三角形与平行线七年级培优较难题.docx

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三角形与平行线七年级培优较难题

一、三角形与平行线

七年级下学期综合题

（二）

１１如图,AB∥CD,点P为一个动点,下面四个图形中点P相对于A、B、C、D四点的位置不同,那么∠APC与∠PAB,∠PCD的关系是否也不同,请你分别探讨,写出你的结论,并对每一个结论说明理由.

１２。

已知,如图,射线CB∥OA,∠C=∠OAB,点E、F在CB上,且满足∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF.

（1）若∠C=100°,求∠EOB的度数.

（2）若平行移动AB,其它条件不变,那么∠OBC:

∠OFC的值是否发生变化?

若变化,找出变化规律,若不变,求出这个比值.

（3）在平行移动AB的过程中,若∠OEC=∠OBA,则有①AOB为定值;②OEB为

COEOAB

定值,其中有一个结论是正确的,找出正确结论并求该定值.

１３。

已知,如图,直线AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F两点,EM、FN分别平分

∠BEF、∠CFE.

（1）求证:

EM∥FN;

（2）如图,∠DFE的平分线交EM于G点,求∠EGF度数;

（3）如图∠BEG、∠DFG的平分线交于H点,试问:

∠H与∠G的度数是否存在某种特定的等量关系?

证明你的结论,并根据结论猜想:

若∠BEH、∠DFH的平分线交于Ｋ点,∠Ｋ与∠G度数关系，请是，说明理由。

1４已知直线a∥b,点A在直线a上,点B、C在直线b上.

（1）如图,求证:

∠1+∠2+∠3=180°.

（2）如图,点D在线段BC上,且恰有AB平分∠MAD,AC平分∠NAD,

xy

z

0

若∠DEC=（x+z）°,且x、z满足方程组89x

90y

91z0

求证:

∠1=∠2.

892x

90

2y912z

90

（3）若点F为线段AB上不与A、B重合的一动点,点H在AC上,FQ平分∠AFD交AC

于Q,设∠HFQ=y°,（此时点D为线段BC不与点

y之间满足怎样的等量关系时,FH∥a.（如图）

B、C重合的任一点）,

问当

、、

M

N

１４

１５探究下列问题:

在下列三个图形中,已知∠ABC=2°,∠θ=90°.

（1）在图（a）中,∠α1=∠β1,试求∠A的度数;

（2）在图（b）中,∠α1=∠β1,∠α2=∠β2,试求∠A的度数;

（3）在图（c）中,∠α1=∠β1,∠α2=∠β2,,,∠αn=∠βn（n为大于1的自然数）,试推出∠A的度数x与n的关系式.

１６

已知:

如图，所示△

入射光线EF

ABC是三块平面镜.

经平面镜AC反射成光线

FG,

满足∠

EFC=∠AFG.（其余光线经平面镜反

射类同）

（1）如图1,若EF∥AB,FG∥BC,∠A=70°,

（2）如图2,光线EF经平面镜AC反射成FG,

∠FEC）,若∠A=80°,求∠FEG的度数;

则∠B的度数为

再经平面镜AB反射成

;

GF（∠GEB≠

（3）如图3,若光线EF∥AB,FG∥BC,FG经平面镜AB反射成GH,GH∥AC,GH经平面

镜BC反射成HD,问HD是否平行于AB?

若平行,请画出HD,并证明;若不平行,

请说明理由.

１７

两条平行直线上各有n个点,用这n对点按如下规则连接线段

:

①同一直线上的点之

间不连接,②连接的任意两条线段可以有共同的端点

但不得有其他的交点.

（1）

画图说明当n=1,2,3时,连接的线段最多各有多少条?

（2）

由

（1）猜想n（n为正整数）对点之间连接的线段最多有多少条

证明你的结论;

（3）

当n=2009时,所连接的线段最多有多少条

?

（4）试猜想当n对点时,按上述规则画出的图形中,最少有多少个三角形?

（5）当n=2009时,按上述规则画出的图形中,最少有多少个三角形?

１８如右图,一个直角△ABC的木框和一个端点为O且可任意调整角度的直尺,其中∠ACB=90°,∠A=.

（1）如图,调整角尺,使角尺的一边OD垂直于AB,另一边OE经过直角顶点C,与AB

交于E点,若∠DOE=45°,=30°,求∠BCE;

（2）如图,使角尺的一边OD垂直于边AB,另一边OE搭在直角边AC上,调整此时的角

度,使∠DOE=∠A,延长BC交OE于F,作FG平分∠CFE交AC于G,请判断此时FG与AB的位置关系,并证明你的结论;

（3）如图,使角尺的两边分别与△ABC的两边垂直,即OD⊥AC于D,OE⊥AB交BA的

延长线于E,∠DOE与∠ACB的平分线交于点P.是否存在一个,使∠P=?

若

存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.

１９。

已知△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D.

（1）如图

（1）中,AB=AC=13,BC=10,AD=12,P为边BC上任意一点,PE⊥AB于E,

PF⊥AC于F,求PE+PF的值;

（2）如图

（2）中,AB=AC=13,BC=24,AD=5,P为线段BC延长上任一点,PE⊥AB于E,PF

⊥AC于F,试探究PE与

若不存在,请说明理由.

PF

之间是否存在某种确定的数量关系

若存在,

试求出;

图

（1）

图

（2）

２０

6.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,DE平分∠ADB,

∠BDC=∠BCD.

（1）求证:

∠1+∠2=90°.

（2）若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F,且∠F=55°,求∠ABC.

（3）若H是BC上一动点,F是BA延长线上一点,FH交BD于M,FG平分∠BFH,交DE

于N,交BC于G.当H在BC上运动时（不与B重合）,①BADDMH的值不变;

DNG

②DNG的值不变,其中只有一个结论是正确的,请判断正确的结论并求出其值.

BMH

1、如图，△ABC中，B、C两点分别相交在x轴的负半轴和正半轴上，AO、BD是内角∠

BAC、∠ABC的平分线，AO、BD相交于点I，若∠BAC=α+β，∠ABC=α－β，∠ACB=α（0°＜β＜α＜90°）。

（1）求∠AIB的度数；

A

D

I

BC

（2）一直线垂直于OA分别交直线AB、AO、x轴及AC于Q、T、E、P，

求证：

∠BEQ=1β.

2

2、在直角坐标系中，E、F分别是x轴负半轴和正半轴上一点，G是y轴正半轴上一点，且

∠OGE=∠OGF.

（1）设E（a，0），F（b，0），G（0，c），若｜a+b｜+（a+2c－4）2≤－（b+c-5）2，求E、

F、G

（2）P是x

三点的坐标，并求出轴正半轴上一点，过

S△EFG；

P点任作一直线分别交

GE、GF

的延长线于

A、B，求证：

∠APE=1（∠ABG－∠A）

2

（3）在

（2）的条件下，过P另作一直线分别交GE、GF于C、D，且使∠APE=∠CPE，下面两个结论：

①∠APC的度数是一个定值。

②∠A+∠BDC的度数是一个定值。

其

中只有一个结论是正确的，请选出正确的结论，并求出其值。

G

B

C

D

D

E

F

P

P

B

E

A

第2题图

O

A

第3题图

3、如图，在直角坐标系中，

A（a，0），B（0，b），且a，b满足（a+b－7）2

+|2a－b－2|=0。

（1）求A、B的坐标及S△OAB；

（2）E、D是AB上两点，并且满足∠AOD=∠ADO，∠BOE=∠BEO，求∠EOD。

（3）在

（2）的条件下，DP平分∠BDO，EP平分∠OED，下列结论：

①

P

为定值；②

P

为定值，其中只有一个是正确的，

BDOOEA

BDO

OEA

请你作出正确的选择，并证明你的结论。

B

D

P

E

OA

第3题图

解：

设在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD交与点D猜想∠D与∠A的关系为：

∠D＝∠A/2

理由：

如图，根据“三角形任一外角等于不相邻的两个内角的和”得：

∠D＋∠DBC＝∠DCE

所以∠D＝∠DCE－∠DBC

同理∠A＝∠ACE－∠ABC

因为BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE

所以∠DBC＝∠ABC/2，∠DCE＝∠ACE/2

所以∠D＝∠ACE/2－∠ABC/2

＝（∠ACE－∠ABC）/2

＝∠A/2

第二个结论对，1/10

4、如图,直线AB分别交x轴、y轴于A、B,C在y轴正半轴上,作∠OCD＝∠OAB,CD

交OA于D.

（1）请说明CD与AB的位置关系,并予以证明；

（2）∠ADC的平分线DE与∠OAB的平分线交于F,求∠F；

（3）M是线段AD上任意一点（不同于A、D）,作MN⊥x轴交AF于N,作∠ADE与∠ANM

的平分线交于P点,在前面的条件下,给出下列结论：

①∠P－∠MAN的值不变；②∠P

的值不变.可以证明,其中有且只有一个结论是正确的,请你作出正确的选择并求值.

CC

EEP

DDDM

OAOFAOFAN

BBF

5、如图,点A、B在x轴上,点C在y轴的正半轴上,

（1）

若CE平分∠ACB交AB于点E.求证：

∠CAB－∠CBA＝2∠OCE；

（2）

若∠CAB＝60o,点M为AC延长线上的动点,MF、BG为△AMB的角平分线且交于点I.

下列结论：

①IG的值不变；②MG＋BF的值不变.其中有且只有一个是正确的

请指出

IF

正确的结论并求出该值.

6、在直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点是A（0，a），B（b，0），C（c，0），D是线段上AB上任一点，直线OD交直线AC于E，∠ADO和∠ABO的平分线交于点P。

（1）若|a-2b-c|+（a+2b）2+（b+1）2n=0（其中n为正整数），求A、B、C的坐标，并求△ABC的面积。

（2）若E点在AC边的延长线上，∠ACB与∠AED的平分线交于Q点，下面两个结论：

①∠P+∠Q的值不变；②∠P－∠Q的值不变，其中只有一个结论是正确的，请选择正确的结论并给出证明，求出定值。

（3）若E点CA边上的延长线上，第

（2）问的结论是否仍然成立呢？

若成立，请给出证明；若不成立，不否存在其它的特性呢？

试探索，并说明理由。

M

E

A

C

C

G

I

D

P

Q

AOE

B

AOF

B

BO

C

第5题图

第6题图

7、图甲，平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A、B两点，令∠OAB=x°，

∠OBA=y°.

（1）若x223（y2）3，求∠OAB，∠OBA.

（2）如图乙，沿AB、OB放置两面镜子，从O点发出的光线经AB、OB两次反射后，光线DF与入射光线OC交于E点，在

（1）的条件下，求∠CED.

（3）如图丙，过线段AO上任一点G作直线交线段AB于M，交y轴负半轴于N，∠AMG与∠NOG的平分线交于P点，且∠MBN=∠MNB，下列结论①∠P的值不变；②∠P+∠MNB的值不变，可以证明，其中有且只有一个结论正确，请选择并求值。

8、在平面直角坐标系xOy中，x轴上和第一象限

AB方向上各有一平面镜，

AB方向上的平面

镜与x轴的夹角为∠

，一束光线CD以∠

的入射角射到

x轴上的点D（m，0），经两

次反射后的反射线光线

，已知

403

m

40

.

EF

（1）求点D的坐标与∠

的度数.

（2）∠

在什么范围时，反射光线

才能与入射光线

相交于一点

H

？

EF

CD

（3）在

（2）的条件下，平面镜绕

B点旋转，设射线

EF交x轴于F点，则下列结论：

①

DHE

HED的值是定值；②

DHE

HED的值是定值。

其中只有一个正确，请

EFD

EFB

你判断出正确的结论，并证明。

9、在直角坐标系xOy中，在第一象限

次反射后的反射光线是EF，且∠

AB方向和x轴上各有一平面镜，一束光线CD经过两

DCE＞∠DEC，已知C（m，0），E（n，0），其中m，n满

足|m

3|（n

4）2

0

（1）求C、E的坐标。

（2）若∠ABE=30°，求入射光线DC和反射光线EF所在直线的夹角∠Q的度数。

（3）若平面镜AB绕D点旋转时，设法线DH交y轴于H，则下列结论：

①DCEDEC为定值，②DCEDEC为定值。

其中只有一个正确，请你判断

OHDOHD

出正确的结论，并证明。

10、如图，直角坐标系中，A点是第二象限一点，

AB⊥x轴于

B，且

C（0，2）是

y轴正半

轴上一点，OB—OC=2，S四边形ABOC=11。

（1）求A点坐标；

（2）设D为线段OB上一动点，当∠CDO=∠A时，CD与AC之间存在怎样的位置关系？

并证明。

（3）当D点在线段OB上运动时，作DE⊥CD交AB于E，∠BED，∠DCO的平分线交于M，现给出两个结论。

①∠M的大小不变；②∠BED+∠CDO的大小不变。

其中只有一个结论正确，请你判断哪个结论正确，并说明理由。

11、

（1）已知平面直角坐标系中有一光源

P（a，b），其中a、b满足满足

｜2a－b－5｜+（a－2b+5）2=0。

求P点坐标。

（2）如图，从

P

点发出一条光线

经过

轴，

y

轴两次反射后以

射出。

PAx

BC

求证：

PA∥BC。

（3）如图，若从P点发出的光线以不同的角度照射在

x轴上，使A在x轴上0～a之间移

动，同样经过x轴、y轴的反射后以

BC射出。

连结PB并延长至E，作∠EBA的角

平分线BF交x轴于F点。

则①

P

P

为定值。

为定值②

OBF

OBA

从中选择一个正确的结论并证明求值。

y

A

C

y

C

y

C

E

B

P

P

B

x

xF

B

D

O

O

A

x

O

A

M