高三数学抛物线方程及性质.docx

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高三数学抛物线方程及性质

8．3抛物线方程及性质

一、明确复习目标

掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质,了解圆锥曲线的初步应用．

二．建构知识网络

1．抛物线的定义：

到一个定点F的距离与到一条定直线L的距离相等的点的轨迹．

2．标准方程：

y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py（p>0）

　　图形略：

　3．几何性质：

对于抛物线y2=2px要掌握如下性质：

对称轴,顶点坐标,焦点坐标,准线方程．

离心率,焦准距＝,焦半经　　　rmin＝

4．焦点弦：

对于y2=2px,过焦点的弦A（x1,y1）B（x2,y2）有

，

通径：

过焦点垂直于轴的弦长为。

5．焦半径为直径的圆与y轴相切,焦点弦为直径的圆与准线相切．

三、双基题目练练手

1．（2005江苏）抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）

A．B．C．D．0

2．（2005上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）

A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在

3．焦点在直线x－2y－4=0上的抛物线的标准方程是（）

A．y2=16xB．y2=16xC．x2=－8yD．以上说法都不对．

4．过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q,则等于（）

ABCD

5．下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A（0，9），其轨迹方程是y=ax2+c（a＜0），D=（6，7）为x轴上的给定区间．为使物体落在D内，a的取值范围是___________；

6．已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0,y0），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N则点N的坐标是_____________（用x0表示）；

简答：

1-4．BBDC；4．考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于轴,

5．把点A的坐标（0，9）代入y=ax2+c得c=9，即运动物体的轨迹方程为y=ax2+9．

令y=0，得ax2+9=0，即x2=－．

若物体落在D内，应有6＜＜7，

解得－＜a＜－．6.N（x0+4,0）

四、经典例题做一做

【例1】给定抛物线y2=2x，设A（a，0），a＞0，P是抛物线上的一点，且｜PA｜=d，试求d的最小值．

解：

设P（x0，y0）（x0≥0），则y02=2x0，

∴d=｜PA｜=

==．

∵a＞0，x0≥0，

∴

（1）当0＜a＜1时，1－a＞0，

此时有x0=0时，dmin==a．

（2）当a≥1时，1－a≤0，

此时有x0=a－1时，dmin=．

【例2】过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的弦AB，点A、B在抛物线准线上的射影为A1、B1，求∠A1FB1．

解法1：

由抛物线定义及平行线性质知∠A1FB1=180°－（∠AFA1+∠BFB1）

=180°－（180°－∠A1AF）－（180°－∠B1BF）

=（∠A1AF+∠B1BF）=90°．

法2：

设弦AB的方程是：

得,

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,由韦达定理得y1y2=-p2

又,

∴从而知∠A1FB1=90°．

提炼方法：

1．平面几何法与定义法结合,简捷高效;

2．弦AB的方程是：

（本题不存在AB垂直于y轴的情况）,避开了斜率存在性的讨论,解题中应注意灵活运用．

【例3】如下图所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．

解：

以直线l1为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段．其中A、B分别为曲线段C的端点．

设曲线段C的方程为y2=2px（p>0）（xA≤x≤xB，y>0），其中xA、xB为A、B的横坐标，p=|MN|，

所以M（－，0）、N（，0）．

由|AM|=，|AN|=3，得

（xA+）2+2pxA=17，①

（xA－）2+2pxA=9．②

①②联立解得xA=，代入①式，并由p>0，

p=4，p=2，

xA=1xA=2．

因为△AMN为锐角三角形，所以>xA．

P=2，P=4，

xA=2．xA=1．

由点B在曲线段C上，得xB=|BN|－=4．

综上，曲线段C的方程为y2=8x（1≤x≤4，y>0）．

提炼方法：

1．熟练运用定义确定曲线C是抛物线段;

2．合理选择坐标系,确定标准方程;

3．运用距离公式求出标准方程中的待定系数;

4．特别注意范围的限定．

【例4】（2005全国卷Ⅲ）设两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线．

（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？

证明你的结论；

（Ⅱ）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．

解：

（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等．

∵抛物线的准线是x轴的平行线，不同时为0，

∴上述条件等价于

∵，∴上述条件等价于

即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F．

另解：

（Ⅰ）∵抛物线，即，

∴焦点为

（1）直线的斜率不存在时，显然有

（2）直线的斜率存在时，设为k，截距为b

即直线：

y=kx+b由已知得：

即的斜率存在时，不可能经过焦点

所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F

（II）（理）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为；过点A、B的直线方程可写为，所以满足方程得；

A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式

即

设AB的中点N的坐标为，则

由

即得l在y轴上截距的取值范围为（）．

法二:

y1=2x12,y2=2x22,相减得

中点在抛物线内必

【研讨．欣赏】（2005山东文）

已知动圆过定点，且与直线相切，其中．

（I）求动圆圆心的轨迹的方程；

（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

解：

（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：

即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为

（II）如图，设，由题意得。

又直线的倾斜角满足，故。

∴直线的斜率存在，否则，的倾斜角。

从而设直线的方程为，显然，将与

联立消去，得由韦达定理知①

由，得

。

将①式代入上式整理化简，得：

此时直线的方程可表示为：

，即。

∴直线恒过定点

五．提炼总结以为师

1．求抛物线方程的方法：

待定系数法,定义法,直接法;

2．涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时,要注意运用“设而不求”的策略,避免求交点坐标的复杂运算．

3．解决焦点弦问题时，应注意抛物线的定义和焦点弦的几何性质应用，注意抛物线上的点,焦点,,准线三者之间的联系．

同步练习8．3抛物线方程及性质

【选择题】

1．（2005全国）抛物线上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）

A．2B．3C．4D．5

2已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是（）

ABCD

3．一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分,它的方程为,在杯内放一个玻璃球,要使球触及到杯的底部,则玻璃球的半径的范围为（）

ABCD

4．设抛物线的轴和它的准线交于E点,经过焦点F的直线交抛物线于P、Q两点（直线PQ与抛物线的轴不垂直）,则与的大小关系为（）

AB

CD不确定

【填空题】

5．抛物线的动弦AB长为,则AB中点M到轴的最短距离是________

6．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．

能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________．（要求填写合适条件的序号）

简答提示：

1－4：

DCCC；2．把转化为M到准线的距离,然后求的最小值

3．设圆心A（0,t）,抛物线上的点为P（x,y）,列出转化为二次函数问题。

4．向量解法：

由A、F、B共线得（重要结论）,进而得出

5．可证弦AB通过焦点F时,所求距离最短，答案

6．由抛物线方程y2=10x可知②⑤满足条件．答案：

②⑤

【解答题】

7．（2005春北京文）

如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于M（x1,y1）,N（x2,y2）两点．

（1）求x1x2与y1y2的值；

（2）求证：

OM⊥ON．

（Ⅰ）解：

直线l的方程为

①

代入y2=2x消去y可得

②

点M，N的横坐标x1与x2是②的两个根，

由韦达定理得

（Ⅱ）证明：

设OM，ON的斜率分别为k1,k2,

8．（本小题满分14分）（2005年高考·广东卷17）

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）．

（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？

若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

解：

（I）设△AOB的重心为G（x,y）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,则…

（1）

∵OA⊥OB，即，　　　　　　　　　　　　　　　　……

（2）

又点A，B在抛物线上，有，代入

（2）化简得

∴，

所以重心为G的轨迹方程为．

（II）

由（I）得

当且仅当即时，．

所以△AOB的面积存在最小值，且最小值为1．

9．（本小题满分14分）（2005年春考·北京卷·理18）

如图，O为坐标原点，直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线于、两点．

（1）写出直线的截距式方程；

（2）证明：

；

（3）当时，求的大小．

（Ⅰ）解：

直线l的截距式方程为①

（Ⅱ）证明：

由①及y2=2px消去x可得

②

点M，N的纵坐标y1,y2为②的两个根，故

（Ⅲ）解：

设OM，ON的斜率分别为k1,k2,

10．（2000春全国）已知抛物线y2＝4px（p＞0），O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程．

分析：

点M随着A、B两点的变化而变化，点M是OM与AB的交点，而A、B为抛物线上的动点，点M与A、B的直接关系不明显，因此需引入参数．

解法一：

设M（x0，y0），则kOM=，kAB=－，

直线AB方程是y=－（x－x0）+y0．

由y2=4px可得x=，代入上式整理得

x0y2－（4py0）y－4py02－4px02=0．①

此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，

∴A（，y1）、B（，y2）．

∵OA⊥OB，∴kOA·kOB=－1．

∴·=－1．∴y1y2=－16p2．

根据根与系数的关系，由①可得

y1·y2=，

∴=16p2．

化简，得x02+y02－4px0=0，

即x2+y2－4px=0（除去原点）为所求．

∴点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．

解法二：

设M（x，y），直线AB方程为y=kx+b，

由OM⊥AB得k=－．

由y2=4px及y=kx+b消去y，得

k2x2+x（2kb－4