所以我们可以把两个外项和内项互相乘起来，在来解这个方程。
比如：
x：
3=9：
27
解法：
x：
3=9：
27
27x=3×9
27x=27
x=1
4．比例具有如下性质：
若a:
b=c:
d（b.d≠0），则有
1）ad=bc
2）b:
a=d:
c（a.c≠0）
3）a:
c=b:
d;c:
a=d:
b
4）（a+b）:
b=（c+d）:
d
5）a:
（a+b）=c:
（c+d）（a+b≠0,c+d≠0）
6）（a-b）:
（a+b）=（c-d）:
（c+d）（a+b≠0,c+d≠0）
证明过程如下：
令a:
b=c:
d=k，∴a=bk；c=dk
1）∴ad=bk×d=kbd；cb=dk×b=kbd
∴ad=bc
2）因：
a=bk，等号2边同除以ak,得出：
1/k=b/a
同理：
1/k=d/c,所以：
b:
a=d:
c（a.c≠0）。
3）因：
a=bk；c=dk，得：
a:
c=bk:
dk=b:
d;结合性质2有c:
a=d:
b
4）∵a:
b=c:
d
∴（a/b）+1=（c/d）+1（等号2边同加一个相等的数值不变）。
∴（a+b）/b=（c+d）/d=1+k；即（a+b）:
b=（c+d）:
d
a+b≠0,c+d≠0时，结合性质2有b:
（a+b）=d:
（c+d）
且b/（a+b）=d/（c+d）=1/（k+1）
5）∵b/（a+b）=d/（c+d）
∴1-b/（a+b）=1-d/（c+d）=1-1/（k+1）
∴a/（a+b）=c/（c+d）=k/k+1，即a:
（a+b）=c:
（c+d）
a+b≠0,c+d≠0时，结合性质2有（a+b）:
a=（c+d）:
c
6）结合4和5可得：
等式两边同时相减得（a-b）/（a+b）=（c-d）/（c+d）=（k-1）/（k+1）
5．例题：
一个长方形，比例为2：
3，长方形的面积是36平方厘米，求它的长和宽。
解：
设一份为X，则宽为2X，长为3X。
则由题意得，
2X·3X=36
6X2=36
X=±√6
∵长度不能为负数
∴X=√6
则宽为2√6，长为3√6。
答：
长方形的宽为2√6，长为3√6。
也可设：
宽：
长=2/3，得出宽=2/3×长
（2/3×长）×长=36
长×长=36÷（2/3）
=54再开方就可。
6．统计术语
比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重，通常反映总体的构成和结构。
假定总体中数量N，被分成K个部分，每一部分的数量分别是“N1,N2,...,Nk”，根据定义各个部分的和等于1，即
N1/N+N2/N+...+Nk/N=1
比例是将总体中各个部分的数值都变成同一个基数，也就是都以1为基数，这样就可以对不同类别的数值进行比较了。
将比例乘以100就是百分率、百分比或百分数，即将对比的基数抽象化为100而计算出来的，用%表示，它表示每100个分母中拥有多少个分子。
7．工程术语
在工程制图中指图形与其实物相应要素的线性尺寸之比。
比例可分为三种：
（1）原值比例，比值为1的比例，即1:
1；
（2）放大比例，比值大于1的比例，如2:
1等；
（3）缩小比例，比值小于1的比例，如1:
2等。
比例的标注方法：
（1）比例符号应以“:
”表示。
比例的表示方法如1:
1、1:
50、20:
1等，应标在两数中间；
（2）比例一般应标注在标题栏中的比例栏内。
选择比例的原则：
（1）当表达对象的形状复杂程度和尺寸适中时，一般采用原值比例1:
1绘制；
（2）当表达对象的尺寸较大时应采用缩小比例，但要保证复杂部位清晰可读；
（3）当表达对象的尺寸较小时应采用放大比例，使各部位清晰可读；
（4）选择比例时，应结合幅面尺寸选择，综合考虑其最佳表达效果和图面的审美观点。
比例尺
比例尺：
比例尺是表示图上距离比实地距离缩小的程度，因此也叫缩尺。
用公式表示为：
比例尺=图上距离/实地距离。
1．基本介绍
比例尺是表示图上距离比实地距离缩小或扩大的程度。
公式为：
比例尺=图上距离：
实际距离。
比例尺有三种表示方法:
数字式，线段式，和文字式。
三种表示方法可以互换。
根据地图的用途，所表示地区范围的大小、图幅的大小和表示内容的详略等不同情况，制图选用的比例尺有大有小。
地图比例尺中,通常大于二十万分之一的地图称为大比例尺地图；比例尺介于二十万分之一至一百万分之一之间的地图，称为中比例尺地图；比例尺小于一百万分之一的地图，称为小比例尺地图。
在同样图幅上，比例尺越大，地图所表示的范围越小，图内表示的内容越详细，精度越高；比例尺越小，地图上所表示的范围越大，反映的内容越简略，精确度越低。
一般讲，大比例尺地图，内容详细，几何精度高，可用于图上测量。
小比例尺地图，内容概括性强，不宜于进行图上测量。
2．表示方法
三棱比例尺
用公式表示为：
比例尺=图上距离/实际距离。
比例尺通常有三种表示方法。
（1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小。
例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：
1∶50,000,000或写成：
1/50,000,000。
（2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离。
（3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：
图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一。
三种表示方法可以互换。
必须划单位。
在绘制地图和其他平面图的时候，需要把实际距离按一定的比缩小（或扩大），再画在图纸上。
这时，就要确定图上距离和相对应的实际距离的比。
一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
图上距离：
实际距离=比例尺或=图上距离/实际距离
3．比例尺的使用
根据地图上的比例尺，可以量算图上两地之间的实地距离；根据两地的实际距离和比例尺，可计算两地的图上距离；根据两地的图上距离和实际距离，可以计算比例尺。
根据地图的用途，所表示地区范围的大小、图幅的大小和表示内容的详略等不同情况，制图选用的比例尺有大有小。
地图比例尺中的分子通常为1，分母越大，比例尺就越小。
通常比例尺大于十万分之一的地图称为大比例尺地图；比例尺介于十万分之一至一百万分之一之间的地图，称为中比例尺地图；比例尺小于百万分之一的地图，称为小比例尺地图。
在同样图幅上，比例尺越大，地图所表示的范围越小，图内表示的内容越详细，精度越高；比例尺越小，地图上所表示的范围越大，反映的内容越简略，精确度越低。
（此可简记为“大小详、小大略”方便应用）地理课本和中学生使用的地图册中的地图，多数属于小比例尺地图。
4．放大比例尺
放大比例尺和地图比例尺的计算方法相同。
但放大比例尺是指图上距离比实际距离放大的倍数。
如：
原长度为1cm的零件，画在图纸上为10cm，则这幅图的比例尺为10：
1。
放大比例尺的分母（后项）通常为1。
分子越大，比例尺就越大，内容也越详细，精度越高。
5．缩小比例尺
缩小比例尺的分子（前项）通常为1。
如：
1:
100（1/100）
6．计算方法
如果将原比例尺放大到n倍，那么原比例*n。
如果将原比例尺放大n倍;那么原比例*（n+1）。
如果将原比例尺缩小到1/n;那么原比例*1/n。
如果将原比例尺缩小1/n;那么原比例*（1-1/n）。
比例尺缩放后,原面积之比会变为缩放倍数的平方。
正反比例
1正比例：
路程一定，速度和时间成反比例
2速度一定，路程和时间成正比例
3时间一定，路程和速度成正比例
4工作总量一定，工效和时间成反比例
5工效一定，工作总量和时间成正比例
6时间一定，工作总量和工效成正比例
7总价一定，单价和数量成反比例
8单价一定，总价和数量成正比例
9数量一定，总价和单价成正比例
10总产量一定，单产量和数量成反比例
11单产量一定，总产量和数量成正比例
12数量一定，总产量和单产量成正比例
13煤的总量一定，每天的烧煤量和烧的天数成反比
14长方形面积一定，它的长和宽成反比
15树的总棵数一定，每行种的棵数与行数成反比
16每天看书页数一定，天数和看书的总页数成正比
17分数的值大小一定，这个分数的分子与分成正比
18单价一定，数量和总价成正比
19正方形的边长和它的面积成正比
20工作时间一定，工作效率和工作总量成正比
21路程一定，速度和时间成反比
22一堆货物一定，运出的和剩下的成反比
23煤的总量一定，每天的烧煤量和烧的天数成反比
24长方形面积一定，它的长和宽成反比
25树的总棵数一定，每行种的棵数与行数成反比
26反比例：
1.百米赛跑，路程100米不变，速度和时间是反比例；
27排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数是反比例；
28做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数成反比例；
29买东西（实际就用文具用品），总钱数一定，它的单价和数量是反比例；
30长方形的面积一定，长和宽是反比例；
31长方体的体积一定，底面积和高是反比例。
32等分一块蛋糕，每人分到的蛋糕与人数成反比例。
33总价一定,单价与数量成反比例.
34长方体体积一定,底面积与高成反比例
35总纸盒一定,每人做的个数与人数成反比例
36当三角形的底一定时，面积和高成正比例
37当三角形的高一定时，面积和底成正比例
38当三角形的面积一定时，底和高成反比例
39当平行四边形的面积一定时，底和高成反比例
40当平行四边形的高一定时，面积和底成正比例
41当平行四边形的底一定时，面积和高成正比
42用大豆榨油时，出油率一定时，油的重量和大豆的重量反比例
43大豆的重量一定，油的重量和出油率正比例
44油的重量一定时，大豆的重量和出油率正比例
45分数值一定，分子和分母反比例
46分母一定，分数值和分子正比例
47分子一定，分数值和分母正比例
48前项一定，比的后项和比值反比例
49比值一定，比的前项和后项正比例
50后项一定，比的前项和比值正比例
正比例和反比例
一．正比例
1.用文字来描述：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，正比例的图像是一条射线
2、用字母表示：
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用以下关系式表示：
x÷y=k（一定）还可表示为：
x=ky
3、正比例关系两种相关联的量的变化规律：
同时扩大，同时缩小，比值不变．
例如：
汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？
以上各种商都是一定的，那么被除数和除数所表示的两种相关联的量，成正比例关系．
4．注意：
在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例．例如：
一个人的年龄和它的体重，就不能成正比关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系．行驶的路程和时间是成比例的量。
二．反比例
1．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．
2．如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，（一定）反比例关系可以用下面关系式表示：
x×y=k（一定）
3．反比例关系是通过应用题的总数与份数关系帮助学生认识的。
在总数与份数关系中，包含总数、份数和每份数。
当总数一定时，每份数和份数是两种相关联的变量。
如果每份数变化，份数也随着变化。
同样如果份数变化，每份数也随着变化。
它们的变化，无论扩大还是缩小，相对应的两个量的乘积（也就是总数）一定。
具体说，当总数一定时，每份数（或份数）扩大或缩小若干倍，份数（或每份数）反而缩小或扩大相同的倍数。
简称为“一扩一缩（或一缩一扩）”。
具备这种变化关系的每份数和份数成反比例关系。
反比例关系在典型应用题中属于归总问题。
反映在除法中，当被除数一定，除数和商成反比例关系。
在分数中，当分数的分子一定，分母与分数值成反比例关系。
在比例中，比的前项一定，比的后项与比值成反比例关系。
如果再把总数与份数关系具体化为：
在购物问题中，总价一定，单价和数量成反比例关系。
在行程问题中，路程一定，速度和时间成反比例关系。
在做工问题中，工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例关系。
如果两种量成反比例，那么一种量的任意两个数的比，等于另一种量的两个对应数的反比。
如，加工零件的总数一定，是600个。
如果每小时加工10个，60个小时完成任务。
如果每小时加工20个，30个小时完成任务。
每小时加工数量的比1∶2，与它相对应的完成时间比是2∶1。
2∶1是1∶2的反比。
4．分析反比例的意义
成反比例的量包括三个数量，一个定量和两个变量。
研究两个变量之间的扩大（或缩小）的变化关系。
一种量发生变化，引起另一种量发生相反的变化。
这两种量是反比例的量，它们的关系成反比例关系。
5．成反比例的量
前提：
两种相关的量（乘法关系）
要求：
一个量变化，另一个量也随着变化，并且，这两个量中相对应的两个数的乘积一定。
结论：
这两个量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
6．字母表示法：
设x与y是两个相关的量（具有相乘的关系），k是x与y的乘积（k一定），即：
x*y=k（一定）接着用字母x、y表示两种相关联的量，把正比例关系进一步抽象概括成=k（一定）。
三．正比例和反比例
相同点：
①正比例和反比例都含有三个数量，在这三个数量中，均有一个定量、两个变量。
②在正、反比例的两个变量中，均是一个量变化，另一个量也随之变化。
并且变化方式均属于扩大（乘以一个数）或缩小（除以一个数）若干倍的变化。
不同点：
正比例的定量是两个变量中相对应的两个数的比值。
反比例的定量是两个变量中相对应的两个数的积。
②正比例的图像时上升直线；反比例是曲线。
③公式不同：
正比例是（x/y=k（一定）），反比例是（xy=k（一定））。
④规律不同：
正比例是一个数缩小，另一个数也缩小，一个数扩大，另一个数也扩大；反比例是一个数缩小，另一个数就扩大，一个数扩大另一个数就缩小。
四．正反比例之间的相互转化
当正比例中的x值（自变量的值），转化为它的倒数时，由正比例转化为反比例；当反比例中的x值（自变量的值）也转化为它的倒数时，由反比例转化为正比例。
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